Конспект урока на тему Признак возрастания и убывания функции

Конспект урока по алгебре и началам анализа в 10 классе
по теме «Признак возрастания и убывания функции»
Цели урока:
Научить находить промежутки монотонности.
Развитие мыслительных способностей, обеспечивающих анализ ситуации и разработку адекватных способов действия (анализ, синтез, сравнение).
Формирование интереса к предмету.
Задачи урока:
Образовательная:
организовать деятельность учащихся по применению достаточных условий возрастания и убывания функции к нахождению промежутков монотонности функции;
Развивающая:
содействовать развитию памяти, речи, умению обобщать;
Воспитательные:
формировать логическое, системное мышление;
формировать ответственность, организованность;
способствовать укреплению здоровья.
Тип урока: комплексного применения знаний, умений и навыков; проверки и оценки знаний.
Оборудование:
знать: признаки возрастания и убывания функции, алгоритм исследования функции на промежутки монотонности. Достаточное условие возрастания и убывания функции, алгоритм нахождения возрастания и убывания функции.
уметь: находить промежутки монотонности, по графику производной и изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания
Техническое обеспечение: интерактивная доска, компьютер.
Ход урока
Организационный момент (стр1)
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Актуализация знаний
Сегодня мы продолжаем изучать приложение производной и рассмотрим вопрос о её применении к исследованию функций.
А теперь дадим некоторые определения свойствам функции “Мозговой штурм”
Что называют функцией?
Как называется переменная Х?
Как называется переменная Y?
Какие свойства функции вам известны?
Что называется областью определения функции?
Что называется множеством значения функции?
Что можно сказать о графике чётной функции?
Что можно сказать о графике нечётной функции?
Какая функция называется возрастающей?
Какая функция называется убывающей?
Какая связь существует между производной и касательной?
Математика изучает математические модели. Одной из главнейших математических моделей является функция. Существуют разные способы описания функций. Какой самый наглядный?
– Графический.
– Как построить график?
– По точкам.
Этот способ подойдет, если заранее известно, как примерно выглядит график. Например, что является графиком квадратичной функции, линейной функции, обратной пропорциональности, функции y = sinx? Демонстрируются соответствующие формулы, учащиеся называют кривые, являющиеся графиками. (Стр 2)
А что если требуется построить график функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]или еще более сложной? Можно найти несколько точек, но как ведет себя функция между этими точками? (стр 3)
Поставить на доске две точки, попросить учеников показать, как может выглядеть график “между ними”:
Выяснить, как ведет себя функция, помогает ее производная. (стр 4)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Выход на тему и цель урока
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Исследовательская работа
Сегодня на уроке мы рассмотрим небольшой элемент работы изучения процесса, исследование одного из свойств функции - определение промежутков монотонности
Итак, запишем тему сегодняшнего урока: Признаки возрастания и убывания функции.
Какая связь существует между касательной и производной?
Учащимся раздаются карточки с графиком функции. Проведите касательные к графику функции в данных точках? Какие углы образуются с осью абсцисс? Учащиеся делают выводы.
IV. Изучение нового материала
Демонстрация новой темы
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Признаки возрастания и убывания функции:
Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а; в), т.е.f'(x) > 0, то функция в этом интервале возрастает.
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а; в), т.е.f'(x) < 0, то функция в этом интервале убывает
. 13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415

Порядок нахождения промежутков монотонности:
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Рассмотрим несколько примеров исследования функции на возрастание и убывание.
Учащимся раздается шаблон решения примера
1. Найти Д(f).
2. Найти f'(x).
3. Найти стационарные точки, т.е. точки, где f'(x) = 0 или f'(x) не существует.(Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)
4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.
5. Определить знаки производной на каждом из интервалов
6. Применить признаки.
7. Записать ответ.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

V. Минута отдыха.
Отдохнем, а заодно совершим небольшой исторический экскурс
Выступление учащегося
(Слайд) Историческая справка о происхождении терминов и обозначений по теме.
Историческая справка
В развитии дифференциального и интегрального исчисления главная роль принадлежала двум великим ученым – англичанину Исааку Ньютону и немцу Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646-1716). Ньютон был самоучкой в математике, но самоучкой гениальным. Когда он, став студентом Кембриджского университета, впервые пришел на экзамен по математике, выяснилось, что Исаак прочел множество математических книг и уже почувствовал вкус к математическим проблемам.
Вскоре Англию постигло страшное бедствие – эпидемия чумы. Университет на время закрылся, и Ньютон почти два года провел в своем поместье Вулсторп в графстве Линкольншир. Эти годы оказались для него удивительно плодотворными. Позднее он вспоминал: «В начале 1665 г. Я открыл метод приближенных рядов и правило для сведения любой степени любого бинома к таким рядам (вспомните бином Ньютона). В мае того же года я открыл метод касательных, а в ноябре – прямой метод флюксийи в следующем году в мае я уже имел в своем распоряжении обратный метод флюксий. Все это произошло в два чумных года... Ибо в это время я находился в наилучшем для открытий возрасте и думал о математике и философии больше, чем когда-либо позже».
Прямой метод флюксий, о котором говорит Ньютон, - не что иное, как дифференцирование. Впоследствии он написал работу под названием «Метод флюксий и бесконечных рядов», но при жизни она так и не была напечатана. Функции Ньютон называл флюентами, т.е. «текущими» (от лат. flue – «теку»), а (цитата) «скорости, с которыми каждая флюента увеличивается в силу порождающего движения» - флюксиями (мы их называем производными). Они обозначались теми же буквами, но с точкой вверху:
·,
·.
Все эти открытия были нужны ученому не сами по себе, а для решения главной задачи – создания новой физики. В своем основном труде – «Математические начала натуральной философии» - Ньютон приводит математическое доказательство закона всемирного тяготения, дает объяснение приливов, основы теории движения Луны, проблеме притяжения массивных сфер и т.д.
К сожалению, сочинения Ньютона по математике увидели свет только в 18 веке.
VI. Закрепление нового материала.
Учащиеся работают в парах, решение записывают в тетрадях.
а) у = хі 6 хІ + 9 х 9;
б) у = 3 хІ 5х + 4.
Учащиеся в группах отвечают на вопрос карточки
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
VII. Рефлексия.
· сегодня я узнал
· было интересно
· было трудно
· я выполнял задания
· я понял, что
· теперь я могу
· я почувствовал, что
· я приобрел
· я научился
· у меня получилось
· я смог
· я попробую
· меня удивило
VIII. Итог урока
Добились ли мы своей цели? Что ещё не получается?
Тетради сдаём учителю на проверку. Оценки тем, кто был у доски.
IX. Домашнее задание: стр 132 $ 19
уровень А - № 258
уровень В - № 262
Творческое задание (по карточкам)
Указание: отыщите функцию в таблице, исходя из её «автобиографии». Найдите область определения, точку разрыва, промежуток возрастания и убывания.
Я – функция сложная, это известно,Ещё расскажу, если вам интересно,Что точку разрыва и корень имею,И есть интервал, где расти не посмею.Во всём остальном положительна, право,И это, конечно, не ради забавы.Для чисел больших я стремлюсь к единице.Найдите меня среди прочих в таблице.
Завершая урок, наконец, после “всяких умных вещей” немного юмора. На экране представлены графики зависимости уровня ваших знаний от времени, в интервале от начала урока до его завершения. Пожалуйста, выберите тот график, который, на ваш взгляд, наиболее близок вам, принимая во внимание их разный характер. Имеют ли они отношение к теме нашего урока? Можно ли по этим графикам судить о скорости приращения наших знаний в ходе урока? Если - да, то как? Какой же график выбран вами? Если вы выбрали график 1 – это означает, что мы достигли цели и решили задачи, поставленные в начале урока

Урок завершен. Всего вам доброго. До свидания.

x

0

y

y=f(x)

x

0

y