Исследовательская работа ученика 8 класса Шаймарданова Максима по математике Сумма углов треугольника на плоскости и на конусе

Министерство образования Республики Башкортостан
Институт развития образования Республики Башкортостан
Башкирское отделение Общероссийской организации
Малой академии наук «Интеллект будущего»
Номинация: «Математика»
«Сумма углов треугольника на плоскости и на конусе»
Шаймарданов Максим ИльвировичМБОУ СОШ д. Новая Бура, 8 класс
муниципального района Краснокамский район
Республики Башкортостан
Научный руководитель: Салтыкова Руслана Алусьевна
учитель математики
2013 – 2014 учебный год
Содержание
Введение …………………………………………………….…………..……… 3
Цели работы и её задачи ……………………………………………………….. 3
Материал и методика …………………………………………………………. 4
Изготовление математической модели. Экспериментальные измерения ..... 5
Эксперименты с треугольником на выпуклом конусе. Вершина конуса лежит вне треугольника …………………………………………………… 5
Эксперименты с треугольником на выпуклом конусе. Вершина конуса лежит внутри треугольника ……………………………………………… 6
Эксперименты с треугольником на вогнутой конической поверхности.. 7
Таблица результатов измерений ………………………………………..…... 8
Выводы ………………………………………………………………....….…... 9
Литература …………………………………………………………………….. 10
Введение
Всем школьникам старше 7 класса известно, что сумма углов треугольника на плоскости равна 1800. Проверить это на практике с помощью транспортира или доказать соответствующую теорему не составляет особого труда. А как решается вопрос о сумме углов треугольника, если он построен не на плоской, а на выпуклой поверхности, например, на конусе или шаре?
Для экспериментального решения этой задачи нужно выбрать модель. Простейшей моделью поверхности является коническая поверхность, которую можно получить двумя способами: вырезать из круга сектор и склеить, или наоборот – вклеить сектор в круг, разрезав его по радиусу.
Занимаясь данной проблемой, я поставил перед собой следующие цели и задачи.
Цели работы и ее задачи
Экспериментальным путем проверить, чему может равняться сумма углов треугольника на выпуклой и на вогнутой конической поверхности.
Попытаться установить зависимость суммы углов треугольника на конусе от угловой величины вырезанного (или вклеенного) сектора.

Материал и методика.
На первом этапе работы рассматривается вопрос о сумме углов треугольника на конусе, который получен путем вырезания сектора из круга. Вычисляется сумма углов треугольника экспериментальным путем – непосредственным измерением углов треугольника, вершины которого лежат на конусе (измерения производятся на развертке конуса), и вычислением суммы их градусных мер.. На втором этапе в качестве экспериментальной модели взяли коническую поверхность, которая была получена из круга с разрезом по радиусу, путем вклеивания в него сектора с таким же радиусом. При работе над проектом было установлено, что наиболее интересные результаты получаются, когда вершина конуса оказывается внутри треугольника.
Исследования проводились в сентябре – декабре 2012 года.
Изготовление математической модели. Экспериментальные измерения.
Эксперименты с треугольником на выпуклом конусе. Вершина конуса лежит вне треугольника.
Для проведения первой серии опытов построим и вырежем из бумаги круг произвольного радиуса. Отметим на нем точки А, В, и С так, чтобы центр круга О оказался вне треугольника АВС (рис.1). Вырежем из круга сектор меньше развернутого угла и склеим из оставшейся части конус. Определим сумму углов построенного треугольника АВС.
-515915132080В
00В
-42091611009118757161207244002228131356
-187769597790А
00А

-562610273685С
00С

-140906546355О
00О

31242082077а
00а
4821954107640в
00в
2750185110150б
00б

22733037465Рис. 1. Вершина конуса лежит вне треугольника (развертка)
00Рис. 1. Вершина конуса лежит вне треугольника (развертка)

Для измерения углов делаем разрез по образующей конуса, чтобы получить плоскую развертку конуса.
Возможны три случая:
Сектор вырезается так, что треугольник остается в стороне от разреза (рис. 1, а).
Разрез проходит через сторону треугольника (рис. 1, б).
Разрез проходит через вершину треугольника (рис. 1, в).
Очевидно, что во всех трех случаях сумма углов треугольника равна 1800.
Наиболее интересными оказались следующие две серии опытов.
Эксперименты с треугольником на выпуклом конусе. Вершина конуса лежит внутри треугольника.
Для второй серии опытов нам также понадобится бумажный круг произвольного радиуса. Отметим на нем точки А, В, и С так, чтобы центр круга О оказался внутри треугольника АВС (рис. 2). Вырежем из круга сектор меньше развернутого угла и склеим из оставшейся части конус. На поверхности конуса построим треугольник АВС. Определим сумму углов построенного треугольника.
39776403035300015240030353000
358140-33936Рис. 2. Вершина выпуклого конуса лежит внутри треугольника
00Рис. 2. Вершина выпуклого конуса лежит внутри треугольника
153035-317500
Как и в первом случае, делаем разрез по образующей конуса, чтобы получить плоскую развертку конуса. На этот раз разрез обязательно пройдет через сторону треугольника или через его вершину. Измерения показывают, что и в том, и в другом случае сумма углов треугольника оказывается больше 1800!
Для убедительности проведем этот опыт еще несколько раз – результат такой же. Уже в процессе измерений углов стало ясно, что сумма углов треугольника на таком конусе всегда больше 1800.
Кроме того, измерения показали, что сумма углов треугольника на конусе и угловая мера вырезанного сектора связаны между собой. Оказалось, что сумма углов треугольника больше 1800 на столько, какой величины сектор был вырезан из круга! (см. таблицу результатов, стр. 7). К примеру, если мы вырезали сектор в 300, то сумма углов треугольника на таком конусе будет равна
1800 + 300 = 2100.
Но в таком случае, поскольку вырезать из круга мы можем сектор с угловой мерой менее 3600 (т.е. меньше полного круга), то напрашивается вывод, что сумма углов треугольника на конусе должна быть меньше, чем
1800 + 3600 = 5400.
Эксперименты с треугольником на вогнутой конической поверхности.
301625306705000А теперь попробуем провести такие же эксперименты, только поменяем модель конической поверхности – сделаем разрез круга по радиусу и вклеим в него сектор такого же радиуса. Для уверенности проведем этот эксперимент несколько раз. Так же, как и в случае с первой моделью, сначала построим треугольник так, чтобы вершина конуса лежала вне треугольника (и тут опять сумма углов равна 1800), а затем – чтобы вершина конуса оказалась внутри треугольника. Проведенные опыты показали, что сумма углов треугольника на такой поверхности (рис. 3) меньше 1800, причем – опять же – ровно на столько, какой величины сектор был вклеен в разрез круга.
31616652222500
316166587630Рис. 4. Модель вогнутой конической поверхности. Вклеен
сектор ≥ 1800.
00Рис. 4. Модель вогнутой конической поверхности. Вклеен
сектор ≥ 1800.
30162586995Рис. 3. Модель вогнутой конической поверх-
ности. Вклеен сектор
< 1800.
00Рис. 3. Модель вогнутой конической поверх-
ности. Вклеен сектор
< 1800.

Если же в разрез круга вклеить сектор с величиной угла, больше или равной 1800, то треугольник построить не удается – один или два угла куда-то «выпадают» (рис. 4).
Таблица результатов эксперимента.
Итак, представим полученные результаты экспериментальной работы в таблице:
Номер опыта Величина сектора Конус получен «вырезанием» сектора из круга. Коническая поверхность получена «врезанием» дополнительного сектора в круг
Вершина конуса лежит вне треугольника Вершина конуса лежит внутри треугольника Вершина конуса лежит вне треугольника Вершина конуса лежит внутри треугольника
1 200 1800 2000 1800 1590
2 400 1800 2220 1800 1400
3 600 1800 2390 1800 1200
4 800 1800 2600 1800 1010
5 900 1800 2710 1800 910
6 1200 1800 3000 1800 600
7 1350 1800 3150 1800 440
8 1800 1800 3590 1800 Один из углов треугольника «исчезает»
9 2300 1800 4100 1800 −
Выводы 1800 > 1800,
но <5400 1800 < 1800
Сумма углов треугольника равна сумме углов треугольника на плоскости Больше на угловую величину «вырезанного» сектора Сумма углов треугольника равна сумме углов треугольника на плоскости Меньше на угловую величину «вклеенного» сектора
Выводы:
Сумма углов треугольника на выпуклой конической поверхности больше 1800 (но меньше 5400), причем больше ровно на столько, какой величины сектор мы вырезали из круга при изготовлении конуса.
Сумма углов треугольника на вогнутой конической поверхности меньше 1800, причем разница составляет ровно столько, какой величины сектор был вклеен при изготовлении этой поверхности.
На поверхности, полученной вклеиванием сектора с градусной мерой больше или равной 1800, третий угол куда-то «выпадает», и сумму углов на такой поверхности вычислить невозможно.
Литература
Работа была выполнена полностью самостоятельно.
Никакой литературой не пользовались.