Решение уравнений в целых числах Учебно-исследовательская работа по математике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕЛИЦЕЙ ГОРОДА БОРРешение уравнений в целых числахУчебно-исследовательская работа по математикеРаботу выполнила:Быкова Василиса Андреевна,учащаяся 8 классаНаучный руководитель:Юрова Зоя Леонидовна,учитель математики высшей категории,МАОУ лицей г. БорБор2017 Оглавление Введение…………………………………………………………………3Историческая справка…………………………………………………5Способ перебора вариантов…………………………………………7Алгоритм Евклида…………………………………………………….10Метод разложения на множители………………………………….15Решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной………………………………..17Метод бесконечного спуска…………………………………………20Заключение……………...…………………………………………….24Список литературы………………………………………………………………...25 Введение Для своей учебно-исследовательской работы я выбрала тему «Решение уравнений в целых числах» или же «диофантовы уравнения», т. к. задачи по этой теме нередко встречаются в олимпиадах по математике, в заданиях ЗФТШ при МФТИ, в которой я обучаюсь, и на ЕГЭ (со слов учителя), однако в учебниках математики она изложена недостаточно полно. Поэтому важно иметь представление о таких уравнениях, знать способы их решений и научиться решать. Эта тема является актуальной в первую очередь для успешного изучения математики и результативного участия в олимпиадах и различных конкурсах. Введение При выполнении работы моей целью было подобрать задания и решить их, пользуясь знаниями по этой теме.Чтобы достичь цели, я поставила перед собой следующие задачи:ознакомление с методами решения некоторых уравнений в целых числах;ознакомление с историей этих уравнений;изучение учебной, справочной и методической литературы;поиск необходимого теоретического и практического материала;получение опыта самостоятельного решения уравнений в целых числах, используя имеющиеся алгоритмы; Историческая справка Решение уравнений в числах является одной из древнейших математических задач. Наибольшего рассвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником, дошедшим до нашего времени, является произведение Диофанта «Арифметика».Диофант, живший III веке н. э., обобщил и расширил накопленный до него опыт решения уравнений в целых числах. Историческая справка Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны Пьеру де Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Это не было изобретением Ферма - он только возродил интерес к поиску целочисленных решений. А вообще задачи, допускающие только целые решения, были распространены во многих странах в очень далёкие от нас времена. Способ перебора вариантов Пример 1.Цифра единиц двузначного числа на 3 больше цифры десятков. Если это число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 4 и в остатке 9. Найдите это двузначное число.Решение:Пусть х – цифра десятков, а у – цифра единиц искомого двузначного числа10х + у1 ≤ х ≤ 90 ≤ у ≤ 9Тогда по условию задачи получаем уравнение 10х + у = 4 (х + у) + 9, упрощая уравнение, получим:6х – 3у – 9 = 0. или 2х – у – 3 = 0 Т. к. у > х на 3, то возможно несколько случаев:х = 1, у = 4х = 2, у = 5х = 3, у = 6х = 4, у = 7х = 5, у = 8х = 6, у = 9Но условию удовлетворяет только х = 6, у = 9Ответ: искомое число 69. Алгоритм Евклида Алгоритм Евклида позволяет найти НОД натуральных чисел a и b, не раскладывая эти числа на простые множители, а применяя процесс деления с остатком. Для этого надо разделить большее из этих чисел на меньшее, потом меньшее из чисел на остаток при первом делении, затем остаток при первом делении на остаток при втором делении и вести этот процесс до тех пор, пока не произойдет деление без остатка. Последний отличный от нуля остаток и есть искомый НОД (a, b).Если d – наибольший общий делитель натуральных чисел a и b, то найдутся такие целые числа A и B, что d = Aa + Bb. Коэффициенты A и B имеют разные знаки; если НОД (a,b) = 1, то Aa + Bb = 1. Пример 1.Решить уравнение в целых числах: 3х + 5у = 7Решение:3х + 5у = 7 (1)Пусть х0 и у0 – решение этого уравнения.Тогда 3х0 + 5у0 = 7 (2)Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получим:3(х – х0) + 5(у – у0) = 0 (3)Пусть х – х0 = а, у – у0 = b (4)Равенство (3) примет вид3а + 5b = 0или 3а = - 5b Отсюда видим, левая часть уравнения делится на 3, значит должна делиться и правая часть на 3, но 5 на 3 не делится, следовательно, должно делиться число – b, т. е. b = - 3 k, k Z. Аналогично рассуждая, получим, что а делится на 5, т.е. а = 5k, где k Z Тогда из равенств (4) получим набор решений: х = х0 + 5k; у = у0 – 3k, где k Z.Найдём х0 и у0.Т. к. коэффициенты при х и у, числа 3 и 5 – взаимно простые, то 3х0 + 5у0 = 1х0 = 2 у0 = - 1Тогда пара (7х0 ; 7 у0), т. е. х = 2  7 = 14 и у = - 1  7 = - 7 удовлетворяет уравнению 3х + 5у = 7 (3  7 х0 + 5  7 у0 = 7)Поэтому общее решение уравнения:х = 14 + 5k,у = -7 – 3k,k Z.Других решений нет.Ответ: х = 14 + 5k, у = -7 – 3k, k Z. Пример 2.Решить уравнение в целых числах: 4х – 16у = 9Решение:4х – 16у = 94(х – 4у) = 9Т. к. левая часть уравнения делится на 4, а правая на 4 не делится, то данное уравнение не имеет решений в целых числах.Ответ: решений в целых числах нет. Метод разложения на множители Пример 1.Решить уравнение в целых числах: х2 – 3ху + 2у2 = 3 (ЗФТШ январь 2017, задача № 10(4))Решение:х2 – 3ху + 2у2 = 3х2 – ху – 2ху + 2 у2 = 3х(х – у) – 2у(х – у) = 3(х – у)( х – 2у) = 3Число 3 – простое.Т.к х и у целые числа, то равенство возможно если:х – у = 3 или х – у = 1 или х – у = - 1 или х – у = - 3х – 2у = 1 х – 2у = 3 х – 2у = - 3 х – 2у = - 1(5 ; 2) (- 1 ; - 2) (1 ; 2) (- 5 ; - 2)Ответ: (5 ; 2) ; (- 1 ; - 2) ; (1 ; 2) ; (- 5 ; - 2). Решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной Пример 1.Решить уравнение в целых числах: 5х2 + 5у2 + 8ху – 2х + 2у + 2 = 0 (школьная олимпиада 2016 год, 11 класс)Решение:5х2 + 2х(4у – 1) + 5у2 + 2у + 2 = 0 – квадратное уравнение относительно х.Чтобы уравнение имело решение, необходимо чтобы D ≥ 0, т. е.– 9(у + 1)2 ≥ 0Отсюда (у + 1)2 = 0у = - 1; тогда х = 1Ответ: (1 ; - 1) Метод бесконечного спуска Пример 1.Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получил 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 84 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся? (Задача из ЕГЭ базового уровня)Решение:Пусть х – верные ответы, а у – неверные ответы. Тогда ученик всего получил 7х очков, а списали с него 11у очков, причем (х + у) < 33. По условию задачи ученик набрал 84 очка и по крайней мере один раз ошибся. Составляем уравнение:7х – 11у = 84 Обозначим 4у = 7zОбозначим – z = 4uz = - 4uДробей больше нет, спуск закончен. Выразим через переменную u сначала y, и затем x: Т. к. х N, у N, то при u = - 1, х = 12 + 11 = 23, у = 7.u = - 2, х = 12 + 22 = 34, у = 14 – не удовлетворяют условию задачи, т. к. х + у < 33.Ответ: верных ответов 23. Заключение Тема «Решение уравнений в целых числах», является не только важной в курсе математики, но ещё и очень интересной и полезной.Подводя итог всему вышеизложенному, я могу сделать следующие выводы:Задачи с неоднозначным ответом приучают нас, учащихся, исследовать любое задание на возможные способы решения и находить эти способы, развивают логическое мышление;При решении таких задач необходимо иметь прочные основы теории и уметь их применять в конкретной ситуации, поэтому у меня была возможность проверить свои знания и убедиться в их значимости на практике.Мы (с учителем) планируем на занятиях элективного курса показать способы решения таких уравнений моим одноклассникам и научить их решать данные уравнения. Список литературы Задачи с целыми числами. Некоторые приёмы и методы решения: В помощь учителю математики. / В. А. Малинин – 2-е изд. – Н. Новгород: Общество «Интелсервис», 2002.Математические олимпиады младших школьников: Кн. для учителя: из опыта работы (в сел. р-нах) / В. Н. Русанов – М.: Просвещение, 1990.Сборник задач по алгебре: Учеб. пособие для 8-9 кл. с углубл. изучением математики / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. – 7-е изд. – М. : Просвещение, 2001.С.А. Генкин, И.В. Итенберг, Д.В. Фомин «Ленинградские математические кружки». Пособие для внеклассной работы. Киров, издательство «АСА», 1994Материалы школьных и районных олимпиад.Материалы контрольных заданий ЗФТШ.ЕГЭ 2016. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания / А. В. Антропов, А. В. Забелин, Е. А. Семенко, Н. А. Сопрунова, С. В. Станченко, И. А. Хованская, Д. Э. Шноль, И. В. Ященко; под ред. И. В. Ященко. – М. : Издательство «Экзамен», 2016 Спасибо за внимание