Рабочий материал по теме Арифметический квадратный корень и его свойства
На сегодняшний день вам известны 5 арифметических действий: сложение, обратное сложению – вычитание, умножение, обратное умножению – деление, и возведение в натуральную степень. Теперь вам предстоит освоить шестое действие, обратное возведению в квадрат, которое называется извлечение квадратного корня.
Квадратным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b которое в квадрате дает число а.
( Прочитайте запись и объясните ее:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
( Какие из выражений не имеют смысла и почему:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 ?
( Попробуйте найти значение корня
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
( Запишите выражения и найдите их значения:
квадратный корень из сорока девяти,
квадратный корень из восьмидесяти одного,
квадратный корень из одной шестнадцатой,
квадратный корень из одной сотой,
квадратный корень их четырех сто двадцать первых.
Контрольная точка
Найдите значение корня:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Находить значение квадратного корня можно с помощью таблицы квадратов или калькулятора.
Как работать с таблицей квадратов?
Возведение в квадрат: 752 = 5625
Извлечение квадратного корня:13 EMBED Equation.3 1415
75 – это 7 десятков и 5 единиц
Те корни, которые имеют приближенное значение, называются иррациональными числами.
- число рациональное
- число иррациональное
( С помощью таблицы квадратов возведите данные числа в квадрат и запишите обратное действие:
752 = 5625 13 EMBED Equation.3 1415 7502 = 562500 13 EMBED Equation.3 1415 7,52 = 56,25 13 EMBED Equation.3 1415
232 = 1202 = 1,42 =
572 = 6202 = 3,42 =
822 = 4102 = 0,252 =
462 = 95002 = 5,62 =
512 = 7302 = 0,842 =
972 = 2602 = 2,92 =
Проверьте результата с помощью калькулятора.
( Найдите значение квадратного корня, используя таблицу квадратов:
, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
( Найдите значение выражения: ( Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
( Вычислите значение корня с помощью калькулятора, округляя результат до сотых:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
Контрольная точка
Выпишите рациональные числа:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Из двух корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше.
13 EMBED Equation.3 1415т.к. 15>7
Если корень возвести в квадрат, то получим подкоренное выражение:
, а > 0
Если извлечь корень из квадрата некоторого числа, то получим модуль подкоренного выражения:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
( Расположите предложенные числа в порядке возрастания:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415, 12, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 3, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
( Укажите: а) три целых числа, следующих за 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
б) два целых числа предшествующих 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
в) два целых числа, между которыми находится 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
( Найдите значение следующих выражений:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBE
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Какое из свойств можно применить, чтобы представить число в виде квадрата?
Сколько чисел в квадрате дадут один и тот же результат?
Представьте в виде квадрата следующие числа: 3, 5, 12, 4,5, 10, х.
( Какое из этих свойств можно применить при решении уравнения х2=а ?
Разберите образец решения уравнения х2=а:
Решите уравнения: х2=4, х2=5, х2=7, х2= -25, х2+1=4, 4х2=0, (х-1)2=4, (х+3)2=8
К множеству каких чисел относятся корни уравнения в каждом из случаев?
Контрольная точка
Сравните: 13 EMBED Equation.3 1415 и 12, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, 0 и 13 EMBED Equation.3 1415, -13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Представьте в виде квадрата число: 7; 15; 3,6; 1210; у; -16
С числами, записанными в виде квадратного корня (независимо от того извлекается корень точно или приближенно), можно выполнять ряд действий.
1. Умножать:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2. Делить: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3. Складывать и вычитать как подобные слагаемые: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4. Выносить множитель из-под корня:
13 EMBED Equation.3 1415
5. Вносить множитель под знак корня:
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом: если а > 0, b>0
13 EMBED Equation.3 1415
( Выпишите те выражения, в которых возможны дальнейшие действия, выполните эти действия: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
( Объясните, как, применяя свойства корня, упростить действия по нахождению значения выражения:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
( Найдите значение выражения: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
( Приведите подобные слагаемые:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
( Вынесите множитель из-под знака корня:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
( Внесите множитель под знак корня: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
( Сравните числа, представив их в виде корня:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, 7 и 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 2
( Вынесите, если это возможно, множитель из-под корня и упростите выражение:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Контрольная точка
Расположите числа в порядке возрастания:
13 EMBED Equation.3 1415, 0, 13 EMBED Equation.3 1415, 1,
·5, 13 EMBED Equation.3 1415, -2,5, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 1
Вы рассмотрели, как выполняется умножение и деление иррациональных чисел, узнали в каких случаях эти числа можно складывать и вычитать, научились выносить множитель из-под корня и вносить его под корень.
Такие действия как раскрытие скобок, сокращение дроби, приведение дроби к общему знаменателю с иррациональными числами выполняются так же, как и с рациональными.
Часто, после выполнения действий с иррациональными числами (исключение - сокращение дроби), в результате получается дробь, знаменатель которой содержит иррациональное число (число под корнем). Обычно ответ не оставляют в таком виде, его преобразовывают так, чтобы в знаменателе не было корня. Такие действия называю – освобождение знаменателя дроби от иррациональности.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби нужно подобрать выражение и умножить и числитель и знаменатель дроби на него. Здесь возможны два случая:
а) в знаменателе корень – умножай на точно такой же корень;
б) в знаменателе сумма или разность корней – умножай на сопряженное выражение.
( Выполните действия:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
( Вынесите общий множитель за скобки:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
( Разложите на множители, используя формулу «разность квадратов»:
1 – х а2 – 3 у – 5 b - 2
* Разложите на множители, используя формулу a3(b3:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
( Сократите дробь:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
( Выполните действия: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
( Освободитесь от иррациональности в знаменателе, выполнив действия по образцу:
Функция 13 EMBED Equation.3 1415, так же как и любая другая функция, обладает определенными свойствами и имеет свой график
Выясните свойства и вид графика функции, выполнив практическую работу.
Подготовительная часть
Вспомните:
функция – это зависимость между двумя переменными (обычно это х и у); эта зависимость выражается формулой, например: у=3х+2, у= 13 EMBED Equation.3 1415, у=х2 ;
х называют независимой переменной или аргументом функции, а у – зависимой переменной или значением функции;
график функции – это множество точек, соответствующих таблице значений функции;
у каждой функции свой вид графика.
Практическая часть
а) Заполните таблицу значений для функции 13 EMBED Equation.3 1415 (пользуйтесь калькулятором, результат округляйте до десятых):
х
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
16
25
у
б) По данным таблицы постройте график функции, отметив на координатной плоскости точки с координатами (х;у) и соединив их плавной линией.
Аналитическая часть
Почему в таблице нет отрицательных значений х?
Почему график функции 13 EMBED Equation.3 1415 проходит через начало координат?
Почему график функции расположен в первой координатной четверти?
Выводы запишите в тетрадь.
4. Выполните задание:
1) какие из точек будут принадлежать графику функции 13 EMBED Equation.3 1415:
А(-1; 1), В(2,25; 1,5), С(100; -10), D(0,4489; 0,68)?
2) с помощью графика найдите приближенное значение 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
3) постройте график функции 13 EMBED Equation.3 1415
Теоретические вопросы
Что такое квадратный корень?
Почему квадратный корень из отрицательного числа не существует?
Какие числа называются иррациональными? Приведите примеры.
Объясните свойства: «квадрат корня» и «корень квадрата» (формулы, применение, различие).
Перечислите свойства квадратного корня.
Как выполнить вынесение множителя из-под знака корня?
Как выполнить внесение множителя под знак корня?
Как сравнить значения корней?
Какими свойствами обладает график функции 13 EMBED Equation.3 1415?
Контрольные задания
Найдите значение корня: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Выпишите иррациональные числа: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Выпишите выражения, имеющие смысл:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, -13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Представьте в виде квадрата: 5, 13 EMBED Equation.3 1415, х, х+1
Представьте в виде квадратного корня: 3, 15, 1,3, х
Найдите значение выражения: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислите, применяя свойства квадратного корня:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Вынесите множитель из-под знака корня: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Внесите множитель под знак корня: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Расположите числа в порядке возрастания: 5; 13 EMBED Equation.3 1415; 1; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Оцените значение корня: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Какая из точек принадлежит графику функции 13 EMBED Equation.3 1415:
А(-9; -3), В (3;9), С(9; -3), D(9;3)?
Решите уравнение: х2=5, х2+4=0, (х-3)2=8
Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
При каких значениях переменной выражение имеет смысл: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Читается:
«Корень из двадцати пяти равен пяти»
13 EMBED Equation.3 1415
Значение корня
Для чего нужна таблица квадратов?
Как с помощью таблицы квадратов найти 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415?
Какие числа называют иррациональными?
Какие числа называют рациональными?
Знак корня
Какое число в квадрате дает 25?
Подкоренное выражение корня
Это 5
Потому что:
5 – число неотрицательное
52=25
Понятие арифметического квадратного корня
Что такое квадратный корень?
Как найти значение квадратного корня?
Почему подкоренное выражение не может быть отрицательным?
Почему значение корня – неотрицательное число?
Нахождение арифметического квадратного корня
Смотрим единицы
Смотрим десятки
7
5
6
7
8
9
9
8
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5625
Действия с корнями
х=13 EMBED Equation.3 1415
х2=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
х2=а
Свойства квадратного корня
Какие действия можно выполнять с иррациональными числами?
В каких случаях нужно уметь вносить множитель под знак корня?
Как внести отрицательный множитель под корень?
Для чего нужно уметь выносить множитель из-под корня?
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 , ее свойства и график
Тема 1: «Арифметический квадратный корень и его свойства»
·Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native0Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native