Обучение учащихся решению уравнений в целых числах как средство развития логического мышления

Обучение учащихся решению уравнений в целых числах как средство развития логического мышления
Биккинина Г.Н.
Стерлитамакский филиал Башкирского Государственного Университета
Стерлитамак, Россия
Training students in solving equations in integers as a means of developing logical thinkingBikkinina G.N.Sterlitamak branch of Bashkir State UniversitySterlitamak, Russia
1. Логика как наука.В педагогической психологии логические способы мышления рассматриваются как необходимый способ усвоения своеобразных знаний и видов деятельности разной науки. В логике установлено, что логические приемы обозначают как средство систематизации и обобщения приобретенных знаний, а также как логические методы научного постижения, позволяющие выводить новейшие знания с ранее существующих.
«Математика — гимнастика для ума», - данное высказывание было сказано не случайно. Непосредственно на уроке математики ребёнок учится анализировать, сопоставлять, подводить итог, систематизировать, рассуждать, предполагать, опровергать.
2. Необходимость развития логического мышления учащихся.В случае если говорить о реальном состоянии современной школы, то основное место занимает репродуктивная деятельность. На уроках математики учащиеся практически всё время решают учебно-тренировочные типовые задания. Их назначение состоит в том, чтобы поисковая деятельность учащихся с каждой последующей задачей постепенно свертывалось, это тормозит развитие интеллекта учащихся, в первую очередь, мышления. Поэтому учащиеся привыкают решать задачи, которые всегда имеют готовые решения, причем, как правило, только одно решение. Из-за этого учащиеся начинают теряться в ситуациях, когда задача не имеет решения, или, наоборот, имеет несколько решений. Помимо этого, учащиеся привыкают решать задачи на основе уже выученного правила, поэтому они не могут действовать самостоятельно.
Требуя от учащихся умственных и волевых усилий, сосредоточения внимании, активности воображения, математика развивает высоконравственные особенности личности (упорство, целенаправленность, созидательную динамичность, самостоятельность, ответственность, трудолюбие, выдержку, усердность и критичность мышления) и способность обоснованно отстаивать собственные взгляды и убеждения, а кроме того умение принимать самостоятельные решения.
Важнейшей задачей является формирование логического мышления учащихся. Сами объекты математических умозаключений и правила их конструирования способствуют формированию, умению обосновывать и доказывать суждения, приводить чёткие определения, развивают логическую интуицию, кратко и наглядно раскрывают механизм логических построений и учат их применению. Демонстрируя внутреннюю гармонию математики, формируя понимание красоты и изящества точных рассуждений, арифметика вносит существенный вклад в эстетическое воспитание учащихся.
Актуальность исследования:
В учебниках алгебры приведено всего лишь ряд примеров решения уравнений в целых числах. Я приняла решение самостоятельно, с помощью дополнительной литературы рассмотреть, как можно больше случаев и провести проверочную работу среди студентов первого курса. Данный материал может быть интересен и полезен учащимся, материал работы можно использовать для изучения на элективных занятиях, при подготовке к олимпиадам и к ЕГЭ, а также для самостоятельного изучения.
3. Развитие логического мышления учащихсяв процессе обучения математике.Развитие самостоятельности в мышлении, инициативности в поиске поставленной цели подразумевает решение учащимися нетиповых, нестандартных задач, обладающих несколькими способами решений, хотя и правильных, но разной степени оптимальных. Для того, чтобы решение таких задач поспособствовало объективному формированию активного, поискового мышления, оно должно быть организовано особым образом.
Решение задач на занятиях может отличаться конфигурацией организации деятельности детей, нравом и степенью руководства процессом решения, способом оформления записей.
4. Решение уравнений в целых числах
В учебниках алгебры для 8 класса приведено всего лишь несколько примеров решения таких уравнений. Я решила сама, с помощью дополнительной литературы разобрать как можно больше случаев и провести проверочную работу среди студентов первого курса. Я систематизировала способы решения этих уравнений на восемь групп:
Группировка слагаемых и вынесение общих множителей за скобки. Разложение некоторого числа, стоящего в правой части уравнения, на множители. Выводы о левой части уравнения по делителям правой.
Выражение одного неизвестного через другое, после чего выделение целой части и остатка.
Введение новой переменной.
Представление левой части уравнения в виде суммы неотрицательных слагаемых.
Решение с использованием свойств простых чисел.
Решение с учётом чётности и нечётности выражений.
Решение с учётом остатков от деления на число.
Решение уравнений с двумя переменными как квадратных относительно одной из переменных.
Методы решения уравнений в целых числах. Примеры.
Метод 1. Группировка слагаемых и вынесение общих множителей за скобки.
Пример 1. Решить уравнение m2 - n2 = 2013, где m и n натуральные числа.
Решение:
m2 - n2 = (m + n)*(m - n).
2013 = 31161; 2013 = 12013; 2013 = 3
 
Так как m N, n то m + n > m - n, отсюда возможны четыре варианта:
1) m – n =1,m+n=2013, m=1007,n=1006.2) m – n = 3,m+n=671, m=337,n=334.3) m – n = 11,m+ n =183, m=97,n=86.4) m – n =33,m + n=61, m=47,n=14.Ответ: (1007;1006); (337;334); (97;86); (47;14).
В первом примере путем группировки слагаемых и вынесения общего множителя первоначальное уравнение привела к виду, когда в левой части уравнения стоит произведение сомножителей, содержащих неизвестные, а справа стоит некоторое число. Затем рассматриваются все делители числа, стоящего в правой части уравнения, и делаются выводы о левой части уравнения. Также поступим во втором примере, но решим его в целых числах.
Пример 2. Решить уравнение х2 – х·у – х + у = 1, где х и у целые числа.
Решение:
х· (х - у) – (х - у) = ( х – у)·( х – 1).
1 = 1
отсюда возможны два случая:
х–1=1, х-у=1, х=2,у =1.х–1 =-1, х-у=-1, х=0,у=1.Ответ: (2;1); (0;1).
Метод 2. Метод состоит в том, что мы будем выражать одно неизвестное через другое, после чего выделим целую часть и остаток.
Пример 3.Решить уравнение 2·х2 + 11·х – 2·х·у + у = 5, где х и у целые числа.
Решение:
2·х2 + 11·х – 5 = 2·х·у – у, 2·х2 + 11·х – 5 = у· (2·х – 1),
отсюда
у = 2х2 + 11х – 52х – 1Выражение 2·х – 1 в целых числах в ноль не обращается. Теперь надо 2·х2 + 11·х – 5 разделить с остатком на 2·х – 1, например, столбиком. Получаем
у = х + 6 + 12х-1Поскольку х и у – целые числа, целым должно быть выражение 12х-1 . Это возможно в двух случаях, когда
2х – 1 = 1 и 2х – 1=- 1.2х – 1=1,у=х + 6 + 1, х=1,у=8.2х – 1=- 1,у=х + 6-1, х=0,у=5.Ответ: (1;8); (0;5).
Метод 3. Метод заключается в том, что для решения уравнений в целых числах вводят новые переменные.
Пример 4.Решить уравнение 7·(х + у) = 3· (х2 – х·у + у2), где х и у целые числа.
Решение:
Пусть сумма х и у будет р, а их разность – q. Отсюда
х = р + q2 , у = р- q2 .
7р = 3·3q2+р 2 4, т.е. 28·р=3· (р2 + 3q2).
р, как мы видим из конечного уравнения, неотрицательно и делится на 3, т.е. р = 3k, k 
·3k =3· ((3·k)2 + 3·q2),
·3k =3· (9·k2 + 3·q2),
28·k = (9·k2 + 3·q2),
28·k = 3· (3·k2 + q2).
k делится на 3, поэтому k = 3m, m
·3m = 3·(3·(3·m)2 + q2),
28·m = ·(3·(3·m)2 + q2),
28·m = 27·m2 + q2, m · (28 – 27·m) = q2 .
Так как q2 ≥ 0, то либо m = 0, либо m = 1.
Если m = 0, то k = 0, р = 0, q = 0, и, значит, х = у = 0.
Если m = 1, k = 3, р = 9, q2 = 1. При q = 1, х = 5, у = 4, а при
q2 = - 1
х = 4, у = 5.
Ответ: (0;0); (4;5); (5;4).
Метод 4. Метод заключается в представлении левой части уравнения в виде суммы неотрицательных слагаемых.
Пример 5. Решить уравнение x2 – 2·x·y + 2·y2 + 4·y = 33, где х и у целые числа.
Решение:
Выделим полные квадраты:
(x2 – 2·x·y + y2) + (y2 + 4·y + 4) = 37;
(x – y)2 + (y + 2)2 = 37.
Так как x и y – целые числа, то их квадраты также целые числа. Сумму квадратов двух целых чисел, равную 37, получим, если складываем 1+36. Следовательно:
(x – y)2 = 36 и (y + 2)2 = 1 или (x – y)2 = 1 и (y + 2)2 = 36.
Решая системы, находим решения.
x – y=6,y + 2=1, х=5,у=-1. или 5) x – y=1,y + 2=6, х=5,у=4.x – y=6,y + 2=- 1,х=3,у=-3. 6) x – y=1,y + 2=-6, х=-7,у=-8.x – y=- 6,y + 2=1, х=-7,у=-1. 7) x – y=-1,y + 2=6, х=3,у=4.x – y=- 6,y + 2=- 1,х=-9,у=-3. 8) x – y=-1,y + 2=-6, х=-9,у=-8.Ответ: (5; -1), (3; -3), (-7; -1), (-9; -3), (5; 4), (-7; -8), (3; 4),
(-9; -8).
Метод 5. Решение с использованием свойств простых чисел.
Пример 6. Решить уравнение 19·х + 89·у = 1989 в натуральных числах.
Решение:
Перепишем его таким образом
19·х – 1900 = 89 – 89·у
19· (х – 100) = 89·(1- у)
19 и 89 – взаимно-простые, значит, равенство возможно в 3 случаях.
а) х – 100 = 89,1 – у = 19. б) х – 100 = - 891 – у = - 19.
в) х – 100 = 0,1 – у = 0.а) Решений нет, так как у  ; б) х = 11, у = 20; в) х = 100,
у = 1.
Ответ: (11;20); (100;1).
Метод 6. Метод позволяет решить уравнение, обращая внимание на четность и нечетность выражений.
Пример 7. Доказать, что не существует решений у уравнения:
х2 + х + 1 + у2 + у + 1 = 13.
Решение:
х2 + х + 1 = х·(х+1) + 1.
Так как х·(х + 1) – чётное выражение, то х· (х + 1)+1 – нечётное. Квадратный корень из нечётного числа есть число нечётное. Аналогично у2 + у + 1 - нечётное число. Сумма двух нечётных чисел чётна, то есть в левой части мы имеем число чётное, а в правой – нечётное. Ответ: решений нет.
Пример 8. Решим в целых числах уравнение:
х3 + у3 – 3·х·у = 2.
Решение:
Если х и у оба нечётны или одно из них нечётно, то левая часть уравнения есть число нечётное, а правая – чётное. В этом случае решений нет.
Если же
х = 2·m и у = 2·n,
то
8m3 + 8n3 – 12·т·n = 2,
то есть
2· (2·m3 + 2·n3 – 3·m·n)=1,
что невозможно ни при каких целых m и n.
Ответ: решений нет.
Метод 7. Метод рассмотрения остатков от деления.
При решении многих неопределенных уравнений полезно бывает пронаблюдать остатки чисел от деления на определенное число.
Рассмотрим пример, раскрывающий сущность этого метода.
Пример 9. Решить уравнение в целых числах 3·x – 4·y = 1.
Решение:
3·x = 4·y + 1.
Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. По теореме о делении с остатком число у либо делится на 3, либо при делении на 3 в остатке дает 1 или 2. Рассмотрим три случая.
Если y = 3·m, m Z, то
4·y + 1= 4·3·m + 1 = 12·m + 1
не делится на 3.
Если y = 3·m + 1, то
4·y +1 = 4·(3·m + 1)+1 = 12·m + 5
не делится на 3.
Если y = 3·m + 2, то
4·y +1 = 4· (3·m + 2) +1 = 12·m + 9
делится на 3, поэтому
3·x = 12·m + 9,
следовательно,
x = 4·m + 3, а
y = 3m + 2.
Ответ: x=4·m+3,y=3·m+2, где m Z.
Метод 8. Решение уравнений с двумя переменными как квадратных относительно одной из переменных.
Пример 10. Решить уравнение в целых числах:
5·х2+5·у2+8·х·у+2·у-2·х+2=0.
Решение:
Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:
5·х2 + (8·у - 2) ·х + 5·у2 + 2·у + 2 = 0
D = (8·у - 2)2 - 4·5· (5·у2 + 2·у + 2) = 64·у2 - 32·у + 4 - 100·у2 - 40·у – 40 = -36· (у2 + 2·у + 1) = -36· (у + 1)2
Видим, что D ≤ 0. При D < 0 уравнение корней не имеет.
Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0.
-36· (у + 1)2 = 0.
Это возможно при у = -1, тогда х = 1.
Ответ: (1;-1).
Заключение.
Я провела небольшое исследование методов решения уравнений в целых числах среди студентов первого курса. Чтобы их решить, надо было провести аккуратные рассуждения, базирующиеся на известных фактах о делимости, чётности, свойствах остатков от делимости, ограниченности.
Список литературы
Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. — М.: МЦНМО, 2005. — 560 с.
Косрыкина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7 – 9 классов. – М.: Просвещение, 1991. — 239 с.
Никольская И.Л. Факультативный курс по математике. – М.: Просвещение, 1991. — 383 с.
Шарыгин И.Ф. Решение задач. – М.: Просвещение, 1994. — 252 с.