Методические рекомендации для обучающихся по выполнению практических работ по дисциплине ЕН.02 «Математика» (Для специальности 33.02.01 «Фармация»)
БПОУ ВО «Борисоглебскмедколледж»
Рассмотрено и утверждено
на заседании ЦМК ЕНД
Протокол №______
от «____»________201_г.
Председатель ЦМК ЕНД
________/Н.М. Перегудова/
Методические рекомендации для обучающихся по выполнению практических работ
по учебной дисциплине ЕН.02 «Математика»
специальность: 33.02.01 «Фармация»
Составил: преподаватель
Рыжова Е.В.
2016-2017 уч. год
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Решение задач по математике у обучающихся сопряжено со многими трудностями. Помочь преодолеть эти трудности, научить применять теоретические знания к решению задач – основное назначение методических рекомендаций для обучающихся по проведению практических работ по дисциплине ЕН.02. «Математика».
Методические рекомендации содержат краткую теоретическую часть, образцы решения задач, контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения.
На практических занятиях проверяется усвоение теоретического материала, разбираются наиболее трудные вопросы, закрепляются полученные знания при решении задач и примеров по образцу и самостоятельно.
Содержание
Практическая работа №1
Понятие множества. Операции с множествами. Числовые множества………………….…………………..3
Практическая работа №2
Приемы устного счета………………………………………………………………………………………………………..……………..7
Практическая работа №3
Приближенные вычисления………………………………………………………………………….…………………………………..13
Практическая работа №4
Проценты и пропорции…………………………………………………………………………………………………………………..…17
Практическая работа №5,6
Решение линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений…….…………………………….…...21
Практическая работа №7
Понятие вероятности случайных событий. Простейшие теоремы о вероятности
случайных событий…………………………………………………………………………………………………………………..………27
Практическая работа №8
Дифференциальное исчисление………………………………………………………………………..………………………..……28
Практическая работа №9
Интегральное исчисление..……………………………………………………………………………………………………..………33
Практическая работа №10
Приложение определенного интеграла к решению прикладных задач………..……………………..………38
Практическая работа №11
Обыкновенные дифференциальные уравнения……………………………………..………..……………………..………42
Литература…………………………………………………………..……………………………………………………………..……….45
Практическое занятие № 1
Тема: «Понятие множества. Операции с множествами. Числовые множества»
Цель: отработать основные приёмы решения примеров на нахождение объединения, пересечения, разности 2-х множеств; изучить правила представления обыкновенных дробей в виде бесконечных десятичных периодических дробей.
Теоретический материал
Множество представляет собой соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединённых по какому-либо признаку.
Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами.
Элементы множества обозначают малыми буквами латинского или греческого алфавита. Для обозначения множеств используют заглавные буквы латинского алфавита или запись со скобками.
Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.
Если любой элемент множества В является и элементом множества А, то множество В называется подмножеством (частью) множества А.
Любое множество является своим подмножеством
Пустое множество - множество, которое не содержит ни одного элемента.
Пустое множество является подмножеством любого множества.
Множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств А и В, называется пересечением множеств А и В и обозначается ( - знак пересечения).Для множества, пересечение которых является пустым множеством, называются непересекающимися множествами.
Объединением множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех элементов А и В и только из них.
Обозначение: , где - знак объединения.
Пусть даны два множества А и В. Множество С, которое состоит из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называется разностью множеств А и В и обозначается А\В.
Если , то разность А\В называется дополнением множества В до множества А.
Представление рациональных чисел десятичными дробями.
Если знаменатель обыкновенной дроби равен натуральной степени числа 10, то эту дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби.
Любую конечную десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби, причём после сокращения её знаменатель не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5.
Верно и обратное утверждение: если знаменатель дроби не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5, то эту дробь можно представить конечной десятичной дробью. Для этого нужно числитель и знаменатель дроби умножить на соответствующие степени чисел 2 и 5, а можно воспользоваться способом «деления уголком» числителя на знаменатель.
Аналогичный результат получится и способом «деления уголком» числителя на знаменатель.
Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби имеет простой делитель, отличный от 2 и 5, то эта дробь не может быть записана в виде конечной десятичной дроби. Применив к ней способ «деления уголком», мы не получим конечную десятичную дробь.
Например, , где точки обозначают, что цифра 3 периодически повторяется бесконечно много раз. Аналогично, .
Выражения вида 0,333…; - 0,333…; 0,555…; - 0,555… называются бесконечными десятичными дробями.
Следовательно, каждое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной десятичной дроби: а0,а1а2а3…, где а0 - целое число, а каждое из а1, а2, а3, … - одна из цифр 0, 1, 2, 3, …., 9.
Образец решения задач
Пример 1. Найдите все подмножества множества А = {1; 2; 3}.
Решение.
Подмножествами данного множества являются множества: {1}, {2}, {3}, {1;2}, {1;3}, {2;3}, {1;2;3}, . Других подмножеств множество А не имеет.
Пример 2. Найдите пересечение множеств А={1;2;3} и B={2;3;4}.
Решение.
.
Пример 3. Найдите объединение множеств А={1;2;3} и B={3;4}.
Решение.
.
Пример 4. Найдите разность множеств А={1;2;3;4} и B={1;2}.
Решение.
А\В={3;4}.
Пример 5. Запишите обыкновенные дроби в виде конечных десятичных дробей.
Решение.
.
Пример 6. Запишите в виде десятичных дробей следующие обыкновенные дроби: .
Решение.
Воспользуемся способом домножения числителя и знаменателя на степени чисел 2 и 5:
Пример 7. Запишите в виде несократимых обыкновенных дробей следующие десятичные дроби: 0,2; - 0,25; 1,4.
Решение.
Практические задания
Ответьте на вопросы:
Какими способами можно задать множество?
Какие множества называются равными?
Что называется подмножеством данного множества?
Какое множество называется пустым?
Что называется пересечением множеств?
Что называется объединением множеств?
Что называется разностью множеств?
Что называется дополнением множества?
Какие числа называются целыми?
Какие операции определены в множестве целых чисел?
Какие числа называются рациональными?
Какие операции определены в множестве рациональных чисел?
Какая бесконечная десятичная дробь называется периодической?
Что называется периодом бесконечной десятичной дроби?
Каким образом можно представить рациональное число в виде десятичной дроби?
Каким образом можно представить рациональное число в виде бесконечной периодической дроби?
Что называется множеством действительных чисел?
Какие числа называются иррациональными?
Решите задачи:
1. Найдите множество корней уравнения: .
2. Найдите все подмножества множества А={3; 4; 5}.
3. Найдите множества: если:
A = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2},
B = {4; 3; 2; 1; 0; -1; -2},
C = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}.
4. Найти А\В, если А = {-2; -1; 0; 1; 2}, B = {2; 4; 6; 8}.
5. Найдите дополнение множества А до множества В, если:
а) A = {1; 2; 3}, B = {0; 1; 2; 3; 5};
b) A = {1; 2; 3}, B = {0; 0,5; 1; 2; 3; 4};
c) A = {0; 1}, B = {-1; 0; 1; -2}.
6. Найдите , , А\В и В\А, если:
1) А={3;4;5}, B={3;5;6};
2) A={0;1;7;8}, B={-7;0;6;9};
3) A={1;3;5;7}, B={2;4;6;8}.
Практическое занятие № 2
Тема: «Приёмы устного счёта»
Цель: отработать основные приёмы решения примеров на нахождение НОД, НОК чисел; отработать приёмы устного счёта.
Теоретический материал
Если число имеет только два делителя (само число и единица), то оно называется простым; если число имеет более двух делителей, то оно называется составным.
Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.Теорема. Любое составное натуральное число можно разложить на простые множители только одним способом.
Разложить число на простые множители — значит записать число в виде произведения простых чисел.
Правило. Чтобы разложить число на простые множители, надо:
— записать его слева от вертикальной черты;
— справа от черты записать первый делитель числа — самое маленькое число из таблицы простых чисел, на которое данное число делится без остатка; — в следующей строке слева под числом записать делимое первого этапа, которое является частным от деления данного числа на записанный справа на одной строке с ним делитель;
— справа найти (как и первый делитель) наименьшее простое число, на которое делимое первого этапа делится без остатка, это число будет вторым делителем числа;
— слева записать делимое второго этапа, которое есть частное от деления предыдущей строки делимого на ее же делитель;
— для делимого второго этапа также найти делитель из наименьшего числа простых чисел, записать его на той же строке справа н т. д., пока в делимом последнего этапа не будет стоять 1;
— делители, стоящие справа от черты, записать множителями данного числа.
Перемножив между собой множители, стоящие справа от черты, мы получаем исходное число.
Если в разложении числа на простые множители один и тот же множитель а встречается n раз, то записывают коротко: аn, т. е. , где аn называют степенью, а - основанием степени, n - показателем степени.
Для любых заданных натуральных чисел a и b можно найти наибольший общий делитель. Обозначают НОД(a, b).
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим (из имеющихся) показателем.
Для любых заданных натуральных чисел a и b можно найти наименьшее общее кратное. Обозначают НОК (a, b).
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение всех получившихся простых множителей, взяв каждый из них с наибольшим (из имеющихся) показателем.
Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25
Признак делимости чисел на 2: на 2 делятся все четные натуральные числа.
Признак делимости чисел на 3: на 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3.
Признак делимости чисел на 4: на 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4.
Признак делимости чисел на 5: на 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0.
Признак делимости чисел на 6: на 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3).
Признак делимости чисел на 9: на 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9.
Признак делимости чисел на 10: на 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0.
Признак делимости чисел на 11: на 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11. Признак делимости чисел на 25: на 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых — нули или составляют число, кратное 25.
Правила умножения и деления десятичных дробей на 10, 100, 1000
1). Чтобы умножить десятичную дробь на 10n, надо в этой дроби перенести запятую на n цифр вправо (приписав в случае необходимости к дроби справа определённое число нулей).
2). Чтобы разделить десятичную дробь на 10n, надо в этой дроби перенести запятую на n цифр влево (при этом в случае необходимости слева приписывается нужное число нулей).
Замечание: умножить число на 0,1; 0,01; 0,001 - то же самое, что разделить на 10, 100, 1000. Для этого надо перенести запятую влево на столько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.
Тридцать простых приёмов устного счета.
Умножение на однозначное число
1). Чтобы устно умножить число на однозначный множитель
(например, 27 * 8) выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого
(20X8 = 160), затем единицы (7*8 =56) и оба результата складывают.
2). Полезно знать на память таблицу умножения до 19*9:
2 3 4 5 6 7 8 9
11 22 33 44 55 66 77 88 99
12 24 36 48 60 72 84 96 108
13 26 39 52 65 78 91 104 117
14 28 42 56 70 84 98 112 126
15 30 45 60 75 90 105 120 135
16 33 48 64 80 96 112 128 144
17 34 51 68 85 102 119 136 153
18 36 54 72 90 108 126 144 162
19 39 57 76 95 114 133 152 171
3). Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители.
Умножение на двузначное число
4). Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.
5). Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы.
6). Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа, то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз.
Умножение на 4 и на 8
7). Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают.
8). Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают.
Деление на 4 и на 8
9). Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам.
10). Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам.
Умножение на 5 и на 25
11). При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль.
12). Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100/4 , или если число кратно 4-х, то его делят на 4 и к частному приписывают два нуля.
Умножение на 11/2, на 1 1/4, на 21/2, на 3/4
13). Чтобы устно умножить число на 11/2, прибавляют к множимому его половину.
14). Чтобы устно умножить число на 11/4, прибавляют к множимому его четверть.
15). Чтобы устно умножить число на 21/2, к удвоенному числу прибавляют половину множимого.
16). Чтобы устно умножить число на 3/4 (т. е. чтобы найти 3/4 этого числа), умножают число на 11/2 и делят пополам.
Умножение на 15, на 125, на 75
17). Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 11/2, т. к. 10*11/2 =15.
18). Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 11/4, т. к. 100*11/4=125.
19). Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3/4, т. к. 100*3/4=75.
Умножение на 9 и на 11
20). Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое.
21). Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое.
Деление на 5, на 11/2,на 15
22). Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числе последнюю цифру.
23). Чтобы устно разделить число на 11/2 делят удвоенное число на 3.
24). Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30.
Возведение в квадрат
25). Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, умножают число десятков на него же плюс единица и приписывают 25.
26). Указанный прием применим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:
27). Так как 0,5= ½, а 0,25 = ¼, то приемом 25 можно пользоваться также и для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью ½:
28). При устном возведении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (a +-b)2 = a2 +b22ab.
Вычисления по формуле (а+b)*(а-b) = а2 — b2
29). Пусть требуется выполнить устно умножение 52*48. Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2)*(50—2) и применяем приведенную в заголовке формулу: (50+2)*(50—2)=502-22= 2496.
Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой — в виде разности тех же чисел:
69*71=(70—1)*(70+1)=4899
33*27=(30+3)*(30—3)=891
30). Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:
7 ½*6½=(7 + ½ )*(7 — ½)=48 ¾
11 3/4*12 1/4= (12 - 1/4)*(12 +1/4) =143 15/16.
Образец решения задач
Пример 1. Разложите число 360 на множители.
Решение.
360 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 23 * 32 * 5.
Пример 2. Найти НОД(3780, 7056).
Решение.
3780 = 22 * 33 * 5 * 7
7056 = 24 * 32 * 72.
Тогда НОД(3780, 7056) = 22 * 32 * 72 = 4 * 9 * 49 = 252. Взяты те простые множители, которые входят и в разложение числа 3780, и в разложение числа 7056.
Ответ: 252.
Пример 3. Найти НОК(3780, 7056).
Решение.
3780 = 22 * 33 * 5 * 7
7056 = 24 * 32 * 72 (см. п.2).
Тогда НОК (3780, 7056) = 24 * 33 * 5 * 72 = 105840, т. е. взяты все простые множители, которые входят в разложение хотя бы одного из чисел 3780 и 7056.
Ответ: 105840.
Практические задания
Ответьте на вопросы:
Какие числа называются простыми? составными?
Как можно разложить число на простые множители?
Сформулируйте определение наибольшего общего делителя?
Сформулируйте определение наименьшего общего кратного?
Как найти наибольший общий делитель?
Как найти наименьшее общее кратное?
Какие числа называют взаимно простыми?
Сформулируйте признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25.
Сформулируйте правила умножения и деления десятичных дробей на 10, 100, 1000.
Как умножить число на 0,1; 0,01; 0,001?
Какие существуют приёмы устного счета?
Решите задачи:
1. Вычислите устно:
31*9 =
17*5 =
41*16 =
73*8 =
352 =
236 : 4 =
720 : 15 =
8,52 =
31*5 = .
2. Найдите наибольший общий делитель чисел:
6 и 8; 5) 12; 16 и 18;
36 и 48; 6) 14; 28 и 70;
60 и 240; 7) 30 и 102;
165 и 154; 8) 33; 88 и 110.
3. Найдите наименьшее общее кратное:
18 и 12;
20 и 42;
102 и 30;
24; 4 и 144;
5) 30; 12 и 15;
6) 98; 50 и 12.
Практическое занятие № 3
Тема: «Приближенные вычисления»
Цель: отработать правила округления, изучить виды погрешности, стандартный вид числа; отработать навыки представления положительного действительного числа в стандартном виде.
Теоретический материал
Пусть результат измерения или вычисления величины х с некоторой точностью равен а. Тогда а называется приближённым значением (или приближением) величины х.
При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра больше или равна пяти, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если же первая следующая за этим разрядом цифра меньше 5, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют.
Значащими цифрами числа называют все его цифры, кроме нулей, стоящих в начале.
Для числа х = а0,а1а2…аn… число хn = а0 ,а1а2 … аn называют десятичным приближением по недостатку с точностью до 10-n (или с точностью до n знаков), а число x’n = xn + 10 – n – десятичным приближением по избытку с точностью до 10-n .
Из правила сравнения действительных чисел следует, что хn x < x’n.
Приближённое число имеет практическую ценность лишь тогда, когда мы можем определить, с какой степенью точности оно дано, т. е. оценить его погрешность (т. е. отличие от точного числа).
Будем обозначать:
х – точное число,
а – приближённое число.
Погрешностью (или истинной погрешностью) приближённого числа называется разность между числом х и его приближённым значением а.
Погрешность приближённого числа а будем обозначать .
= х – а.
Погрешность может быть числом положительным, отрицательным или равным нулю.
Абсолютной погрешностью приближённого числа а называется модуль разности между числом х и его приближённым значением а.
Абсолютную погрешность приближённого числа а будем обозначать , т. е.
.
Часто применяют такую запись: х = а, где (а - ) - приближённое значение числа х по недостатку, (а + ) – по избытку.
Однако знания абсолютной погрешности недостаточно для характеристики качества измерения, вычисления.
Относительной погрешностью δ приближённого значения а числа х называется отношение абсолютной погрешности Δ числа а к модулю числа х:
.
Образец решения задач
Пример 1. Сколько значащих цифр в числах: 23,4009; 0,1023; 0,0004.
Решение.
в числе 23,4009 шесть значащих цифр;
в числе 0,1023 четыре значащие цифры: 1, 0, 2, 3;
в числе 0,0004 одна значащая цифра: 4.
Пример 2. Запишите десятичные приближения числа х = 5, 37419… по недостатку и по избытку с точностью до 1, до 0,1, до 0,01, до 0,001:
Решение.
.
Пример 3. Запишите числа 395; 4,13; 0,0023.
Решение.
а) Пусть а = 395, тогда а = 3,95*102; здесь а1 = 3,95 и n = 2.
б) Пусть а = 4,13, тогда а = 4,13*100; здесь а1 = 4,13 и n = 0.
в) Пусть а = 0,0023, тогда а = 2,3*10-3; здесь а1 = 2,3 и n = - 3.
Практические задания
Ответьте на вопросы:
Что называется приближённым значением числа?
Сформулируйте правила округления чисел.
Какие цифры называются значащими цифрами числа?
Что называется десятичным приближением по недостатку?
Что называется десятичным приближением по избытку?
Что называется погрешностью приближённого числа?
Что называется абсолютной погрешностью приближения?
Что называется относительной погрешностью приближения?
Что называется записью числа в стандартном виде?
Каким образом можно представить рациональное число в виде бесконечной периодической дроби?
Что называется множеством действительных чисел?
Какие числа называются иррациональными?
Решите задачи:
1. Сколько значащих цифр в числе:
3,007;
81,017;
0,9;
10,01;
0,001;
0,501;
0,0007;
0,15;
0,0012.
2. Зная два первых десятичных знака у бесконечных десятичных дробей, равных π и : π= 3,14… и =1,41…, найти приближённо сумму этих чисел и оценить точность полученного приближения.
3. Зная два первых десятичных знака у бесконечных десятичных дробей, равных π и : π= 3,14… и =1,41…, найти приближённо разность этих чисел и оценить точность полученного приближения.
4. Найдите десятичные приближения с точностью до 0,01 с недостатком и с избытком для чисел:
;
- ;
- ;
.
5. Пользуясь калькулятором, найдите с точностью до 0,01 сумму и разность следующих чисел:
1) и ;
2) и .
6. Найдите абсолютную и относительную погрешность приближённого значения а=1,23 величины х=1,23156… .
7). Запишите в стандартном виде следующие числа:
1) 0б5337 = 5,337*10-1;
2) 0,0015 = 1,5*10-3;
3) 82,17=8,217*101;
4) 195=1,95*102;
5) 555,17=5,5517*102.
8). Найдите сумму, если:
а) х=7,80,05, у=3,40,05;
б) х=- 2,60,01, у=1,50,02;
в) х=1,250,05, у=1,020,02;
г) х=7,10,18, у=6,20,02.
Практическое занятие № 4
Тема: «Проценты и пропорции»
Цель: отработать навыки решения задач на составление пропорции, на нахождение неизвестного члена пропорции, процента числа, числа по его проценту.
Теоретический материал
Пусть a, b, c, d - действительные числа, отличные от 0.
Пропорция (от лат. proportio — соразмерность, выровненность частей) - это равенство двух отношений, т. е. равенство вида a : b = c : d, или, в других обозначениях, равенство (часто читается как: «a относится к b так же, как c относится к d»). Если a : b = c : d, то a и d называют крайними, а b и c — средними членами пропорции.
Основные свойства пропорций:
Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.
Если , то
Крайние члены пропорции можно поменять местами.
Если , то .
Средние члены пропорции можно поменять местами.
Если , то .
Пропорция с одним неизвестным часто встречается в решении задач. Вычислить любой член пропорции можно по следующим правилам.
Правило 1: неизвестный крайний член пропорции равен частному произведения средних членов пропорции и известного крайнего члена.
Правило 2: неизвестный средний член пропорции равен частному произведения крайних членов пропорции и известного среднего члена.
Определение неизвестного члена пропорции :
x : b = c : d, x = (b * c) : d;a : b = c : x, x = (b * c) : a;a : x = c : d, x = (a * d) : c;a : b = x : d, x = (a * d) : b.
Слово «процент» происходит от латинского «procento», что означает «с сотни».
Процент — это сотая часть числа.
Процент обозначается знаком %.
Всякое целое число (например 1) составляет 100%. Его сотая часть
1 : 100 = 0,01.
Основные типы задач на проценты.
а). Нахождение процента от числа.
Процент от любого числа определяет часть этого числа.
Правило: Чтобы найти указанный процент от числа, нужно данное число умножить на число процентов и результат разделить на 100.
б). Нахождение числа по его проценту
Правило: чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на 100.
в). Нахождение процентного отношения двух чисел.
Правило: чтобы найти процентное отношение двух чисел, нужно одно число разделить на другое, а результат умножить на 100.
Применение понятия «процент» в будущей профессиональной деятельности.
Особое значение для изучения жизненных процессов в норме и патологии имеют жидкие растворы, образованные растворением в жидкости газов, жидкостей и нетвердых тел.
Растворимость данного вещества в жидкости измеряется концентрацией насыщенного его раствора в этой жидкости.
Концентрация (от лат. Соncetntratio – соединение, скопление кого-, чего–либо) – это величина, выражающая содержание данного компонента в определенном весовом количестве или объёме смеси, раствора или растворителя.
В практике лечебных учреждений, биохимических, клинических и фармакологических лабораторий нашли применение несколько способов выражения концентрации. Одним из них является процентная концентрация указывающая, сколько граммов компонента содержится в 100 граммах раствора.
Процентная концентрация – количество растворенного вещества (в граммах), содержащегося в 100 граммах раствора.
Типы задач на расчет процентной концентрации растворов:
приготовление раствора заданной концентрации;
изменение процентной концентрации раствора;
приготовление раствора меньшей концентрации из раствора того же вещества, но большей концентрации.
Общая форма пропорции для решения задач названных типов:
Масса вещества (г), 100г
содержащегося -------------------- раствора
в 100г раствора
Масса вещества (г), содержащегося Общая масса,
в общей массе приготавливаемого ------------------- приготавливаемого
раствора раствораОбразец решения задач
Пример 1. Вычислите: а) 23% от 89; б) 115% от 39.
Решение.
а) 59 * 23 : 100 = 20,47.
б) 39 * 115 : 100 = 44,85.
Пример 2. Найти 25% от числа 236.
Решение.25% = 0,25, отсюда 236 * 0,25 = 59.
Пример 3. а) Найдите число, 23% которого составляют 52. б) Найдите число, 125% которого составляют 240.
Решение.
а) 52 : 23 * 100 = 226.1;
б) 240 : 125 * 100 = 192.
Пример 4. Вычислите, сколько процентов составляет число 52 от 400.
Решение.
52 : 400 * 100 = 13 (%).
Пример 5. 200 мл отвара сбора № 4 содержат 15% корней солодки. Сколько это граммов?
Решение.
15-100
х -200
х=200*15/100=30г
Ответ: 30г.
Практические задания
Ответьте на вопросы:
Сформулируйте определение пропорции.
Какими свойствами обладает пропорция?
Как вычислить неизвестный член пропорции?
Что показывает процент?
Перечислите основные типы задач на проценты.
Как найти указанный процент от числа?
Как найти число по его указанному проценту?
Как найти процентное отношение двух чисел?
Сформулируйте определение концентрации.
Что показывает процентная концентрация?
Перечислите типы задач на расчет процентной концентрации растворов.
Решите задачи:
1). Найдите 37% от 78.
2). Найдите 123% от 29.
3). Найдите число, 42% которого составляют 84.
4). Найдите число, 155% которого составляют 95.
5). Вычислите, сколько процентов составляет число 71 от числа 350.
6). Рассчитайте количество сухого вещества в 750 мл 0,2% раствора.
7). Сколько сульфацила натрия находится во флаконе 5 мл 30% раствора?
8). Вес четырёхмесячного плода равен 120 г, а вес семимесячного плода - 1100 г. Сколько процентов вес четырёхмесячного плода составляет от веса семимесячного плода?
9). Сколько сульфацила натрия находится во флаконе 10 мл 40% раствора?
10). Для раствора используется соотношение 5:200. Сколько литров раствора можно приготовить из 1,5кг чистого вещества?
Практические занятия №№ 5, 6.
Тема: «Решение линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений»
Цель: отработать навыки решения линейных уравнений, систем линейных уравнений по алгоритму.
Теоретический материал
Равенство — это два выражения, соединенные знаком равенства («=»). Равенство, верное при всех значениях входящих в него букв, называется тождеством.
Равенство, содержащее букву, значение которой нужно найти, называется уравнением.
Значение буквы, при котором уравнение превращается в верное равенство, называется решением или корнем уравнения.
Решить уравнение — это значит найти все его решения или показать, что уравнение решений не имеет.
Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида:
ax + b = 0, где a и b – известные действительные числа, а x – неизвестная величина.
Для линейного уравнения ax + b = 0 могут представиться три случая:
Если a ≠ 0, то решение (корень) уравнения имеет вид: .
Если a = 0, b = 0, тогда 0 · x + 0 = 0. Здесь x может быть любым числом.
Если a = 0, b ≠ 0, тогда 0 · x + b = 0. Здесь нет решений.
Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.
Общий порядок решения задач с помощью уравнений:
1). Ввести переменные, т. е. буквами x, y, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.
2). С помощью введённых переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составить уравнение (или систему уравнений).
3). Решить составленное уравнение (или систему уравнений) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.
4). Если буквами x, y, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:
(1)
где а11, а12, а13, а21, а22, а23 – заданные числа; x, y – неизвестные. Числа а11, а12, а21, а22 – коэффициенты при неизвестных; а13, а23 – свободные члены.
Методы решения систем уравнений:
1). Метод подстановки.
Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например x, через коэффициенты и другое неизвестное y:
(2)
2) Подставляем во второе уравнение вместо x:
.
3) Решая последнее уравнение, находим y:
.
4) Подставляем это значение вместо y в выражение (2):
.
2). Сложение или вычитание.
Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на (– а21), а обе части 2-го уравнения на а11 и складываем их:
Отсюда получаем:
.
2) Подставляем найденное для y значение в любое уравнение системы (1):
.
3) Находим другое неизвестное:
.
Таким образом, формулы для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:
, (3)
.
3). Правило Крамера.
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел или буквенных выражений, содержащая m строк и n столбцов:
,
aij называют элементами матрицы.
Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det A (или, или Δ), называемое её определителем, следующим образом:
n = 1. A = (a1); detA= a1.
n =2. ; .
n =3. ; тогда
Правило Крамера.
Используя определители, можно переписать формулы (3):
; . (4)
Формулы (4) называются правилом Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Исследование решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, показывает, что в зависимости от коэффициентов уравнений возможны три различных случая:
коэффициенты при неизвестных не пропорциональны: ,
в этом случае система линейных уравнений имеет единственное решение, получаемое по формулам (4);
все коэффициенты уравнений пропорциональны: ,
в этом случае система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, так как здесь мы имеем фактически одно уравнение вместо двух.
коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны
свободным членам: , в этом случае система линейных уравнений не имеет решений, так как мы имеем противоречивые уравнения.
Образец решения задач
Пример 1. Решить систему уравнений:
Из первого уравнения выразим х через коэффициенты и y:
x = ( 2y + 4 ) / 3 .
Подставляем это выражение во второе уравнение и находим y:
( 2y + 4 ) / 3 + 3y = 5 , откуда y = 1 .
Теперь находим х, подставляя найденное значение вместо y в выражение для х: x = ( 2 · 1 + 4 ) / 3, откуда x = 2 .
Пример 2. Решить систему уравнений методом сложения или вычитания:
Умножаем первое уравнение на –1, второе – на 3 и складываем их:
отсюда y = 1. Подставляем это значение во второе уравнение: 3x + 9 = 15, отсюда x = 2.
Пример 3. Найдите определители:
Пример 4. Решить систему уравнений, используя правило Крамера.
Решение.
Здесь a11 = 1, а12 = 1, а13 = 12, а21 = 2, а22 = –3, а23 = 14 .
Практические задания
Ответьте на вопросы:
Сформулируйте определение уравнения.
Что значит решить уравнение?
Что называется линейным уравнением с одним неизвестным?
Перечислите основные методы решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Что называется матрицей?
Что называется определителем второго порядка?
Что называется определителем третьего порядка?
Решите задачи:
1). Является ли число - 1,5 корнем уравнения:
а) 6х+8=0,5+х;
б) -х-5=2х+6,5?
2). Является ли уравнение линейным:
а) 36-0,8х=-4;
б) 0,8 : х =0,2;
в) (х+1)(х-2)=0?
3). Решите уравнение:
а) 2х-1=-1,8;
б) 5,3-х= - 6,5;
в) .
4). Решите уравнение: 11(х-4)+10(8-3х)=4+3(4-3х).
5). Решите уравнение: 3(2у+1)-4(1-3у)-5(6у-7)=16.
6). При каком значении переменной х значение выражения 4(5-2х)+36 равно 2х?
7) При каком значении переменной х значение выражения 5(4х-9) на 39 больше значения выражения 6х?
8) При каком значении переменной х значение выражения 5х-7 на 6 больше значения выражения 8-2х?
9) При каком значении переменной х значение выражения 3(2х-4)+5х-(28+х) равно 0?
10) Решите задачу с помощью уравнения: «Одно число в 4 раза больше другого. Найдите эти числа, если их разность равна 81».
11) Студент задумал число. Затем увеличил его втрое и к полученному результату прибавил 21. У него получилось 72. Найдите задуманное число.
12) Сумма трёх последовательных целых чисел равна 144. Найдите эти числа.
13) На трёх полках лежит 66 книг, причём на нижней полке втрое больше, а на средней вдвое больше, чем на верхней. Сколько книг на каждой полке?
14) В первом баке бензина втрое больше, чем во втором. Если перелить из первого бака во второй 25 л бензина, то в баках бензина будет поровну. Сколько литров бензина в первом баке?
15). Решите систему уравнений способом сложения:
а)
б) ?
16). Решите систему уравнений способом подстановки:
а)
б)
17). Решите систему уравнений:
а) ;
б) ;
18). Решите систему уравнений:
19). Решите систему уравнений:
1.
2.
3.
Практическое занятие № 7
Тема: «Понятие вероятности случайных событий. Простейшие теоремы о вероятности случайных событий»
Цель: отработать навыки решения задач на применение основных понятий теории вероятностей.
Теоретический материал
Раздел математики, посвященный исследованию количественных оценок случайных событий, называется теорией вероятностей.
Случайным событием называют событие, которое может либо произойти, либо не произойти.
Всякий результат или исход испытания называется событием.
Если событие может произойти или не произойти, то оно называется случайным.
Если событие непременно должно произойти, то оно называется достоверным.
Если событие заведомо не произойдет то оно невозможное.
События называются несовместными, если каждый раз может появиться только одно событие.
События называется совместным, если в данных условиях появление одного события не исключат появления другого, при этом же испытании.
События называются противоположными событиями, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходными, несовместны.
События называют равновозможными, если есть основание считать, что одно из них не является более возможным, чем другое.
События называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или не наступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации, в противном случае события называются зависимыми.
Вероятностью события А называется отношение числа исходов m благоприятствующих наступлению данного события А к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных) т.е. .
Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы: .
Образец решения задач
Пример. В отделе имеются 17 упаковок отечественного производства и 10 упаковок импортного производства некоторого лекарственного препарата. Найдите вероятность того, что наудачу взятия упаковка окажется отечественного производства.
Дано:
m=17
n=27
Найти: Р(А).
Решение.
Р(А)=m : n
Р(А) = 17:27=0,63*100%=63%.
Ответ: 63%.
способов.
Практические задания
Ответьте на вопросы:
Что называется случайным событием?
Что называется событием?
Какие события называются случайными?
Какие события называются достоверными?
Какие события называются совместными? несовместными?
Сформулируйте определение вероятности.
Определите, чему равна вероятность рождения мальчика.
Определите вероятность рождения девочки.
Определите вероятность получения положительной оценки.
Определите вероятность выпадения чётного числа очков при бросании игральной кости.
Определите вероятность достоверного события.
Решите задачи:
1). В ящике 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Найдите вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10.
2). В партии из 20 изделий четыре бракованных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий окажется 2 бракованных (событие В).
3). Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.
4). Найти вероятность того, что при одном бросании кубика выпадает:
а) 4; б) четное число очков.
5). Вычислите вероятность получения положительной оценки.
6). При стрельбе из винтовки вероятность попадания в цель равна 0,85. Определить число попаданий, если было произведено 120 выстрелов.
7). В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша (денежного или вещевого) для владельца одного лотерейного билета?
8). Из слова ПОЛИКЛИНИКА выбирается наугад одна буква. Какова вероятность, что это гласная?
Практическое занятие № 8
Тема: «Дифференциальное исчисление»
Цель: отработать навыки вычисления производных функций, дифференциала.
Теоретический материал
- мгновенная скорость изменения функции
Физический смысл производной: производная есть мгновенная скорость изменения функции.
Обозначение: f `, f `(x), y`.
где - приращение функции
- приращение аргумента
Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке.
Угловой коэффициент – тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси ОХ.
Дифференцирование – это операция нахождения производной данной функции.
- уравнение касательной к графику функции
х0, у0 – координаты точки касания
х, у – координаты произвольной точки касательной
f `(x0) – угловой коэффициент касательной
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Символически определение записывается в виде .
Таблица производных
Правила дифференцирования
Пусть k – постоянное число, u (x), v (x) – две функции, дифференцируемые на некотором интервале.
1) Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
2) Производная алгебраической суммы функций равна сумме их производных:
3) Производная произведения двух функций:
4) Производная частного двух функций:
.
Производная сложной функции
Сложная функция – это функция от функции F(x)=f(g(x)).
Производная сложной функции находится по формуле: .
Дифференциал функции
Пусть функция имеет производную .
Выражение называют дифференциалом функции f(x) в точке х и обозначают df (читается «дэ эф»).
Дифференциал аргумента dx равен его приращению Δx:
dx = Δx.
Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента: .
Образец решения задач
Пример 1. Вычислите производную функции:
1)
Решение.
;
2)
Решение.
;
3)
Решение.
;
4) f(x)=(1-2x) -6
Решение.
((1-2x) -6)’ = -6(1-2x) -7(-2)=12(1-2x) -7
f(x)=x -6
g(x)=1-2x.
Пример 2. Вычислить значение дифференциала функции .
Решение.
.
Практические задания
Ответьте на вопросы:
Сформулируйте определение производной функции в точке.
Каков физический смысл производной?
Каков геометрический смысл производной?
Какая операция называется дифференцированием?
Какие известны правила дифференцирования?
Что называется дифференциалом функции?
Вычислите производную функции:
Практическое занятие № 9
Тема: «Интегральное исчисление»
Цель: отработать навыки вычисления неопределённого и определённого интегралов различными методами (непосредственное интегрирование, метод замены переменной, интегрирование по частям).
Теоретический материал
Операция интегрирования сводится к нахождению функции F- первообразной, производная которой равна данной функции, т.е. .
При этом если функция y=F(x) является первообразной для функции y=f(x) на промежутке (a, b) или Х, то и любая функция y=F(x) +C является первообразной для функции y=f(x) на этом промежутке.
Действительно: (F(x)+C)` = F`(x)+C` = f(x), т.к. С` =0, где С- const.
Если функция f(x) имеет на промежутке (a, b) или Х хотя бы одну первообразную, то ее называют интегрируемой на этом промежутке.
Совокупность всех первообразных функции – есть неопределенный интеграл.
,
где:
- знак интеграла
F(x) - подынтегральная функция, F(x)dx – подынтегральное выражение, Х – переменная интегрирования, С – постоянная интегрирования. Геометрический смысл неопределенного интеграла: совокупность графиков всех первообразных подынтегральной функции.
Таблица интегралов
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
Свойства неопределенного интеграла.
Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов слагаемых.
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. .
Если , то .
Методы интегрирования:
непосредственное интегрирование- интегрирование на основании формул интегрирования и свойств неопределенного интегрирования.
замена переменных (метод подстановки)- интегрирование через вспомогательную переменную т.е в подынтегральную функцию f(x)dx можно ввести вместо х вспомогательную переменную Z, связанную с х некоторой зависимостью x=(z), тогда при этом, если интеграл принадлежит табличным или сводится к ним легче, чем исходный, то преобразования достигли цели.
по частям.- метод сводится к сведению данного интеграла к интегралу с помощью формулы , что дает возможность получить более легкий для вычисления интеграл .
Эти методы интегрирования используются и при вычислении определенного интеграла, который представляет из себя разность значений первообразной функции в точках а и в и не зависят от того, какую именно первообразную функции y=f(x) мы выбираем (т.е. определенный интеграл - есть приращение первообразной).Обозначение определенного интеграла ,
где F(x) – одна из первообразных функции f(x) на отрезке [a, b].
Формула вычисления определенного интеграла носит название – формула Ньютона-Лейбница.
Свойства определенного интеграла:
1) ,
2) ,
3) интегрирование неравенства.
Если f(x)g(x), то ,
4),
5).
Геометрический смысл определенного интеграла - площадь криволинейной трапеции: фигуры, ограниченной прямыми y=0, x=a, x=в и графиком непрерывной и неотрицательной на [a, b] функции y=f(x).
Методы интегрирования определенного интеграла повторяют методы интегрирования неопределенного интеграла:
непосредственное интегрирование;
интегрирование подстановкой;
интегрирование по частям.
Образец решения задач
Пример 1. Вычислите неопределенный интеграл:
Пример 2. Вычислите неопределенный интеграл с использованием его свойств:
Пример 3: Вычислите интеграл:
Пусть 2х-1=z, тогда d(2x-1)=dz 2dx=dz
.
Пример 4: Вычислите интеграл:.
Представим подынтегральное выражение в виде , тогда U есть x, V есть ex, т.е. dV=exdx, тогда получим .
Пример 5: Вычислите определённый интеграл:
.
Практические задания
Ответьте на вопросы:
Какое действие называется интегрированием?
Какая функция называется интегрируемой?
Какая функция называется первообразной для функции f(x)?
Чем отличаются друг от друга различные первообразные функции для данной функции f(x)?
Дайте определение неопределённого интеграла.
Как проверить результат интегрирования?
Каков геометрический смысл неопределенного интеграла?
Какими свойствами обладают неопределённые интегралы?
Перечислите методы интегрирования.
Каков геометрический смысл определенного интеграла?
Вычислите интегралы:
Практическое занятие № 10
Тема: «Приложение определённого интеграла к решению прикладных задач»
Цель: научиться определять форму полученной фигуры в сравнении с криволинейной трапецией, аналитически выражать и вычислять площадь полученной фигуры.
Теоретический материал
Фигура, ограниченная снизу отрезком [a;b] оси Ох, сверху графиком непрерывной функции у = f(x), принимающей положительные значения, а с боков отрезками прямых х = а и х = b, называется криволинейной трапецией.
Вычисление площади такой фигуры являлось одной из причин введения определенного интеграла.
S(x)
y=0 0abA
B
f(x))
xy
Площадь криволинейной трапеции является первообразной функции f(x). Функция F(x) называется первообразной функции от f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется условие: F`(x)=f(x).
Правила вычисления первообразных.
1) Первообразная суммы равна сумме первообразных.
(F+G)` = F`+G` = f + g
2) Постоянный множитель можно вынести знак первообразной.
(kF)` = kF` = kf3) Если F(x) – первообразная для f(x) и k, b – постоянные, причём , то - первообразная для f(kx+b).
.
Алгоритм вычисления площади плоской фигуры:
Построение графиков функций, образующих данную фигуру.
Определение формы полученной фигуры в сравнении с криволинейной трапецией.
Аналитическое выражение площади полученной фигуры.
Вычисление площади полученной фигуры.
Образец решения задач
Пример. Найдите площадь фигуры, ограниченной осями координат, графиком функции и прямой х = - 2.
Решение.
1. Графиком функции является парабола.
Вершина параболы , где а = 1, b = 8:
х0 = - 4
у0 = (-4)2 + 8*(-4) + 16 = 16 – 32 + 16 = 0
(- 4; 0) – вершина параболы
2. Найдём точки пересечения графика функции с осью Ох (у=0):
х = 0 – вершина параболы лежит на оси Ох.
3. Найдём точки пересечения графика функции с осью Оу (х=0):
у = 02 +8*0 + 16 = 16
(0; 16) – точка пересечения параболы с осью Оу.
ху
0
у= - 2
- 4
-2
АВС – криволинейная трапеция, тогда
, где
а = - 4
b = - 2
Практические задания
Ответьте на вопросы:
Сформулируйте определение криволинейной трапеции.
Сформулируйте определение первообразной.
Сколько первообразных может иметь каждая функция?
Каков алгоритм вычисления площади криволинейной трапеции?
Какие известны правила вычисления первообразных?
По какой формуле вычисляется площадь криволинейной трапеции?
Вычислите площадь фигуры, ограниченную линиями:
у=2х, х=2, х=5, у=0.
у=3-х, х=1, х=2, у=0.
у=9-х2, х=-1, х=2, у=0.
у=х2+5х+6, х=-1, х=2, у=0.
у=х2-6х+9, х=2, х=0, у=0.
у=х2-6х+10, х=-1, х=3, у=0.
Практическое занятие № 11
Тема: «Обыкновенные дифференциальные уравнения»
Цель: отработать навыки решения дифференциальных уравнений с помощью неопределённого интеграла.
Теоретический материал
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.
Обозначения: F(x;y;y`) = 0, F(x;y;y``) = 0, F(x;y;y``;…у(n)) = 0.
Порядок дифференциального уравнения - порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные не выше первого порядка.
Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y=φ(x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в верное равенство. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием.
Общим решением дифференциального уравнения y`=φ(x,y) в области определения D(f) называется решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения (уравнение первого порядка содержит одну произвольную постоянную).
Частное решение дифференциального уравнения - решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных, при этом значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.
Образец решения задач
Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения y` = x, если х=0, у=2.
Решение.
Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения y`=2y-6, если х=0, у=4.
Решение.
Разделим переменные
Практические задания
Ответьте на вопросы:
Что называется дифференциальным уравнением?
Что такое порядок дифференциального уравнения?
Что называется решением дифференциального уравнения?
Что такое общее решение?
Какое решение называется частным?
Где применяются дифференциальные уравнения?
Какие уравнения называются уравнениями с разделяющимися переменными?
Каков алгоритм решения дифференциального уравнения при помощи разделения переменных?
Решите задачи:
1). Найдите общее решение уравнения .
2). Найдите общее решение уравнения .
3). Найдите частное решение дифференциального уравнения , х=1, у=0.
4). Найдите частное решение дифференциального уравнения , у=1,5, х=1.
5). Решите уравнение: .
6). Найдите частное решение дифференциального уравнения , если у=0, х=1.
7). Найти частное решение дифференциального уравнения (y+1)dy-xdx=0, если при у=2 х=0.
8). Найдите общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными: y`= - 2xy.
9). Найдите частное решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными xdy-ydx=0, удовлетворяющее начальному условию: у=2, х=1.
ЛИТЕРАТУРА
Основные источники:
1. Луканкин А.Г. Математика: Учебник для учащихся учреждений среднего профессионального образования. А.Г. Луканкин.-М.: ГЭОТАР -Медиа, 2012. - 320 с.
Дополнительные источники:
1. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних учебных заведений. / Н.В. Богомолов. – 7-е изд. М.: Высшая школа, 2007.- 495 с.
2. Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений/С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева.-2-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2007. - 384 с.
3. Киселёва Л.В. Пособие по математике для студентов медицинских училищ и колледжей.-М.: ФГОУ «ВУНМЦ Росздрава», 2005.-168 с.
4. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа. Учебник. Ч. 1/Под ред. Яковлева Г.Н. – 3-е изд., перераб. – М.: Наука, 1987. - 464 с.
5. Михеев В.С., Стяжкина О.В., Шведова О.М., Юрлова Г.П. Математика: Учебное пособие для среднего профессионального образования./В.С.Михеев. – Ростов-на-Дону.: Феникс, 2009. - 896 с.
6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. – 2-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2004. - 608 с.: ил.
Интернет-ресурсы:
www.exponenta.ruwww.slovari.yandex.ruwww.wikiboks.org
revolution.allbest.ru