Конспект урока на тему: СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ (11 класс)

Урок на тему:СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Цель: сформировать навык вычисления углов между векторами, прямыми и плоскостями.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
II. Диктант.
Запомните пропуски, чтобы получить верное высказывание.
Вариант I
Вариант II

1. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы
1. Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно

2. Если A (5; 4; 0), B (3; –6; 2) – координаты концов отрезка AB, то его середина имеет координаты
2. Если A (4; –4; –2), B (–8; 4; 0) – координаты концов отрезка AB, то его середина имеет координаты

3. . Длина вектора равна
3. . Длина вектора равна

4. Вектор имеет координаты {–3; 3; 1}. Его разложение по координатным векторам , и равно
4. Вектор имеет координаты {–2; –1; 3}. Его разложение по координатным векторам , и равно

5. A (2; 7; 9), B (–2; 7; 1). Координаты вектора равны
5. A (–3; 5; 5), B (3; –5; –2). Координаты вектора равны

6. Даны точки A (0; 1; 3), B (5; –3; 3). A – середина отрезка CB. Координаты точки C равны
6. Даны точки A (0; 1; 3), B (5; –3; 3). В – середина отрезка CB. Координаты точки C равны

7. Скалярное произведение векторов {–4; 3; 0} и {5; 7; –1} равно
7. Скалярное произведение векторов {2; –8; 1} и {–3; 0; 2} равно

8. Если = 5, то угол между векторами и
8. Если = –2, то угол между векторами и

9. Угол между векторами {2; –2; 0} и {3; 0; –3} равен
9. Угол между векторами {; ; 2} и {–3; –3; 0} равен

10. Даны точки A (1; 3; 0), B (2; 3; –1), C (1; 2; –1). Угол между векторами и равен
10. Даны точки A (1; 3; 0), B (2; 3; –1), C (1; 2; –1). Угол между векторами и равен

III. Объяснение нового материала.
А. Алгоритм нахождения угла между векторами {x1; y1; z1
·} и {x2; y2; z2}, заданными своими координатами.
1. Вычислить длины векторов и :
, .
2. Найти скалярное произведение :
= x1
· x2 + y1
· y2 + z1
· z2.
3. Найти косинус угла
· между векторами и по формуле:
cos
· =.
Примеры.
1. (№ 451 (д)). {; –; 2}, .
Найдите угол между векторами и .
1) . .
2) – 2
· 1 = –1 – 1 – 2 = –4 .
3) cos
· == –1
· = 180°.
2. (аналогичный № 453).
Даны точки A (1; 3; 0), B (2; 3; –1), C (1; 2; –1). Найдите угол между и .
1) A (1; 3; 0), B (2; 3; –1) {2 – 1; 3 – 3; –1 – 0}.
{1; 0; –1} .
A (1; 3; 0), C (1; 2; –1) {1 – 1; 2 – 3; –1 – 0}.
{0; –1; –1} =.
2) {1; 0; –1}, {0; –1; –1} = 1
· 0 + 0
· (–1) + 1
· 1 = 1.
3) cos
· = cos
· = 60°.
Найдите угол между и .

· = 180° – 60° = 120°.


В. Нахождение угла между прямыми.
Ввести понятие направляющего вектора прямой.
Так как угол между прямыми принято считать острым, тоcos
· =, где и – направляющие векторы прямых.
Пример (№ 464 (а)). Вычислите угол
· между прямыми и , если A (3; –2; 4), B (4; –1; 2), C (6; –3; 2), D (7; –3; 1).
1. {1; 1; –2}, .
{–1; 0; 1}, .
2. = 1
· (–1) + 1
· 0 – 2
· 1 = –3.
3. cos
· =
· = 30°.
С. Нахождение угла между прямой и плоскостью.

Пусть {x1; y1; z1} направляющий вектор прямой a.
Вектор {x2; y2; z2} – ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости
·.
sin
· = cos
· =.

Пример (№ 469 (а)).

Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб,AC BD = N, M A1D1, A1M : MD1 == 1 : 4.
Вычислить sin(MN, (ABC)).

Решение
1. Введем систему координат.
2. Пусть AB = a. Тогда B (0; 0; 0), A (a; 0; 0), A1 (a; 0; a), C (0; a; 0),N , M .
3. .

4. {0; 0; a}.
5. .
6. .
Домашнее задание: теория (п. 51), №№ 451, 453, 464 (б, в, г), 469 (б, в).

Рисунок 2Рисунок 3Рисунок 5Рисунок 6Рисунок 9Рисунок 12Рисунок 14Рисунок 16Рисунок 18Рисунок 19Рисунок 21Рисунок 23Рисунок 26Рисунок 28Рисунок 29Рисунок 30Рисунок 31Рисунок 32Рисунок 33Рисунок 34Рисунок 36Рисунок 38Рисунок 42Рисунок 44Рисунок 47Рисунок 48Рисунок 49Рисунок 52Рисунок 56Рисунок 57Рисунок 61Рисунок 62Рисунок 63Рисунок 65Рисунок 69Рисунок 70Рисунок 71Рисунок 72Рисунок 73Рисунок 76Рисунок 80Рисунок 82Рисунок 85Рисунок 86Рисунок 88Рисунок 90Рисунок 92Рисунок 96Рисунок 97Рисунок 103Рисунок 10515