Урок по алгебре и началам анализа Признаки возрастания и убывания (10 класс)
Тема урока: Признаки возрастания и убывания функции.
Цели урока:
Рассмотреть монотонность функции и промежутки монотонности, показать применение монотонности при решении заданий;
развить познавательную активность, интерес к предмету;
воспитать точность, логичность в мышлении.
Оборудование:
портреты И. Ньютона, Г. Лейбница;
карточки с заданиями.
Домашнее задание к уроку: повторить п. 5. Возрастание и убывание функций.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Актуализация прежних знаний
Устная работа.
Математическая разминка.
устно. Ответы проверяются с помощью таблицы «ответ – буква». Записывают только буквы, из которых получаются фамилии ученых.
Задания: найдите y'(x) или y'(x0).
I вариант II вариант
y = 5xІ + 4, x0 = 6 Н 1. y = 0,5xІ – 6x + 1/5 Л
y = 15cosx + 3 Ь 2. y = 11 + 8sinx Е
y = -0,5xІ + 6x + 17 Ю 3. y = 2
·x + 4x, x0 = 9 Й
y = 1/x + 2
·x Т 4. y = 4/x –
·x Б
y = 2x + cosx О 5. y = 7,9 + 2xІ, x0 = 0 Н
y = 60x + 4,8 Н 6. y = sinx – cosx, x0 = 0 И
y = 3,5xІ – 12, x0 = 1/7 И 7. y = cosx + 2sinx, x0 = 0 Ц
Ответы:
Б: -4/хІ – 1/(2
·х)
Е: 8соsх
И: 1
Й: 4,3
Л: х – 6
Н: 60
О: 2 – sinх
Т: -1/хІ + 1/
·х
Ц: 2
Ь: -15sinx
Ю: -x + 6
2.Сообщения учащихся.
Историческая справка.
Весь мир его узнал по изданным трудам,
Был даже край родной с ним вынужден считаться,
Уроки мудрости давал он мудрецам,
Он был мудрее их: умел он сомневаться.
Вольтер «Надпись к портрету Лейбница»
Готфрид Лейбниц Исаак Ньютон
(1646 – 1716) (1643 – 1727)
Краткий рассказ двух учащихся о жизни этих ученых и их вкладе в изучение математического анализа (учащиеся сами находят информацию, работая с дополнительной литературой и другими информационными ресурсами). Вывод: они одновременно разработали основы математического анализа; если Ньютон исходил из задач механики, то Лейбниц – из геометрических задач.
2. Индивидуальная работа
4. Индивидуальные задания.
Во время математической разминки 2 человека работают с индивидуальными заданиями у доски.
1 задание. Решить неравенство методом интервалов: х4 – 4х2 > 0.
2 задание. Указать промежутки возрастания, убывания функций:
у = 2/х; у = х2 – 4; у = -х2 + 3х +6; у = 0,2х5 – 4/3 х3
Выполнив первые три задания, получаем проблему: как найти промежутки монотонности для четвертой функции?
Итак, сформулируйте тему и цель нашего урока.(Учащиеся сами проговаривают тему и ставят цели).
5. Введение нового материала (в ходе фронтальной беседы с элементами исследования).
- Какая функция называется возрастающей, убывающей?
- Для функций, графики которых изображены на рисунках, укажите промежутки возрастания, убывания (на рисунках графики различных функций).
Разбор второго индивидуального задания.
- Как определить промежутки возрастания, убывания функции у = 0,2х5 – 4/3 х3
Для этого исследуем график некоторой функции (предложен на рисунке).
На каждом из промежутков (-
·;х1), (х1;х2), (х2;х3), (х3;+
·) построим касательные.
Задание. Проанализировать расположение касательных по отношению к оси абсцисс (угол наклона) и определить знаки значений производной.
Учащиеся самостоятельно делают вывод.
Вывод:
Достаточный признак возрастания функции. Если f '(x) > 0 в каждой точке интервала I , то функция f возрастает на I.
Достаточный признак убывания функции. Если f '(x) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Учащиеся вместе с учителем составляют план исследования функции на возрастание (убывание).
План:
Найти область определения.
Найти производную функции.
Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Определить знаки производной.
Вывод о «поведении» функции.
Пример.
у = 0,2х5 – 4/3 х3
определена при любом х
у ' = х4 – 4х2
у ' существует во всех точках.
у ' = 0; х4 – 4х2 = 0;
х2(х – 2)(х + 2) = 0
4.
Х
-2
0
2
У!(х)
+
-
-
+
У(х)
Функция возрастает на луче (–
·; –2] и на луче [2; +
·).
Функция убывает на отрезке [–2; +0]и [–0; +2].
Практика под руководством учителя.
Учащиеся выполняют задания по порядку (каждый в своем темпе), учитель проверяет, дает рекомендации каждому индивидуально.
На «3» – №280 (б, г)
На «4» + №283 (а, б)
На «5» + исследовать функцию на монотонность
у = 0,25х4 – 2х3 + 5,5х2 – 6х + 2
·
7. Итог урока и
д/з на выбор : №281(а,б) или № 284 (а,в)