Презентация на тему Окружность вписанная, описанная и вневписанная

Окружностьвписанная, описанная,вневписаннаяМАОУ «Лицей» г. БалашихаУчитель математикиЖирякова Л.В. Определение {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} B A Окружность – множество точек, равноудалённых от данной точки плоскости (центр)Радиус (r) – отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности Хорда – отрезок, соединяющий две лютые точки окружностиДиаметр (d) – хорда, проходящая через центр Длина окружности π ≈ 3,14 ≈OC d = 2 rC = 2 π rC = π d Касательная к окружности Свойства хорд, секущих и касательных{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} С BA D A C B В А СD A C BD F AB CD хордыАB ∩ CD = EAE ∙ BE = CE ∙ DEAC - касательнаяAB – хордаугол САВ равен половине дуги АВAD - секущая AF - секущаяAC ∙ AD = AB ∙ AFУголDAF равен полуразностидугDF и CB E Вписанная окружность{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}определениеОкружность вписана в многоугольник, если она касается всех сторон многоугольникацентрлежит на пересечении биссектрис углов многоугольникарадиусПерпендикуляр, опущенный из центра на сторону многоугольникатреугольникчетырёхугольникВ любой треугольник можно вписать окружность и только однуВ четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равныr = 2 𝑆𝑎+𝑏+𝑐 a b r c{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}определениеОкружность вписана в многоугольник, если она касается всех сторон многоугольникацентрлежит на пересечении биссектрис углов многоугольникарадиусПерпендикуляр, опущенный из центра на сторону многоугольникатреугольникчетырёхугольникВ любой треугольник можно вписать окружность и только однуВ четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны a b r c O rО r {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}Задача 1.  В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найдите катеты треугольника 1. Впишем в треугольник ABC окружность и соединим её центр О с вершинами В, С. Проведём также перпендикуляры ОК, ON, ОМ. Они являются радиусами вписанной в треугольник окружности. 2. ∆ВМО = ∆BNO (по гипотенузе и острому углу), следовательно ВМ = BN = 5. Аналогично, ∆ОКС = ∆ ONC Значит КС = NC = 12. AMOK– квадрат, значит, AM = АК = r. Получаем, что АВ = АМ + МВ = r + 5, АС = АК + КС = r + 12По теореме Пифагора получаем: АВ2+ АС2= ВС2.(r + 5)2+ (r + 12)2= 172;r2+ 10r + 25 + r2+ 24r + 144 = 289;2r2+ 34r – 120 = 0;r2+ 17r – 60 = 0; r = 3.Катеты равны 5 + r = 8 и 12 + r = 15. Ответ: 8 см; 15 см.


{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}Задача 2. В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найдите длины сторон треугольника Решение. Изобразим вписанную в треугольник окружность и соединим центр окружности О с вершинами треугольника. Проведем также перпендикуляры ОМ, ОТ, ОК, являющиеся радиусами окружности.Получим: ∆ OAK = ∆ ОAT, ∆ ОВМ =∆ ОВТ, ∆ОСМ = ∆ОСК. (по гипотенузе и острому углу)3. По условию СМ = 6 и ВМ = 8. Тогда ВТ = ВМ = 8, СК = СМ = 6. 4. Длины отрезков АК и AT обозначим через х Для нахождения величины х воспользуемся формулой S = рrПо формуле ГеронаОтвет: 13, 14, 15 {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}Задача 3.Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найдите основания трапеции Очевидно, что высота трапеции равна диаметру окружности. Высота ВК = 15 см; 2. из прямоугольного ∆ АВК3. Пусть BС = х, тогда AD = 8 + х + 8 = х + 16. Так как в трапецию вписана окружность, то AD + ВС = АВ + CD; х + 16 + х = 17 + 17; х = 9 см; AD = 9 + 16 = 25 см.Ответ: 9 см; 25 см. {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}Задача 4. Окружность, вписанная в трапецию, делит её боковую сторону на отрезки aи b Найти радиус окружности. C B PD AРешение:Найдём центр О вписанной окружности (BO, AO –биссектрисы углов А и В трапеции) и опустим перпендикуляр ОР на сторону АВ. (ОР = r) ∆AOB – прямоугольный, так как боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом. Значит ОР – высота, проведённая из вершины прямого угла треугольника к гипотенузе O Описанная окружность{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}определениеОкружность описана около многоугольника, если она проходит через все вершинымногоугольникацентрлежит на пересечении серединных перпендикуляров сторон многоугольникарадиусотрезок, соединяющий центр окружности с вершинами многоугольникатреугольникчетырёхугольникОколо любого треугольника можно описать окружность и только однуОколо четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180оR = 𝑎𝑏𝑐4𝑆ВА С B C A D{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}определениеОкружность описана около многоугольника, если она проходит через все вершинымногоугольникацентрлежит на пересечении серединных перпендикуляров сторон многоугольникарадиусотрезок, соединяющий центр окружности с вершинами многоугольникатреугольникчетырёхугольникОколо любого треугольника можно описать окружность и только однуВА С B C A D O R О R {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}фигурарисуноксвойствоОкружность, описанная околопараллелограммаОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.Окружность, описанная околоромбаОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.Окружность, описанная околотрапецииОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция являетсяравнобедренной трапецией.Окружность, описанная околодельтоидаОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}Задача 1.В окружности через середину О хорды АС проведена хорда BD так, что дуги АВ и CD равны. Докажите, что О – середина хорды BD. B C A DДоказательство: Вписанные углы ADB = ACB- опираются на дугу АВ, вписанные углы DBC = DAC - опираются на дугу DC,Если, по условию, дуги равны, то эти углы равны между собой.2. ∆AOD = ∆COD , по стороне и двум прилежащим к ней углам (АО = ОС; углы BOC= AOD – вертикальные; углы BCO = DAO – п.1) следовательно, BO = OD, значит, О – середина BD. ч.т.д.(Если бы точка О делила хорду АС не в отношении 1:1, то треугольники рассматривались бы с точки зрения подобия)ОJ {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}Задача 2. Хорды AB и CD окружности радиуса R пересекаются под прямым углом. Найти BD, если АС = а С F А В DРешение: Проведём диаметр DF. Тогда, CF параллельна АВ (угол DCF вписанный и опирается на диаметр)Тогда ACFB – трапеция, которая вписана в окружность, следовательно она равнобокая. Таким образом, AC = FB O

{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} B CM N A DРешение: Пусть MN –средняя линия трапеции, АВ – боковая сторона.Трапеция ABCD – равнобедренная, т.к. вписана в окружность.BC + AD = 2 MN (по свойству ср. линии трапеции)∆АОВ – равнобедренный (АО = ОВ – радиусы), и т.к. М – середина АВ, ОМ перпендикулярно АВ Р О
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}Задача 4. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A , C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружностиРешение: 1. Рассуждаем так:Вокруг любого  треугольника, в том числе вокруг ∆АОС , всегда можно описать окружность. Значит, нам остается доказать лишь тот факт, что  точка пересечения высот ∆АВС  , точка H  , также попадает на окружность, описанную около ∆ AOC.2. Заметим, что для вписанного  в окружность  (описанную около треугольника АВС) угла  соответствующим центральным углом является угол АОС . Так как угол B равен 60°,  по условию, то угол АОС = 120,  по свойству вписанного угла. 3. ∆АВК : угол А= 30, значит, из ∆АНР: угол АНР = 60, следовательно угол АНС = 120 (свойство смежных углов) {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}В отношении точки Н у нас три ситуации:(1):  точка Н лежит на окружности, описанной около треугольника АОС ;(2):  точка Н   лежит внутри окружности, описанной около треугольника АОС ;(3): точка Н лежит вне окружности, описанной около треугольника АОС ;Рассмотрим ситуацию (2).В этом случае угол AVC  (где  – точка пересечения прямой AH с окружностью), как опирающийся на ту же дугу AC , что ивписанный угол AOC , равен 120. Тогда угол AHC , как внешний угол треугольника AVC , больше (ведь внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника,  не смежных с ним). То есть мы пришли к противоречию. Ситуация (2) невозможна. Аналогично приходим к противоречию и в ситуации (3). Значит, единственно возможная ситуация (1) ч.т.д. {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} N М Н определение 1 Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторонОАВСВневписанная окружность Т1. Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника. (1)Дано: АВСОкр. (О; r)М, N, К – точки касанияДоказать: (1)Решение:Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит её центр лежит на биссектрисе угла АВС. ч.т. д.АВСОКМN Т2. Расстояния от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника АВ1 = АС1 = pДано: АВС,Вневписанная окр. (Оа; ra )Доказать:АВ1 = АС1 = pДоказательство:Т.к. Оа - центр вневписанной окружности, то касат., прове -денные к окружностииз одной точки, равны между собой,поэтому ВВ1 = ВА1 , СА1 = СС1 , АВ1 = АС1.Значит, 2p = (AC + СА1) + (AB + ВА1) = (AC + CC1) + (AB + BB1) = AC1 + AB1 = 2AC1 = 2AB1 т.е. АВ1 = АС1 = p.ОаВ1 ra ra raАВСС1 А1α/2α/2 Т3: Радиус вневписанной окружности, касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е. ra = p∙tg , rb = p∙tg , rc = p∙tg (2)Дано: АВСВневписанная окр. (Оа ; ra)Доказать (2)Решение:В прямоугольном треугольнике А Оа С1 ra и p – длины катетов, угол Оа А С1 равен , поэтому ra = p ∙ tg АВСОаppВ1 С1bc ra ra ra Т4. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е. ra = , rb = , rc = (3)Дано: АВСВневписанная окр. (Оа ; ra)Доказать (3)Решение:Имеем S = SABC = SAOaC + SBOaC – SBOaC = × (b + c – a) = ra× (p – a), т.е. ra = АВСОаppВ1 С1bc ra ra ra Т5. Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е. ra + rb + rc = r + 4R Доказательство:Выразим все радиусы через стороны, площадь и полупериметр треугольника:r = , R = , r a = , rb = , rc =Значит, ra + rb + rc – r = + + - = = = = = = 4R Т6. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, т. е. Доказательство:Используем выражения радиусов через стороны и площадь треугольника:r = , R = , ra = , rb = , rc = Значит, Т7. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, т. е. rarb + rbrc + rcra = p2 Доказательство:Воспользуемся формулами ранее доказанных радиусов через стороны и площадь треугольника:r = , ra = , rb = , rc = ПодставимИз формулы Герона следует(p – a)(p – b)(p – c) = , поэтому Т8. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника, т.е. rarbrc = rp2 Доказательство:Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Геронаra = , rb = , rc = , Тогда Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника, т.е. Доказательство: Из rarbrc = rp2 = rp × p = Sp. Следовательно Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности, т.е. Доказательство:Из следствия 1, что и равенства S = pr, получаем, перемножая их почленно, . Значит Т9. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, касающихся двух других сторон треугольника, т.е. , , Доказательство: Воспользуемся формулами , Значит, ,