Конспект урока по теме:Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней по заданным условиям.
Тема: Решение тригонометрических уравнений.
Отбор корней по заданным условиям.
Цели урока:
Образовательные - обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы.
Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы отбора корней при решении тригонометрических уравнений.
Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, общей культуры.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
План урока.
Оргмомент.
Самостоятельная работа.
Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней по заданным условиям.
Выполнение упражнений.
Итоги урока.
Домашнее задание.
Организационный момент
На сегодняшнем уроке мы будем отрабатывать способы отбора корней при заданных условиях используя тригонометрические неравенства.
Самостоятельная работа.
Вариант 1
Найдите все решения уравнения cos 2x + sin2x + 13 EMBED Equation.3 1415cos x = 0, принадлежащие отрезку [-(; (];
Решите уравнение cos2x + 6sin x – 6 = 0
Ответы:
cos 2x + sin2x + 13 EMBED Equation.3 1415cos x = 0; cos2x – sin2x + sin2x + 13 EMBED Equation.3 1415cos x = 0;
cos x (cos x + 13 EMBED Equation.3 1415) = 0; cos x = 0 (поскольку cos x + 13 EMBED Equation.3 1415 ( 0). Промежутку [-(; (] принадлежат два решения два решения этого уравнения: (13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: (13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415.
cos2x + 6sin x – 6 = 0; 1 – sin2x + 6sin x – 6 = 0; sin2x ( 6sin x + 5 = 0; sin x = t; t2 – 6t + 5 = 0; t1 = 5; t2 = 1.
sin x = 5 корней нет;
sin x = 1; x = 13 EMBED Equation.3 1415 + 2(k, k(Z.
Ответ: x = 13 EMBED Equation.3 1415 + 2(k, k(Z.
Вариант 2
Найдите все решения уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, принадлежащих промежутку [-(; (];
Решите уравнение cos 2x + 8sin x = 3.
Ответы:
13 EMBED Equation.3 1415; 4cos x + 2sin x = ( cos x + 7sin x
cos x – 7sin x ( 0
5cos x = 5sin x; cos x = sin x.
Нули косинуса не являются корнями последнего уравнения, значит, его можно разделить на cos x:
tg x = 1; x = 13 EMBED Equation.3 1415, n(Z.
При этих значениях cos x – 7sin x ( 0.
Промежутку [-(; (] принадлежат корни ( 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415;
Ответ: ( 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней по заданным условиям.
Сегодня на уроке мы рассмотрим еще несколько решений тригонометрических уравнений с отбором корней по заданным условиям.
Пример №1.
Найти все корни уравнения (1 + tg2x)·sin x – tg 2x + 1 = 0, удовлетворяющее неравенству tg x ( 0.
Решение: (1 + 13 EMBED Equation.3 1415) sin x 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 +1 = 0
tg x ( 0
sin x tg x
В приведенном решении одним из элементов
обоснования является тригонометрический круг,
на котором изображены множества решений
0 уравнений и неравенства системы и из которого
сразу видно, как образуется пересечение этих
множеств. Однако в случае необходимости
последнюю систему можно решить и
аналитически следующим образом (заметим, что тригонометрический круг при этом помогает хотя бы выработать гипотезу о принципе отбора корней).
Рассмотрим три случая:
sin x = 1, решений нет, ибо если sin x = 1 то cos2x = 1 – sin2x = 0, и
tg x не существует;
tg x ( 0
x = (13 EMBED Equation.3 1415 + 2(n, n(Z; x = (13 EMBED Equation.3 1415 + 2(n, n(Z
tg x ( 0
так как tg 13 EMBED Equation.3 1415=tg13 EMBED Equation.3 1415( 0;
x = (13 EMBED Equation.3 1415 + 2(m, m(Z; решений нет, так как
tg x ( 0 tg13 EMBED Equation.3 1415=tg13 EMBED Equation.3 1415( 0.
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415.
Пример №2.
Решить уравнение 2sin (3x +13 EMBED Equation.3 1415) = 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: 4sin2(3x + 13 EMBED Equation.3 1415) = 1 + 8sin 2x cos22x,
2sin (3x + 13 EMBED Equation.3 1415) ( 0
2 – 2cos (6x + –
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Рассмотрим два случая:
1) x = 13 EMBED Equation.3 1415 + (n, n(Z; x = 13 EMBED Equation.3 1415 + (n, n =0, (2, (4,,
sin13 EMBED Equation.3 1415 ( 0
так как sin 13 EMBED Equation.3 1415 = sin 13 EMBED Equation.3 1415 = ((1)n;
x = 13 EMBED Equation.3 1415 + (m, m(Z; x = 13 EMBED Equation.3 1415 + (m, m = (1, (3, ,
sin 13 EMBED Equation.3 1415( 0
так как sin13 EMBED Equation.3 1415 = sin 13 EMBED Equation.3 1415 = ((1)m+1.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 + (n, 13 EMBED Equation.3 1415 + ((2m + 1), n,m(Z.
Выполнение упражнений
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 sin x = (cos x(
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415 sin x = (cos x(
3sin2x = cos2x
sin x ( 0
3sin2x = 1 – sin2x; 4sin2x = 1; учитывая неравенство sin x ( 0, получаем sin x = 13 EMBED Equation.3 1415;
x = ((1)n ·13 EMBED Equation.3 1415 + (n, n(Z;
Ответ: ((1)n ·13 EMBED Equation.3 1415 + (n, n(Z;
Найти решение уравнения cos 4x = (2cos2(( ( x), принадлежащее
[ 0; 13 EMBED Equation.3 1415].
Решение: cos 4x = (2cos2(( ( x);
2cos22x – 1 + 2cos2x = 0;
2cos22x + (2cos2x – 1) = 0;
2cos22x + cos 2x = 0;
cos 2x (2cos 2x + 1) =0;
cos 2x = 0 или 2cos 2x + 1 = 0;
x = 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415, n(Z; x = (13 EMBED Equation.3 1415 + (k, k(Z;
при n = 0; x1 = 13 EMBED Equation.3 1415 принадлежит отрезку [0; 13 EMBED Equation.3 1415].
Итоги урока
Несколько уроков мы с вами повторяли решение тригонометрических уравнений и отрабатывали умение отбирать корни уравнения по заданным условиям. Учились избегать неприятностей в ответах надеюсь нам это удалось.
6. Домашнее задание
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativenEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native