СЮЖЕТНЫЕ ЗАДАЧИ С УРАВНЕНИЯМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ — ЕГЭ 2017 — С7

СЮЖЕТНЫЕ ЗАДАЧИ С УРАВНЕНИЯМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
1.  Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа А за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа В за несколько рейсов, причем в этом случае число рейсов каждого автобуса типа В будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа А. В каждом из случае в автобусы заполняются полностью.
Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа В входит на 7 человек меньше, чем в автобус типа А?
Ответ: 1980.
2.  Винтики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 3 пакетика в одну коробку. Можно эти же винтики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 3 винтика больше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет лежать по 2 пакетика, а коробок потребуется на 2 больше. Какое наибольшее число винтиков может быть при таких условиях?
Ответ: 840.
3.  Ученик должен перемножить два трехзначных числа и разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в 3 раза больше истинного. Найдите все три числа.
Ответ: 167, 334 и 27889 или 167, 334 и 55778.
4.  Ученик должен перемножить два трехзначных числа и разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в 5 раза больше истинного. Найдите все три числа или докажите, что так не могло получиться.
Ответ: так не могло получиться.
5.  Решите в натуральных числах уравнение , где .
Ответ: , или , .

3.  Красный карандаш стоит 17 рублей, синий карандаш стоит 13 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 495 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных больше чем на пять.
а) Можно ли купить при таких условиях 32 карандаша? (да)
б) Можно ли купить при таких условиях 35 карандашей? (нет)
в) Какое наибольшее число карандашей можно купить при таких условиях? (33)
4.  Красный карандаш стоит 18 рублей, синий — 14 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 499 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на шесть.
а) Можно ли купить 30 карандашей? (да)
б) Можно ли купить 33 карандаша? (нет)
в) Какое наибольшее число карандашей можно купить? (31)
1.  Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а)  Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a2 − b2 + с2 − d2 = 27.
б)  Может ли быть a + b + с + d = 19 и a2 − b2 + с2 − d2 = 19?
в)  Пусть a + b + с + d = 1000 и a2 − b2 + с2 − d2 = 1000. Найдите количество возможных значений числа a.
Ответ: а) a = 7, b = 5, c = 2, d = 1; б) нет; в) 248.
2.  Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а)  Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a2 − b2 + с2 − d2 = 19.
б)  Может ли быть a + b + с + d = 23 и a2 − b2 + с2 − d2 = 23?
в)  Пусть a + b + с + d = 1200 и a2 − b2 + с2 − d2 = 1200. Найдите количество возможных значений числа a.
Ответ: а) a = 6, b = 5, c = 3, d = 1; б) нет; в) 298.