Научно — исследовательская работа по математике на тему Различные способы решения квадратных уравнений

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя школа №12
городского округа город Выкса Нижегородской области
Различные способы решения квадратных уравнений
Естественно – научное отделение
Секция математическая
Работу выполнила
Ученица 9 класса
Шувалова Виктория
Научный руководитель:
Беспалова Галина Алексеевна
Нижегородская область
городской округ г. Выкса
2016 год.
Оглавление
Аннотация ………………………………………………………………………...3
Введение……………………………………………………………........4
Глава 1. Обзор литературы
1.1 История развития квадратных уравнений……………………………...........6
1.1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне……………………………...6
1.1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения…………………6
1.1.3 Квадратные уравнения в Индии……………………………………………7
1.1.4 Квадратные уравнения ал- Хорезми ……………………………………...8
1.1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVIIв.в………………..................9
1.1.6 О теореме Виета ……………………………………………………..…….10
Глава 2. Материалы и методы исследования
Способы решения квадратных уравнений ………………………................12
Разложение левой части уравнения на множители………………..........12
Метод выделения полного квадрата.……………………….……............13
Решение квадратных уравнений по формулам …………………..…… 13
Решение уравнений с использованием теоремы Виета…………….......14
2.1.5 Решение уравнений способом «переброски»…………………………....16
2.1.6 Свойства коэффициентов квадратного уравнения……………………... 17
2.1.7 Графическое решение квадратного уравнения……………………..…... 17
2.1.8 Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки……...19
2.1.9 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы…………….21
2.1.10 Геометрический способ решения квадратных уравнений……………..22
2.2. Исследование. Решение квадратных уравнений учащимися 9,11 классов……………………………………………………………………………23
Глава 3. Результаты и их обсуждения…………………………………………..24
Выводы………………………………………………….......................................26Литература………………………..……………………………………………...26
Аннотация
Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.
Изучив решение квадратных уравнений, мне захотелось узнать, можно ли еще другими способами решить уравнение и в дальнейшем использовать различные способы при решении уравнений.
Цель работы: изучить способы решения квадратного уравнения, которые мы не изучаем на уроке. Научиться использовать эти способы.
Для достижения поставленной цели были намечены следующие задачи:
Изучить историю развития квадратных уравнений.
Найти информацию о способах решения квадратного уравнения.
Решить квадратное уравнение различными способами и выяснить, какой способ удобен для решения этого уравнения.
При решении сформулированных задач была изучена специальная литература, собрана информация статистических данных для последующего использования в работе, проведено исследование по решению квадратного уравнения учащимися 9 и 11 классов с целью выявления различных способов решения квадратного уравнения.
Результаты исследований показали, что учащиеся используют при решении квадратных уравнений методы, изученные по школьной программе.
Я считаю эту тему актуальной, т. к. она может пригодиться нам не только во время обучения в школе, а впоследствии и в ВУЗе, и на протяжении всей жизни.
Описание новизны и практической значимости: решение одного квадратного уравнения несколькими способами и выбор более рационального способа.
Введение
Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»
У. Сойер Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.
В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомились с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатывали их решение по формулам. У меня возник вопрос «Существуют ли другие способы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные способы и можно ли ими пользоваться на практике?» Поэтому я выбрала тему исследования, связанную с квадратными уравнениями, в ходе работы она получила название «Различные способы решения квадратных уравнений». Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 10-11 классах, и при сдаче ОГЭ и ЕГЭ.
Цель работы: изучить различные способы решения квадратных уравнений, научиться применять их при решении и выбрать наиболее рациональныйспособ решения.
Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:
- изучить историю развития квадратных уравнений;
- рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;
- выявить наиболее рациональные способы решения квадратных уравнений;
- научиться решать квадратные уравнения различными способами.
Объект исследования: квадратные уравнения.
Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.
Методы исследования:
Теоретические: изучение литературы по теме исследования;
Internet –информации.
Анализ: информации, полученной при изучении литературы; результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.
Сравнение: способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.
Гипотеза: существуют различные рациональные способы решения квадратных уравнений
Глава 1. Обзор литературы.
1.1 История развития квадратных уравнений.
1.1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.
Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
x2+ x =34; х2 - х = 14,5
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
1.1.2 Квадратные уравнения в Греции или как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.
Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 - х. Разность между ними 2х.
Отсюда уравнение:
(10 + х)(10 - х) = 96
100 - х2 = 96
х2 - 4 = 0(1)
Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения
у(20 - у) = 96,
у2 - 20у + 96 = 0. (2)
Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).
1.1.3 Квадратные уравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхатой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VIIв.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах2 + bх = с, а> 0.(1)
В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.
Задача.
«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…
Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…
Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,
На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис.).
Соответствующее задаче уравнение:
x82+12=xБхаскара пишет под видом: х2 - 64х = -768
и, чтобы дополнить левую часть этого
уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем: х2 - 64х + 322 = -768 + 1024,
(х - 32)2 = 256,
х - 32 = ± 16,
х1 = 16, х2 = 48.
1.1.4 Квадратные уравнения ал - Хорезми.
В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = bх.
2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.
3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.
4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с =bх.
5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 +bx = с.
6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.
Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал - мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с современным решением. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.
Задача. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»
(подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).
Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.
1.1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII в.в.
Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из
« Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVIIвв. и частично XVIII.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х2 + bx = с,
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
1.1.6. О теореме Виета
Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D, умноженное на A - A2, равно BD, то Aравно В и равно D».
Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х), гласные же В, D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место
(а + b)х - х2 = ab,т.е.
х2 - (а + b)х + аb = 0,то
х1 = а, х2 = b.
Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.
Глава 2. Материалы и методы исследования.
2.1 Способы решения квадратных уравнений
Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Многие практические задачи решаются с их помощью. Например, квадратное уравнение позволяет рассчитать тормозной путь автомобиля, мощность ракеты для вывода на орбиту космического корабля, траектории движения различных физических объектов – от элементарных частиц до звёзд.
В школе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. В математической литературе я нашла несколько способов решения квадратных уравнений и покажу решение одного из них.
2.1.1 Разложение левой части уравнения на множители
Решим уравнение 4х2 - 16х + 15 = 0.
Решение.
Разложим левую часть на множители:
4х2 - 16х + 15 = х2 - 10х - 6х +15 = 2х(2х -5) - 3(2х - 5) = (2х - 5)(2х -3).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(2х - 5)(2х - 3) = 0
Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю.
2х - 5= 0 или 2х -3=0
х=2,5 х=1,5
Ответ: 1,5; 2,5.
2.1.2 Метод выделения полного квадрата
Решим уравнение 4х2 - 16х + 15 = 0.
Решение.
Разделим обе части на 2: х2 - 4х + 3,75 = 0.
Выделим в левой части полный квадрат:
х2- 4х + 3,75 = х2 -2·2 х + 22 - 22 +3,75 = (х -2)2-0,25
тогда, данное уравнение можно записать так:
(х -2)2 -0,25 = 0
(х - 2)2 = 0,25
х - 2= 0,5 х - 2= - 0,5
х = 2,5 х = 1,5
Ответ:1,5; 2,5.
Решение квадратных уравнений по формулам
Умножим обе части уравнения ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0на 4а, тогда
4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,
((2ах)2 + 2ах·b + b2) - b2 + 4ac = 0,
(2ax + b)2 = b2 - 4ac,
2ax + b = ± b2- 4ac,
2ax = - b ± b2 - 4ac,
(1)
1.Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при b2 - 4ac>0, уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.
2. Если дискриминант равен нулю, т.е. b2 - 4ac = 0, то уравнение имеет один корень.
3. Если дискриминант отрицателен, т.е. b2 - 4ac <0, уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.
Решим уравнение 4х2 - 16х + 15 = 0.
Решение.
а = 4, b = - 16, с = 15.
D = b2 - 4ac = (-16)2 - 4·4·15= 16, D> 0, уравнение имеет два различных корня;
;
Ответ:1,5; 2,5.
Вывод. Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть).
2.1.4 Решение уравнений с использованием теоремы Виета
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида (1) где старший коэффициент равен единице.
Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по следующей формуле:

Запомнить эту формулу можно заучив следующий стишок.
P со знаком взяв обратным
На 2 мы его разделим,
И от корня аккуратно знаком отделим,
А под корнем очень кстати
Половина в квадрате,
Минус и вот решение небольшого уравнения.
Чтобы квадратное уравнение привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a,,тогда
INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/javagifs/63167087914832-10.gif" \* MERGEFORMATINET
По праву достойна в стихах быть воспетаО свойствах корней теорема Виета.Что лучше, скажи, постоянства такого:Умножишь ты корни — и дробь уж готова: В числителе с, в знаменателе а,А сумма корней тоже дроби равна.Хоть с минусом дробь эта, что за беда —В числителе Ь, в знаменателе а.
Если обозначить , то мы получим уравнение вида . Таким образом: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. По коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней.
а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q> 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента:
-если р < 0, то оба корня положительные;
-если р > 0, то оба корня отрицательные.
б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен
(q< 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p< 0 , или отрицателен, если p> 0 .
Решим уравнение 4х2 - 16х + 15 = 0.
Решение.
Перейдем к приведенному квадратному уравнению: х2 – 4х + 3,75 = 0.
q=3,75 > 0 ,имеет два одинаковых по знаку корня
p=-4< 0, оба корня положительные
х1 + х2 = 4,
х1 · х2 = 3,75; то х1= 1,5,х2= 2,5
Ответ:1,5; 2,5.
Вывод.Удобен этот способ тем, что можно решить уравнение устно. Сложность, в том, что не всегда можно подобрать корни уравнения, так как корни могут быть рациональными и иррациональными числами.
2.1.5 Решение уравнений способом «переброски»
Рассмотрим квадратное уравнение
ах2 + bх + с = 0,где а ≠ 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх +ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0,
равносильно данному.
Его корни у1и у2 найдем с помощью теоремы Виета и окончательно:
x1= y1 aиx2 = y2a.
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Решим уравнение 4х2 - 16х + 15 = 0.
Решение.
«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение
у2 – 16у + 60 = 0.
Согласно теореме Виета
у1 = 3, х1 = 6/4, x1 = 1,5
у2 =10; x2 = 10/4; x2 = 2,5.
Ответ:1,5; 2,5.
Вывод. Метод хорош для квадратных уравнений с “удобными” коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.
2.1.6 Свойства коэффициентов квадратного уравнения
1. Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.
Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),
то х1 = 1, х2 = с/а.
Если a – b + c=0, то х2 =-1, х2 = -с/а
Решим уравнение:4х2 - 16х + 15 = 0.
Решение: а+ b + с = 0 4 + (-16) + 15 ≠ 0
а + с = b4 + 15 ≠ - 16
данный способ не подходит
А теперь применим способ для решения квадратных уравнений с большими коэффициентами.
Решим уравнение 1) 132х2 – 247х + 115 = 0.
Решение. Так кака + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то
х1 = 1, х2 = c/a = 115/132.
Ответ: 1; 115/132.
2) Решим уравнение 2х2+ 3х +1= 0. Так как 2 - 3+1=0, значит х1 = -1, х2 =-с/а= -1/2
Ответ: -1;-1/2.
Вывод.Данный способ удобно применять к квадратным уравнениям с большими коэффициентами и можно решить только те уравнения, у которых сумма коэффициентов равна 0.
2.1.7 Графическое решение квадратного уравнения
Квадратное уравнение можно решать и графическим способом. Решим графически уравнение ах2 + bх + с = 0. Оно равносильно уравнению
ах2 = - (bх + с). Постоим графики функций y = ах2 и y = - bх - с в одной системе координат (рис.1). В точках х1 и х2 значения обеих функций равна. Следовательно, х1 и х2 являются корнями уравнения ах2 = - (bх + с) и равносильного ему уравнения ах2 + bх + с = 0
Если парабола и прямая пересекаются. То квадратное уравнение имеет два равных корня.
Если же парабола и прямая не пересекаются и не касаются, то квадратное уравнение не имеет корней.
Уравнение ах2 + bх + с = 0 можно решить иначе, построив параболу y = ах2 + bх + с = 0и найдя точки ее пересечения с осью Ох, если D≥0 (рис. 2)

Решим уравнение 4х2 - 16х + 15 = 0.
Преобразуем уравнение к виду4х2 = 16х - 15
Построим в одной системе координат графики функций y = 4х2– параболаи y = 16х - 15 – прямая. (рис.3)
1381760184150
Рис. 3
Ответ:1,5; 2,5.
Вывод. Применяя графический метод не всегда можно найти точное значение корней. Поэтому этот метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.
2.1.8 Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и
линейки
4457700907415Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис.4 ).
Допустим, что искомая окружность пересекает ось
абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 - корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки
А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB·OD = OA·OC, откуда OC = OB ·OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.
Рис.4
Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

1485900162560Итак:
1) построим точки - (центр окружности) и A(0; 1);
2) проведем окружность с радиусом SA;
3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.
При этом возможны три случая.
1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или R>a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 5а) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис.5б) в точке В (х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.
3905250-622303) Радиус окружности меньше ординаты центра
окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис 5в), в этом случае уравнение не имеет решения.
Рис.5
а)б)в)


Решим уравнение 4х2 - 16х + 15 = 0.(рис.6).
421132088265Решение. Определим координаты точки центра
окружности по формулам:
S162∙4;4+152∙4значит S(2;2,375) Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).
Ответ:1,5; 2,5.
Рис.6
Вывод. С помощью этого способа решения квадратного уравнения легко провести исследование его корней на знак. Но, очевидно, что этот красивый способ практически не применяется из-за геометрических построений и последующей проверки результатов решения.
2.1.9 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
Номограмма – это особый чертеж, рисунок, с помощью которого можно, не производя вычислений, получить решения вычислительных задач.
Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений (Брадис В.М., с.83)
Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен-
там определить корни уравнения.
Криволинейная шкала номограммы построена
по формулам (рис.7):

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из
подобия треугольников САН и CDF получим
пропорцию
Рис.7

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение
z2 + pz + q = 0,
причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.
Решим уравнение: 4z2 - 16z + 15 = 0z2 - 4z + 3,75 = 0номограмма дает корни
z1 = 1,5 и z2 =2,5.
Рис.8
Ответ:1,5; 2,5.
2.1.10 Геометрический способ решения квадратных уравнений
В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал - Хорезми.
Примеры.
1) Решим уравнение х2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.9).
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.
Рис.9

Площадь S квадрата ABCD можно представить, как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4· 2,5х = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25· 4 = 25), т.е. S =х2 + 10х + 25. Заменяя
х2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

Решим уравнение:4х2 - 16х + 15 = 0.
Решение.
Разделим обе части на 2: х2 – 4х + 3,75 = 0.
Выделим в левой части полный квадрат:
х2- 4х - 3,75 = х2 + 2·2 х + 22 - 22 +3,75 = (х - 2)2- 0,25
тогда, данное уравнение можно записать так:
(х - 2)2 – 0,25 = 0
(х - 2)2 = 0,25
х - 2= 0,5 х - 2= - 0,5
Невозможно решить данным способом.
х = 2,5 х = 1,5
2.2. Исследование. Решение квадратных уравнений учащимися 9,11 классов.
Для выявления актуальности моей темы я провела исследование. Учащимся 9, 11 классов было предложено решение полного квадратного уравнения любым известным им способом. В исследовании приняло участие 76учащихся из 84 (90%).
Способы решения квадратного уравнения Количество учащихся
Метод выделения квадрата двучлена 0 0 %
Метод разложения левой части уравнения на множители способом группировки 2 3 %
Решение уравнения по формулам дискриминанта и корней квадратного уравнения 64 84 %
Решение уравнения, используя теорему Виета. 9 12%
Решение уравнения графическим способом. 1 1 %
Вывод: учащиеся при решении квадратного уравнения использовали только стандартные способы, изученные по школьной программе.
Глава 3. Результаты и их обсуждения
В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справилась, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.
Выполненная работа показывает, что использование различных способов при решении квадратных уравнений является важным звеном в изучении математики, развивает внимание и сообразительность. Также не менее важно умение правильно выбирать рациональный способ решения конкретно для каждого уравнения.
Нужно отметить, что не все способы удобны для решения, но каждый из них по-своему уникален, имеет свои «плюсы» и «минусы».
Название способа решения квадратных уравнений плюсы минусы
Разложение левой части уравнения на множители Дает возможность сразу увидеть корни уравнения. Нужно правильно подобрать слагаемые для группировки
Метод выделения полного квадрата За минимальное количество действий можно найти корни уравнений Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата.
Решение квадратных уравнений по формуле Можно применить ко всем квадратным уравнениям. Нужно выучить формулы.
Решение уравнений с использованием теоремы Виета Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения. легко находятся только целые корни.
Решение уравнений способом переброски За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета. легко найти только целые корни.
Свойства коэффициентов квадратного уравнения Не требует особых усилий Подходит только к некоторым уравнениям
Графическое решение квадратного уравнения Наглядный способ Могут быть не точности при составлении графиков
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Наглядный способ Могут быть не точности
Решение квадратных уравнений с помощью номограммы Наглядный способ, прост в применении. Не всегда под рукой имеется номограмма.
Геометрический способ решения квадратных уравнений Наглядный способ. похож на способ выделения полного квадрата
Результаты исследования решения квадратных уравнений учащимися 9,11 классов выявили, что учащиеся при решении квадратного уравнения использовали только стандартные способы, изученные по школьной программе. На уроках математики я рассказала своим одноклассникам нестандартные способы решения №5 и №6, им понравились, они сами решили несколько уравнений. Я думаю, что эти способы помогут им научиться решать рационально квадратные уравнения и хорошо подготовиться к экзаменам.
Вывод.
Решая одно и то же квадратное уравнение разными способами, я поняла, что любое квадратное уравнение невозможно решить с помощью всех способов. Более рациональный способ для рассматриваемого мною квадратного уравнения – способ № 5 «переброски» старшего коэффициента. Но я выяснила, что самый удобный способ нахождения корней для большинства учащихся это метод № 3, т.е. решение квадратных уравнений по формуле. Только этот способ дает возможность решить любое квадратное уравнение, но он не всегда рационален. Некоторые способы решения такие, как применение теоремы Виета и свойство коэффициентов помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и экзаменах.
Литература
Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы/ В.М, Брадис-М.: Просвещение, 1990 - 95с.
Ван дер Варден Б.А. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. [Текст] Б.А. Ван дер Варден - М., ГИФМЛ, 1959. - 462 с.
Гельфман Э.Г. Квадратные уравнения. [Текст] Э.Г. Гельфман - Москва, 1997. 273с.
ГлейзерГ.И. История математики в школе/ Г.И.Глейзер-М.: Просвещение, 1982- 340с.
Гусев В.А. Математика. Справочные материалы/В.А.Гусев, А.Г. Мордкович - М.: Просвещение, 1988, 372с.
Мордкович А. Г. Алгебра.8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. -М.: Мнемозина 2011.-260с.
Мордкович А.Г. Алгебра.8 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. -М.: Мнемозина 2011.-270с.
Плужников И. Десять способов решения квадратных уравнений// Математика в школе. -2000.-№40
Теорема Виета– Режим доступа:http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-fransua-vieta/ Теорема Виета(ресурсы удаленного доступа (Internet)).
Интернет- ресурсы;
http://revolution.allbest.ru/http://mat.1september.ru/2001/42/no42_01.htm