Конспект урока по геометрии на тему Параллельные прямые в пространстве (10 класс)

ТЕМА УРОКА: ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Цель урока: ввести понятие параллельных прямых в пространстве; рассмотреть свойства параллельных прямых; рассмотреть взаимное расположение 2-х прямых в пространстве. Ввести понятие параллельных и скрещивающихся прямых; доказать теоремы о параллельности прямых и параллельности 3-х прямых; закрепить эти понятия на моделях куба, призмы, пирамиды; развитие умения обобщать полученные знания; развитие логического мышления, внимания; развитие умения четко выполнять чертежиОборудование: учебник Л.С. Атанасян «Геометрия», 10-11 класс; проектор, доска; презентация
Ход урокаI. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать его цели.
II. Повторение пройденного материала
 Верно ли, что если концы отрезка лежат в данной плоскости, то и его середина лежит в данной плоскости?
Могут ли две плоскости иметь общую точку, но не иметь общей прямой?
Точка А не лежит в плоскости KMN. Назовите прямую пересечения плоскостей AMN и AKM.
Даны точки А, В, С и D. Плоскость α проходит через прямую АВ, но не проходит через точку С. Прямые AD и ВС пересекаются в точке В. Сколько данных точек лежит в плоскости α?
В пространстве даны прямая и точка. Сколько различных плоскостей можно через них провести?
Верно ли, что если три данные точки лежат в одной плоскости, то они не лежат на одной прямой?
Могут ли три прямые иметь общую точку, но не лежать в одной плоскости?
Три прямые пересекаются в точке А. Через данную точку необходимо провести плоскость, содержащую ровно две из трех данных прямых.
Сколько таких плоскостей можно провести? Рассмотрите все возможные случаи.
Самопроверка:
1 2 3 4 5 6 7 8
Да Нет АМ три Одну или бесконечно много Нет Да Три или не одной
III. Изучение нового материала
1.

2. Перейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Однако второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором - такие прямые называются скрещивающимися.
Даем определение. Сопровождаем показ параллельности, пересечения, скрещивания прямых хотя бы на модели куба, параллелепипеда, пирамиды (рисунки с обозначениями).

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
3. Докажем теорему о параллельных прямых.
Теорема:
1653540448945Дано: А; А ∈ а. Провести через А прямую b || а, доказать ее единственность (рис. 2).
 
 
Доказательство:
По условию даны прямая а и не лежащая на ней точка А. По ранее доказанной теореме через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем плоскость α. Теперь в плоскости а через току А проведем прямую b || а, а из планиметрии известно, что через точку А вне прямой а можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Теорема доказана.
В дальнейшем нам понадобятся такие понятия: два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых, аналогично определяются параллельность отрезка и прямой, параллельность двух лучей.3910965257810Докажем лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми, которой будем пользоваться в дальнейшем.
Лемма: а || b; α; а ∩ α = А (рис. 3).
Доказать, что b ∩ α.
 Доказательство:
1. а || b определяют плоскость β.
2. Получили, что α и β имеют общую точку А, по аксиоме А3  поэтому поэтому В ∈ α следовательно, В ∈ b, b ∈ α.
Докажем, что прямая b не имеет других общих точек с плоскостью α, кроме точки В. А это означало бы, что b ⊂ α.
Если бы прямая b имела еще хотя бы одну общую точку с плоскостью α, то она целиком бы лежала в плоскости α, а это значит, что она была бы общей прямой плоскости α и плоскости β, то есть b ≡ m, но это невозможно, так как по условию а || b, и а ⊂ m. Значит,b ⊂ α = B. Лемма доказана.
4) Из планиметрии известно:
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Аналогичное утверждение имеет место и для 3-х прямых в пространстве.
4311015352425Теорема: Дано: а || с; b || с (рис. 4). Доказать, что а || b, то есть 1) лежат в одной плоскости; 2) не пересекаются.
 Доказательство: 1) Возьмем на прямой b точку М и через а и М проведем плоскость α. Докажем, что b ⊂ α.
Если допустить, что b ∩ α, то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с ∩ α, но а || с, значит, а ∩ α, что невозможно, так как а ⊂ α.
2) Прямая a ∩ b, так как в противоположном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые (а и b), параллельные с, что невозможно. И значит, а || b и теорема доказана.
IV. Закрепление изученного материала
 
Задача.
Дано: М - середина BD; N - середина CD; Q - середина АС; Р - середина АВ; AD = 12 см; ВС = 14 см (рис. 5).
Найти: PMNQP - ? 
4501515-348615Решение:
1. MN || BC по составу средней линии ⇒ MN || PQ; PQ || BC.2. РМ || AD по составу средней линии ⇒ PM || QN; NQ || DA.
3. По определению MNQP - параллелограмм.
4. PQ = 7; РМ = 6 ⇒ РMNQP = 2(7 + 6) = 26.
(Ответ: 26 см.)
 V. Подведение итогов
 
Домашнее задание
п. 4, 5, теоремы. Задача № 16
Используемая литература:
1. Геометрия: Учебник для средней школы. 10–11 классы./ Под ред. Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева и др. – М.: Просвещение, 2013
2. Геометрия. 10 класс. Поурочные планы / Авт.-сост. Г.И. Ковалева – Волгоград: Учитель, 2004