Исследовательская работа по математике на тему ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«Гимназия № 2»
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ,
НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ
НАУЧНАЯ РАБОТА
ИСПОЛНИТЕЛИ:
Лукашевич Михаил,
учащийся 10 «Б» класса
Ткаченко Юлия,
учащаяся 10 "Б класса
НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:
Учитель математики
высшей категории
Садовник Марина Викторовна
БАРАНОВИЧИ 2011
Научный аппарат исследования
Объект изучения
Нестандартные уравнения, неравенства и системы.
Предмет изучения
Производные функций.
Цель исследования
Показать, как с помощью производной решать некоторые нестандартные
уравнения и неравенства.
Задачи
Познакомить с историей появления понятия производной функции.
Рассмотреть применение производной при решении нестандартных
уравнений и неравенств.
Показать значимость функционального видения математических
объектов.
Гипотеза
Дифференцирование функций существенно облегчает решение
некоторых уравнений, неравенств и доказательство неравенств.
Научная новизна
Новые способы решение некоторых уравнений и неравенств.
Методы исследования
Анализ.
Исследование.
Структурирование.
Обобщение.
Функциональный метод.
Практическое применение
Работа может быть использована на уроках математики для классов с
углубленным изучением математики, а также на факультативных
занятиях с целью подготовки учеников к конкурсным испытаниям.
Актуальность темы
Решение некоторых нестандартных уравнений и неравенств с
использованием дифференцирования функций становится красивым,
оригинальным и менее громоздким.
Содержание
Введение------------------------------------------------------------------------------------3
Глава 1. Понятие производной-------------------------------------------------------4
1.1.Исторические сведения----------------------------------------------------4
1.2.Понятие производной------------------------------------------------------5
Глава 2.Использование производной при решении уравнений
и неравенств и их систем--------------------------------------------------------6
2.1.Некоторые теоремы о непрерывных и дифференцируемых
функциях-----------------------------------------------------------------------------6
2.2.Примеры решения уравнений и неравенств и их систем---------- 7
Заключение---------------------------------------------------------------------------------18
Список использованной литературы----------------------------------------------19
Приложение--------------------------------------------------------------------------------20

ВВЕДЕНИЕ
Не всякое уравнение или неравенство в результате преобразований может быть сведено к уравнению или неравенству, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях ключевую роль могут сыграть такие свойства функций, входящих в уравнение или неравенство, как ограниченность и монотонность. Эти свойства функций очень удобно исследовать с помощью производной. Поэтому мы решили в своей работе показать, как с помощью производной можно решать некоторые нестандартные уравнения и неравенства и их системы.
Работа разбита на главы. В первой главе мы обращаемся к истокам возникновения дифференциального исчисления, созданного Ньютоном и Лейбницем, после чего излагаем современную трактовку понятия производной.
Во второй главе приводятся важные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях, которые мы использовали при решении уравнений и неравенств, а затем на примерах иллюстрируем метод дифференцирования функций при решении уравнений и неравенств.
В конце работы помещен список используемой литературы и приложение с правилами дифференцирования и таблицей производных основных элементарных функций.
Глава 1. Понятие производной
Исторические сведения
Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:
1)о разыскании касательной к произвольной линии;
2)о разыскании скорости при произвольном законе движении;
Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500-1557гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Робервиля, английского ученого Л.Грегори, а также в работах Ньютона.
Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лейбниц, Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
Однако у создателей дифференциального исчисления возникли проблемы, связанные с тем, что точные определения таких основных понятий как предел, непрерывность, действительное число, отсутствовали, рассуждения содержали логические пробелы, а иногда были ошибочны. Таким образом, «новая» математика не отвечала стандартам строгости, привычным для ученых, воспитанных на классических образцах греческих математиков. Гениальная интуиция таких гигантов, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер помогала им избегать ошибок.
Понятие производной
Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a;b), а точка x0∈(a;b) и величина ∆x такова, что x0+∆x ∈ (a;b).
Разность f(x0+∆x)-f(x0) называется приращением функции f(x) в точке, а ∆x-приращением аргумента в точке x0. Приращением функции f(x) в точке x0 принято обозначать ∆f(x0) или ∆y(x0).
Производной функции y=f(x) в точке x0 называют предел отношения приращения функции ∆f(x0) к приращению аргумента ∆x при условии, что ∆x стремится к нулю. Если предел существует, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0. Производная функции y=f(x) в точке x0 обозначается y’(x0), или f’(x0). Итак, по определению

Глава 2. Использование производной при решении уравнений, неравенств и их систем.
2.1. Некоторые теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях.
Теорема 1. Пусть функция fx непрерывна на промежутке [a; b] и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков. Тогда найдётся такая внутренняя точка c (a; b) , что fc=0.Теорема 2. Всякая непрерывная на промежутке [a; b] функция fx имеет на этом промежутке своё наибольшее значение M и наименьшее значение m, причём свои значения m и M она принимает на концах отрезка [a; b] или в критических точках, принадлежащих [a; b].
Теорема 3. Если функция fx непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b) и во внутренней точке c (a; b) fc=m или fc=M, где m – наименьшее, а M – наибольшее значение функции, то f'c=0.Теорема 4. Пусть fx непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b). Для того чтобы функция fx была возрастающей (убывающей) на [a; b] , необходимо и достаточно, чтобы f'(x)≥0 (f'(x)≤0) в каждой точке x (a; b) .
Теорема 5. Если уравнение fx=gx имеет решение x0 , и функция fx – возрастающая, а функция gx – убывающая, то это решение x0 – единственное.
Теорема 6. Если функция fx непрерывна и монотонна на [a; b] и на концах отрезка [a; b] принимает значения разных знаков, то уравнение fx=0 имеет единственный корень x0 [a; b].
Теорема 7. Если функция fx непрерывна и монотонна на промежутке [a; b], то уравнение fx=m, где m – данная константа может иметь не более одного решения на промежутке [a; b].
Теорема 8. Если fx – монотонная непрерывная функция, то уравнение f(φx)=f(Ψx) равносильно уравнению φx=Ψx, а уравнение ft=fm равносильно t=m.
2.2 Примеры решения уравнений, неравенств и их систем.
Пример 1.
Решить уравнение
x5+3x3+7x – 11 = 0
Решение.
I способ.
Заметим, что сумма коэффициентов многочлена P(x)= x5+3x3+7x – 11 равна нулю, т.е. P(1)=0. Значит, x=1 является корнем уравнения P(x)=0. По теореме Безу многочлен P(x)= x5+3x3+7x – 11 делится на x-1 без остатка. Разделим P(x) на x-1.
Уравнение принимает вид:
(x-1)(x4+x3+4x2+4x+11)=0
Дальнейшего решения не видно.
II способ.
Решим это же уравнение с помощью производной. Рассмотрим функцию P(x)= x5+3x3+7x – 11.
Найдем производную этой функции: p′(x)= 5x4+9x2+7Так как P′(x)>0 при любых x, то функция P(x) возрастает при любых x∈R. Следовательно, данное уравнение P(x)=0 имеет не более одного корня. Поэтому, x=1 – единственный корень.
Ответ: x=1.
Пример 2.
При каких значениях a корни уравнения (1+a)x2-3ax +4a=0 принадлежат интервалу (2;5)?

Решение.
Из уравнения (1+a)x2-3ax +4a=0 выразим a.
a(x2-3x+4) + x2 = 0,
a = x2x2-3x+4 (1).
Рассмотрим функцию a(x)= x2x2-3x+4.
Исследуем эту функцию с помощью производной.
a′(x)=2xx2-3x+4-(2x-3)x2(x2-3x+4)2 = x3-x2+8x-x3+x2(x2-3x+4)2 = -3x2+8x(x2-3x+4)2 = -3x(x-38)(x2-3x+4)2.
На отрезке [2;5] функция a(x) непрерывна и достигает своих наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка или в критических точках.
Критическая точка x= 83 ∈ [2;5].
Найдем значение функции a(2); a(83) и a(5) :
a(2) = -2; a(83) = -167; a(5) = 2514.
Изобразим график функции a(x) на отрезке [2;5]

Получим ответ a∈[-167;-254).
Ответ: a∈[-167;-254).
Пример 3.
Найти сумму S=1+2∙110+3∙(110)2+∙∙∙+100∙(110)99
Решение.
Рассмотрим функцию 1+2∙110+3∙(110)2+∙∙∙+100∙(110)99 Тогда искомая сумма S=f(110).
Заметим, что при x≠1 указанная функция f(x) является производной функции gx=x+x2+x3+…+x100.
Т.е., fx=g'(x).
Функция g(x) представляет собой сумму 100 членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен x и знаменатель равен x.
Так как gx=b1(qn-1)q-1=x(x100-1)x-1=x101-xx-1.Найдем производную
g'x: g'x=101x100-1x-1-x101-xx-12=101x101-x-101x100+1-x101+xx-12=100x101-101x100+1(x-1)2.
Подставим x=110, получим 10010101-10110100+1(110-1)2=10-101+1010010100(910)2=(10100-91)10281*10100=10100-9181*1098≈1010081*1098=10081.
Ответ: 10081.
Пример 4.
Решить неравенство x+3x3+5x5+…+(2n-1)x2n-1≥n2, где
n – натуральное число.
Решение.
Перенесем в левую часть и рассмотрим функцию fx=x+3x3+5x5+…+2n-1x2n-1-n2.
Найдем производную f'x: f'x=1+9x2+25x4+…+(2n-1)2x2n-2.
Очевидно, что f'x>0. Следовательно, функция fx монотонно возрастает на всей области определения.
Значит, множеством решений исходного неравенства будет промежуток [x0;+∞), где f(x0)=0 (если такое x0 существует).
Подставим x=1 в fx:
f1=1+3+5+…+2n-1-n2=Sn-n2, где Sn - сумма арифметической прогрессии с первым членом a1=1, с последним членомan=2n-1 и разностью d=2.
По формуле суммы арифметической прогрессии находим
Sn=1+2n-12n=n2. Получаем, что f1=n2-n2=0.
Значит, x∈1;+∞.Ответ: x∈1;+∞.Пример 5.
Решить неравенство 2x9-x5+x>2.
Решение. Перепишем неравенство в виде: 2x9-x5+x-2>0.
Рассмотрим функцию fx= 2x9-x5+x-2 и найдем промежутки возрастания и убывания функции.
Найдем производную: f'x=18x8-5x4+1. Так как дискриминант квадратного трехчлена 18y2-5y+1 является отрицательным числом и коэффициент при y2 этого квадратного трехчлена больше нуля, то для любого действительного y выполняется неравенство 18y2-5y+1>0, а , значит, для каждого действительного a имеет место неравенство f'(a)>0Таким образом, функция fx= 2x9-x5+x-2 является непрерывной и возрастающей на всей числовой прямой, поэтому ее график может пересекать ось Ox не больше чем в одной точке.
Заметим, что f1=0.
fx<0 fx>0
1
Итак, получаем, что решениями этого неравенства являются все числа x из промежутка x∈1;+∞.Ответ: x∈1;+∞.Пример 6.
Решить систему уравнений x2y+2xy2+y3=9,x3y-y4=7.Решение.
Перепишем данную систему в виде: y(x+y)2=9,yx3-y3=7.Из первого уравнения этой системы следует, что y>0. Тогда из второго уравнения системы получаем, что x>y>0.
Введем подстановку t=y. Из первого уравнения системы находим: (x+y)2= 9y и так как x + y>0, то x + y = 3y или x = 3t- t2.
Подставим во второе уравнение системы 3t- t2 вместо x и t вместо y.
Получаем t23t- t23- t6=7, t23-t33t3- t6=7, (3-t3)3t- t8=7 или (3-t3)3- t9-7t=0.Рассмотрим функцию f(t) = (3-t3)3- t9-7t=0.
Найдем производную f′(t):
f′(t) = -9(3-t3)2×t2-9t8-7=-9t23-t32+9t8+7.Т.к. f′(t)<0, то f(t)=0 является убывающей функцией, поэтому уравнение f(t)=0 имеет не более одного корня.
Замечаем, что число t=1 является корнем уравнения (1) и этот корень единственный. Отсюда находим, что решением системы может быть только пара x=2 и y=1. Проверкой убеждаемся в этом.
Ответ: x=2, y=1.
Пример 7.
Существует ли такое значение a, при котором уравнение
1x-1 - x3+2 – a = 0 имеет более одного корня?
Решение.
Рассмотрим функцию f(x)= 1x-1 - x3+2 – a, определенную на промежутке x∈(1;+∞).
Найдем производную этой функции f'(x):
f'(x)=-12x-13- 3x22x3+2 = - 12x-13+ 3x22x3+2.Так как f'(x)<0 при любых x∈(1;+∞), то функция убывает на всем промежутке x∈(1;+∞). По теореме о непрерывной монотонной функции f(x) уравнение вида f(x)=0 имеет не более одного корня.
Ответ: не существует.
Пример 8.
Доказать, что для любых α справедливо неравенство 1cos4α+1sin4α≥8.Решение.
Рассмотрим функцию fα=1cos4α+1sin4α. Найдем производную f'α: f'α=4sinαcos5α-4cosαsin5α=4(sin6α-cos6α)cos5αsin5α.
Найдем критические точки:
4sin6α-cos6α=0, sin6α=cos6α.
Последнее уравнение равносильно уравнению sinα=cosα. α0=π4+π2nn∈Z- точка минимума, т.е. fα≥fα0=8.
Пример 9.
Пусть x и y – вещественные числа отрезка [0;12].
Докажите неравенство: x4y2+1 + y4x2+1≤22 Решение.
Используем неравенство о среднем арифметическом и среднем квадратичном
a2+b22 ≥ a+b22 или a2 + b2≥a+b22 или a2+b2≥|a+b|2Для a>0 и b>0 a2+b2≥a+b2.
Тогда 4y2+1≥2y+12Поэтому x4y2+1 + y4x2+1 ≤ 2x2y+1+y2x+1 (*).
Рассмотрим функцию f(x) = x2y+1+y2x+1 на промежутке [0;12]. Продифференцируем ее по x. f'(x) = 12y+1 - 2y2x+1-2 = 12y+1 - 2y2x+12.
Заметим, что нуль производной на [0;12] может быть только минимумом. Значит максимум функции f(x) достигается при x=0 или при x=12. Аналогично, в точке максимума y=0 или y=12. Теперь нетрудно установить, что правая часть неравенства (*) не превосходит числа 22.
Пример 10.
Решите неравенство 1x3 + 2x+1 ≥ 2.

Решение.
Рассмотрим функцию f(x) = x-3 + 2(x+1)-2 ,
определенную на промежутке x ∈ (0;+∞).
Найдем производную этой функции f′(x):
f′(x) = -3x-4 - 2(x+1)-2 × 12x-12 = -(3x4 + 1x(x+1)2).
Так f′(x)<0 при любых x ∈ (0;+∞),
то функция f(x) монотонно убывает на своей области определения.
Заметим, что f(1)= 113 + 2x+1 = 2.
Значит при x ∈ (0;1) f(x)≥2, а при x ∈ (1;+∞) f(x)<2.
Итак, решением исходного неравенства является интервал (0;1].
Ответ: x ∈ (0;1].
Пример 11.
При каких значениях a неравенство x+1-x2≤a выполняется для любых x из ОДЗ?
Решение.
Найдем ОДЗ: 1-x2≥0, x2≤1, x -1;1. Рассмотрим функцию fx= x+1-x2. Условие задачи равносильно тому, что max fx ≤a. -1;1 . Найдем производную функции f'x: f'x=1- 2x21-x2=1- x1-x2 . Найдем критические точки, принадлежащие -1;1 : 1- x1-x2 = 0, 1-x2=x, x≥0 &1-x2=x2 , x≥0 &x2=12 , x≥0 &x=±1√2 , x=1√2. Так, как функция fx непрерывна на -1;1 , то свое наибольшее значение она принимает на концах отрезка -1;1 или в критической точке x=1√2. f1=1; f-1=-1; f1√2=√2. Итак, max fx= 2, т.е. 2≤a. -1;1 . Ответ: a [ 2; + ∞).
Пример 12.
Решить неравенство x321-x<2527125.
Решение. ОДЗ: x 0;+∞. Рассмотрим функцию fx=x31-x. Найдем производную функции f'x: f'x=32x121-x- x32=x12321-x-x=x1232- 52x. Найдем критические точки: x1232- 52x=0
x=0 не является критической, так как не является внутренней точкой из ОДЗ
f'35 = 0. f'x>0 при x∈ 0;35 , f'x<0 при x∈ 35;+∞. В силу непрерывности функции, fx возрастает на 0;35 и убывает на
и точка x=35 есть точка максимума. Поэтому при x∈ , fx= f35=25 27125.
Ответ: 0; 35 ∪ 35;+∞ .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
По нашему мнению, данная научная работа предназначена для учащихся старших классов общеобразовательных учебных заведений для самостоятельной подготовки к конкурсным испытаниям, таким как централизованное тестирование и олимпиады, а также может быть полезной учителям для работы на факультативных занятиях в школах, лицеях, гимназиях.
Мы благодарны нашему научному руководителю и учителю математики высшей категории М.В.Садовник за помощь в поиске и составлении нестандартных уравнений и неравенств и конструктивные рекомендации по улучшению решений.
Авторы будут признательны читателям за любые замечания и пожелания, которые можно прислать по адресу MSadoynik@mail.ru.


Литература
1.А.И.Азаров, О.И.Тавгень, В.С.Федосенко/Функциональные методы решения задач. -Минск: Академия последипломного образования, 1998.-185с.
2.А.И.Азаров, В.С.Федосенко, С.А.Барвенов/Экзамен по математике: задачи с параметрами: функциональные методы решения. –Минск: Полымя, 2001.-352с.
3.В.В.Амелькин, К.С.Филипович/ Математика: просто о сложном: способы решения алгебраических задач. –Минск: Аверсэв, 2009.-224с.
4.В.В.Амелькин, К.С.Филипович, В.И.Чесалин, Н.И.Юрчук/Задачи вступительных экзаменов по математике. –Минск: ТетраСистемс, 2002.-160с.
5.П.А.Вакульчик/Задачи математических олимпиад школьников. –Минск: УниверсалПресс, 2006.-416с.
6.А.Б.Василевский, О.А.Леончик/Упражнения по алгебре и началом анализа. –Минск: Лексис, 2000.-301с.
7.В.С.Малаховский/Введение в математику. –Калининград: Янтарный сказ, 1998.-440с.
8.А.П.Назаретов/Конкурсные задачи по математике для поступающих в вузы. –Москва: Книжный дом ЛОКУС, 2001.-512с.
9.О.И.Тавгень, А.И.Тавгень/Математика в задачах. Теория и методы решений. –Минск: Аверсэв, 2005.-511с.
10.О.И.Тавгень, А.И. Тавгень/Методы решения задач по математике.
–М-во образования Республики Беларусь, БГУ, Академия последипломного образования. –Минск, 2000.-407с.
Приложение
Правила дифференцирования
Функция Производная
y = Cu, C = const Cu' = Cu'y = u ± ϑu± ϑ' = u' ± ϑ'y = u ϑuϑ'=u'ϑ+ ϑ'u x=uϑuϑ'=u'ϑ-ϑ'uϑ2 Формулы дифференцирования функций
Функция Производная
y = c c'= 0y = xx'= 1y=x α, α ≠ 1 (x α)'= αx α-1
y=sinx(sinx)'=cosxy=cosx(cosx)'= -sinxy = tgx(tgx)'= 1cos2xy = ctgx(ctgx)'=- 1sin2x