ГУ «Отдел образования акимата города Костаная» Тренажёр Прикладного курса по математике «Работа с тригонометрическими выражениями и методы решения тригонометрических уравнений и неравенств» для учащихся 11-х классов Учитель математики: Фролова Т.Н.

ГУ «Отдел образования акимата города Костаная»
Методическое пособие для учителя
Прикладного курса по математике
«Работа с тригонометрическими выражениями
и методы решения тригонометрических уравнений и неравенств»
для учащихся 11-х классов
Учитель математики: Фролова Т.Н.
Костанай
Содержание
1. Преобразование тригонометрических выражений
1.1 Формулы для тригонометрических функций одного и того же аргумента.
1.2 Формулы приведения.
1.3 Формулы сложения аргументов.
1.4 Формулы двойного аргумента.
1.5 Формулы половинного аргумента.
1.6 Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение.
1.7 Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность).
2. Решение тригонометрических уравнений
2.1 Простейшие тригонометрические уравнения
2.2 Решение тригонометрических уравнений, левая и правая части которых являются одноимёнными тригонометрическими уравнениями
2.3 Метод разложения на множители
2.4 Метод введения новой переменной
2.5 Метод введения вспомогательного угла
2.6 Решение уравнений с использованием ограниченности функций у= sinх и у= cosх 2.7 Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
3. Решение тригонометрических неравенств.
3.1 Простейшие тригонометрические неравенства
3.2 Применение основных тригонометрических формул
3.3 Метод введения новой переменной
3.4 Метод интервалов
1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Известно, что школьники испытывают немалые трудности, изучая тригонометрию. Есть несколько причин возникновения этих трудностей. Назовем основные, как мы считаем, две причины возникновения их. Во-первых, большое количество формул, которые необходимо знать и помнить. Во–вторых, отсутствие стандартных приемов тождественных преобразований тригонометрических выражений. В–третьих, формирование навыков тождественных преобразований тригонометрических выражений требует специальной тренировки, которая осуществляется с помощью достаточно большого числа упражнений.
Выполнение тождественных преобразований тригонометрических выражений рекомендуется начинать с анализа структуры данного выражения и составления плана действий. Некоторые рекомендации могут быть полезны при выполнении тождественных преобразований тригонометрических выражений:
1.Если выражение содержит разные тригонометрические одного аргумента, то следует все функции через одну или две функции. При этом тангенс и котангенс угла чаще всего выражают через синус или косинус этого же угла.
2. Если в выражение выходят тригонометрические функции от разных аргументов, то попытайтесь свести все тригонометрические функции к одному аргументу.
3.Формулы приведения могут быть полезны для выражения тригонометрических функций через кофункцию.
4. Не забывайте о формулах сокращенного умножения - они могут иногда помочь в преобразовании тригонометрического выражения.
5. Если в выражении нет нужного слагаемого, то его можно прибавить и сразу же вычесть. Иногда полезно какое-то слагаемое представить в виде суммы двух или нескольких слагаемых. Наконец, единицу бывает полезно представить в виде суммы квадратов синуса и косинуса, т.е. 1=sin2α+cos2α.6.Если в выражении нет нужного множителя, то на него можно умножить и сразу же разделить данное выражение (при условии, что этот множитель отличен от нуля).
7. Попробуйте применить метод введения вспомогательного угла. В простейших случаях он сводится к замене чисел 12,22,32,33 ,3 и 1 тригонометрическими функциями соответствующих углов.
8. Если в выражение входят степени тригонометрических функций, то можно обратиться к преобразованиям, понижающим степени.
9. Если данное выражение является однородным многочленом п-ой степени относительно sinα и cosα, то преобразование можно выполнять путем вынесения за скобки sinпα или cosпα.Характерная особенность тождественных преобразований тригонометрических выражений состоит в том, что к одному и тому же результату можно прийти разными путями. Поэтому по окончании решения полезно время от времени сопоставлять различные способы преобразования одного и того же выражения.
Надо помнить, что в тех задачах, где речь идет о преобразовании тригонометрического выражения, всегда предполагается, хотя часто и не оговаривается в условии задачи, что преобразование предложенного выражения должно быть проведено в его области определения. То есть только при тех значениях аргументов, для которых тригонометрическое выражение имеет смысл.
Тождественные преобразования тригонометрических выражений опираются на следующие основные формулы.
Формулы для тригонометрических функций одного и того же аргумента.
Формулы приведения
Формулы сложения аргументов.
Формулы двойного аргумента.
Формулы половинного аргумента.
Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение.
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность).
Занятие 1
1.1 Формулы для тригонометрических функций одного и того же аргумента
По назначению одной из тригонометрических функций некоторого аргумента можно, используя приведенные ниже формулы, найти значения всех остальных. Применение этих формул значительно сокращает и упрощает процесс тригонометрических преобразований.
sin2α+cos2α=1tqα=sinαcosα, (α≠π22n+1,n∈Z).ctqα=cosαsinα, (α≠πn,n∈Z).tqα∙ctqα=1, ( α≠πn2,n∈Z) .
1+tq2α=1cos2α, ( α≠π22n+1,n∈Z).
1+ctq2α=1sin2α., (α≠πn,n∈Z).В скобках указаны значения аргумента, при которых тождества имеют числовой смысл.
1.Задание. Вычислить:
а) 2 sin2α+2 ∙ cosα+tqα, если ctqα=1, 0<α<π2б) cosα, если ctqα=-12, π2<α<πв)tqαtqα+сtqα, если cosα=-0,4г)3cosα+5sinα2cosα-sinα, tqα=1д)sinα∙cosαsin2α-cos2α, ctqα=34е)sin2α-3cos2α2sin2α+cos2α, если tqα=3
ж)cosα∙sinα, если sinα+cosα=аРешение:
а) 2 sin2α+2 ∙ cosα+tqα, если ctqα=1, 0<α<π2Так как ctqα=1 и 0<α<π2, то α=π4. Подставим значение α в выражение и вычислим его значение.2 sin2α+2 ∙ cosα+tqα=2 sin2π4+2 ∙ cosπ4+tqπ4=2∙(22)2+2∙22+1=1+1+1=3 В следующих заданиях выражают искомую функцию через данную, используя тригонометрические формулы с учетом знака в указанном промежутке, затем подставляют данное значение и производят вычисления.
б) cosα, если ctqα=-12, π2<α<πУчитывая, что - угол II четверти, найдем sinα и cosα.1+ctq2α=1sin2α114=1sin2αsin2α = 45 → sinα=255cosα=±1-sin2α, cosα=±1-45=-55 .
в)tqαtqα+сtqα, если cosα=-0,4cosα=-0,4tqαtqα+сtqα=tqαtqα+1tqα=tq2αtq2α+1=sin2αsin2α+cos2α=sin2α=1-cos2α=1-(-0,4)2=0,84.г)3cosα+5sinα2cosα-sinα, tqα=1tqα=13cosα+5sinα2cosα-sinα=5cosαcosα+5sinα cosα2cosαcosα-sinα cosα=3+5tqα2-tqα=3+5∙12-1=8.д)sinα∙cosαsin2α-cos2α, ctqα=34ctqα=34 sinα∙cosαsin2α-cos2α=sinα∙cosα sin2αsin2αsin2α-cos2αsin2α=ctqα1-ctq2α=341-916=127.е)sin2α-3cos2α2sin2α+cos2α, если tqα=3tqα=3sin2α-3cos2α2sin2α+cos2α=sin2αcos2α-3cos2αcos2α2sin2αcos2α+cos2αcos2α =tq2α-32tq2α+1=9-32+1=619.
ж)cosα∙sinα, если sinα+cosα=аТак как sinα+cosα=а, возведём обе части равенства в квадрат:(sinα+cosα)2=а2sin2α+cos2α+2sinα∙cosα=а21+2sinα∙cosα=а22sinα∙cosα=а2-1sinα∙cosα=а2-12 .
Занятие 2.
2.Задание. Упростите:
а)1tqα+сtqα∙sin2α
б) sin4α+sin2α∙cos2α+cos2αв)sinα+cosα1+2sinα ∙cosαг)sinα 1-cosα-sinα 1+cosαд)1+1-cos2α+tq2α∙cos2αsin2αе)sin6α+cos6α+3cos2α∙sin2α.Решение:
а)1tqα+сtqα∙sin2α= 1sinα cosα+cosαsinα )sin2α=sinα ∙cosαsin2α+cos2α∙sin2α=cosαsinα = сtqα.б) sin4α+sin2α∙cos2α+cos2α=sin2α∙sin2α+cos2α+cos2α=sin2α∙1+cos2α=sin2α+cos2α=1.в)sinα+cosα1+2sinα ∙cosα= sinα+cosαcos2α+sin2α+2sinα ∙cosα=sinα+cosαsinα+cosα2=1sinα+cosα.г)sinα 1-cosα-sinα 1+cosα=sinα+sinα ∙cosα-sinα+sinα ∙cosα1-cosα∙1+cosα=2sinα∙ cosα1-cos2α=2sinα∙ cosαsin2α=2cosαsinα =2сtqα.д)1+1-cos2α+tq2α∙cos2αsin2α=1+sin2α+sin2α∙cos2αcos2αsin2α=1+2sin2αsin2α=1+2=3.е)sin6α+cos6α+3cos2α∙sin2α =(sin2α)3+(cos2α)3+3sin2αcos2α=sin2α+cos2αsin4α-sin2αcos2α+cos4α+3sin2αcos2α=sin4α+2sin2αcos2α+cos4α=sin2α+cos2α2=1.Занятие 3
1.2 Применение формул приведения
Формулы приведения и формулы периодичности тригонометрических функций позволяют выразить значение тригонометрической функции угла любой величины через тригонометрические функции острого угла α.
Для того, чтобы усвоить все формулы приведения, нет необходимости их запоминать, достаточно уяснить два вопроса: какой знак и какое название будет иметь функция.
1.Какой знак? Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция, если считать, что α - угол I четверти.
2. Какое название?
Для углов π±α и 2π±α название тригонометрической функции сохраняется. Для углов π2±α и 3π2±α название тригонометрической функции меняется на кофункциюсинус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот.3. Задание. Вычислите:
а)cos-1113π г)sin420∙sin30°∙cos750°sin570°∙sin1230°∙cos660°б) cosπ-2 sin37π6 д) tq10°∙tq20°∙tq30°∙tq40°∙…∙tq80°в) cos105°-sin195°+sin⁡(-135°)Решение:
а)cos-1113π=cos1113π= cos34π3=cos2π∙5+4π3=cos4π3=cosπ+π3=-cosπ3=-12.⁡б) cosπ-2 sin37π6=-1-2sin6π+π6=-1-2sinπ6=-1-2∙12=-2.
в) cos105°-sin195°+sin-135°=cos105°-sin195°-sin135°=cos90°+15°-sin180°+15°-sin90°+45°=-sin15°+sin15°-cos45°=-22.г)sin420∙sin30°∙cos750°sin570°∙sin1230°∙cos660°=sin360+60°∙sin30°∙cos2∙360°+30°sin360°+210∙sin3∙360°+150°∙cos360°+300°=sin60°∙sin30°∙cos30°sin210°∙sin150°∙cos300°=sin60°∙sin30°∙cos30°sin⁡(180°+30°)∙sin⁡(180°-30°)∙cos⁡(270°+30°)=sin60°∙sin30°∙cos30°-sin30°∙sin30°∙sin30°=- sin60°∙cos30°sin230°=-cos230°sin230°=-сtq30°=-(3)2=-3.д)tq10°∙tq20°∙tq30°∙tq40°∙…∙tq80°= tq10°∙tq20°∙tq30°∙tq40°∙сtq40°∙ сtq30°∙сtq40°∙сtq20°∙сtq10°=1.4. Задание. Упростите:
а)sin90°-α-cos180°-α+tq180°-α-сtq(270°+α)б)sin⁡(α-π)∙cosα∙сtq(π 2+α)cos⁡(α-2π)∙tq(-α-π)в)sin180°-α- cos2180°+αcosα-270°г)sin3(α-270°)∙cos⁡(360°-α)tq3α-90°∙cos3(α-270°)Решение:
а)sin90°-α-cos180°-α+tq180°-α-сtq270°+α=cosα-(-cosα)+-tqα--tqα=2cosα+tqα-tqα=2cosα.б)sin⁡(α-π)∙cosα∙сtq(π 2+α)cos⁡(α-2π)∙tq(-α-π)=-sin⁡(π-α)∙cosα∙сtq(π 2+α)cos2π-α∙(-tq(π+α))=-sinα∙cosα∙(-tqα)cosα∙(-tqα)=-sinαв)sin180°-α - cos2180°+αcosα-270°=sin180°-α - cos2180°+αcos270°-α=sinα+cos2αsinα = sin2α+cos2αsinα=1sinαг)sin3α-270°∙cos360°-αtq3α-90°∙cos3α-270°=-sin3270°-α∙cos360°-α-tq390°-α∙cos3270°-α=-sin3270°-α∙cos360°-α-tq390°-α∙cos3270°-α=cos3α∙cosαсtq3α∙(-sin3α)=cos4αcos3αsin3∙sin3α=cosα.∙Занятие 4.
1.3. Формулы сложения аргументов
Любую тригонометрическую функцию суммы или разности двух углов можно выразить через тригонометрические функции этих углов.
sinα±β=sinα∙cosβ±cosα∙sinβcosα±β=cosα∙cosβ∓sinα∙sinβtqα±β=tqα±tqβ1∓tqα∙tqβ, (α,β,α+β≠π2+πп, п∈Z)
сtqα±β=сtqα∙сtqβ∓1сtqβ±сtqα, (α,β,α+β≠πп, п∈Z)
5.Задание: а)sin15°; б)cos105°; в)tq75°.Решение: а)sin15°=sin45°-30°=sin45°∙cos30°-cos45°∙sin30°=22∙32-22∙12=24∙3-1; cos105°=cos60°+45°=cos60°∙cos45°-sin60°∙sin45°=12∙22-32∙22=24∙(1-3); в) tq75 °= tq(45°+30°)=tq45°+tq30°1-tq45°∙tq30°=1+331-33 =(3+3)26=12+636=2+3.6.Задание: Вычислить:
а) cosα+β, cosα=-35, cosβ=-45 и π2<α<π, π<β<3π2.б) cosα-β, sinα=-513, cosβ=-45 (α и β-углы III четверти).в) tqα· tq(α-β)=2, sinβ=35, π2<β<π.Решение:
а) Вычислим sinα и sinβ с учетом четверти, которой принадлежат углы α и β:sinα=1-cos2α=1-925=45, sinβ=-1-cos2β=-1-1625= - 35cosα+β=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ=(-35)∙-45-45∙-35=1225+1225=2425.б) Вычислим cosα и sin β с учетом четверти, которой принадлежат углы α и β:
cosα=1-sin2α=-1-25169=-1213, , sin𝛽 =−1-cos2β=-1-1625=-35.cos(α-β)= =cosα∙cosβ + sinα∙sinβ=-1213∙-45+-513∙-35=4865+1565 = 6365.в) Вычислим tq β:cos β = 1-sin2β=-1-925=-45tq β = sinβcosβ=35:-45=-34 .
Вычислим теперь tq α: tq(α-β) = 2 → tqα-tqβ1+tqα∙tqβ=2 → tqα-(-34)1+tqα∙(-34)=2 → tqα+341-34tqα=2→tqα+34=2-32tqα → 212tqα=114 → tqα=12 .Занятие 5.
7.Задание: Упростите:
а) cosπ30∙cosπ15+sinπ30∙sinπ15sin7π30∙cos4π15+cos7π30∙sin7π15; в)tqα+tq(π3-α)1-tqα∙tq(π3-α);
б)sin45°+α-cos(45°+α)sin45°+α+cos⁡(45°+α); г) tqα∙tqβ+(tqα+tqβ)∙сtq(α+β).Решение:
а) cosπ30∙cosπ15+sinπ30∙sinπ15sin7π30∙cos4π15+cos7π30∙sin7π15 = cos(π30-π15)sin(7π30+4π15)=cosπ30sinπ2= cosπ30.б) sin45°+α-cos(45°+α)sin45°+α+cos⁡(45°+α)=sin45°∙cosα+cos45°∙sinα-cos45°∙cosα+sin45°∙sinαsin45°∙cosα+cos45°∙sinα+cos45°∙cosα-sin45°∙sinα=( 22∙sinα+22∙sinα):( 22∙cosα+22∙cosα)=sinαcosα = tqα.
в)tqα+tq(π3-α)1-tqα∙tq(π3-α) = tqα+π3-α=tqπ3=3.г) tqα∙tqβ+(tqα+tqβ)∙сtq(α+β)= tqα∙tqβ+tqα+tqβ∙1-tqα∙tqβtqα+tqβ)=tqα∙tqβ+1-tqα∙tqβ=1.Занятие 6.
1.4 Формулы двойного аргумента
Следующие формулы выражают тригонометрические функции произвольного угла через тригонометрические функции произвольного угла в два раза меньшего.
sin2α=2sinα∙cosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αtq2α=2tqα1-tq2α, (α≠π2+πn, α≠±π4+πn, n∈Ζ )сtq2α=сtq2α-12сtqα , (α≠πm2, m∈Ζ)8.Задание: Вычислите:
а) sin2α, если sinα=2029, π2<α<πб) sin2α, если tqα=34, π<α<3π2в) 1+95∙sin2α, если соsα=23 и 270°<α<360°.г) 4+27∙cos2α, если соsα=23 д) sinα, если sinα2+cosα2=1,4е) cosπ9∙cos2π9∙cos4π9ж)sin10°∙sin50°∙sin70°з)4sin20°∙sin50°∙sin70°sin80°Решение:
а) sin2α, если sinα=2029, π2<α<π. Учитывая, что α-угол II четверти, получаем:cosα =-1-sin2α=-1-(2029)2 =-2129sin2α=2sinα∙cosα==2∙2029∙-2129=-840841.
б) sin2α, если tqα=34, π<α<3π2Найдём cosα из равенства: 1+tq2α=1cos2α, т.е. 1+342=1cos2α⇒cos2α=1625 ⇒cosα=±45Но π<α<3π2, поэтому cosα=-45. Тогдаsinα=-1-cos2α=-1-1625=-35sin2α=2sinα∙cosα=2∙-45∙-35=2425 .в) 1+95∙sin2α, если соsα=23 и 270°<α<360°.1+95∙sin2α=1+185 ∙sinα∙соsα, а угол α∈IVчетверти, то
sinα=-1-cos2α=-1-49=-531+95∙sin2α=1+185 ∙sinα∙соsα= 1+185 ∙-53∙23=1-4∙5=-19.г) 4+27∙cos2α= 4+272cos2α-1=4+27∙89-1=4-3=1. д) sinα=2∙sinα2∙cosα2 sinα2+cosα2=1,4(sinα2+cosα2)2=1,42sin2α2+2∙sinα2∙cosα2+cos2α2=1,961+sinα=1,96sinα=1,96-1sinα=0,96е) cosπ9∙cos2π9∙cos4π9 Воспользуемся искусственным приёмом: умножим и разделим заданное выражение на
2∙sinπ9, а затем воспользуемся формулой двойного аргумента:
cosπ9∙cos2π9∙cos4π9=cosπ9∙cos2π9∙cos4π9∙2∙sinπ92∙sinπ9=2∙sinπ9∙cosπ9∙cos2π9∙cos4π92∙sinπ9=sin2π 9∙cos2π9∙cos4π92∙sinπ9∙22=sin4π 9∙cos4π94∙sinπ9 ∙22=sin8π 98∙sinπ9=sinπ-π 98∙sinπ9=sinπ98∙sinπ9=18 .Замечание: Произведение косинусов, аргументы которых удваиваются, можно упростить умножением и делением его на синус наименьшего угла с последующим «свёртыванием» числителя с помощью формулы двойного аргумента.
ж)sin10°∙sin50°∙sin70°Умножим и разделим заданное выражение на 2∙cos10°:
sin10°∙sin50°∙sin70°∙2∙cos10°2∙cos10°=sin20°∙sin50°∙sin70°2∙cos10° = sin20°∙sin50°∙cos20°2∙cos10°∙22=∙sin50°∙sin40°4∙cos10°=sin40°∙cos40°4∙cos10° ∙22= sin80°8∙cos10°= cos10°8∙cos10°= 18 .з)4sin20°∙sin50°∙sin70°sin80°= 4sin20°∙sin50°∙cos20°sin80° =2sin40°∙sin50°sin80°= 2sin40°∙cos40°sin80°=sin80°sin80°=1.Занятие 7.
9 Задание: Упростить:
а) sin(60°+α)4∙sin(15°+α4 )∙sin(75°-α4) д) sin22α-4∙sin2αsin22α+4∙sin2α-4б) 1-4∙sin2α∙cos2αcos2α-sin2α е) tq2αtq4α-tq2αв) (сtq α3- tqα3)∙tq2α3 ж) (sinα)-1+(tqα)-1г) 1+сtq2α∙сtqαtqα+сtqα з) 1- 11-sin-1(2α+3π2)Решение:
а) sin(60°+α)4∙sin(15°+α4 )∙sin(75°-α4) = sin(60°+α)4∙sin(15°+α4 )∙sin(90°-15°+α4)= sin(60°+α)2∙2sin(15°+α4 )∙cos(15°+α)=sin(2∙(30°+α2)2sin(30°+α2)=2sin(30°+α2 )∙cos(30°+α2)2sin(30°+α2)=cos(30°+α2)б) 1-4∙sin2α∙cos2αcos2α-sin2α =1-sin22αcos2α=cos22αcos2α=cos2αв) (сtq α3- tqα3)∙tq2α3=(1tqα3-tqα3)∙2tqα31-tq2α3= 1-tq2α3tqα3 ∙2tqα31-tq2α3=2
г) 1+сtq2α∙сtqαtqα+сtqα=1+сtq2α-12сtqα∙сtqα1сtqα+сtqα=2+сtq2α-121+сtq2αсtqα= 1+сtq2α2∙сtqα1+сtq2α=сtqα2д) sin22α-4∙sin2αsin22α+4∙sin2α-4= 4∙sin2α∙cos2α-4∙sin2α4∙sin2α∙cos2α+4∙sin2α-4∙sin2α-4∙cos2α= 4∙sin2∙(cos2α-1)4∙cos2α∙(sin2α-1)==tq2α∙1-cos2α1-sin2α =
tq2α∙sin2αcos2α=tq4αе) tq2αtq4α-tq2α =tq2α2tq2α1-tq22α-tq2α=tq2α∙(1-tq22α)tq2α∙(2-1+tq22α)=1-tq22α1+tq22α=1-sin22αcos22α1+sin22αcos22α= cos22α-sin22αcos22α+sin22α= cos4αж) (sinα)-1+(tqα)-1=1sinα+1tqα=1sinα+cosαsinα=1+cosαsinα=1+2∙cos2α2-12∙sinα2∙cosα2=2∙cos2α22∙sinα2∙cosα2=cosα2sinα2=сtqα2з) 1- 11-sin-1(2α+3π2)=1-11-1sin3π2+2α=1-11-1-cos2α=1-11+1cos2α=1-11+cos2αcos2α=1-cos2αcos2α+1=cos2α+1-cos2αcos2α+1=1cos2α+1=12cos2αЗанятие 8.
1.5 Применение тригонометрических формул половинного аргумента
Формулами половинного аргумента называются формулы, выражающие значения тригонометрических функций аргумента α2 через значения тригонометрических функций аргумента α. Формулы понижения степени рекомендуется использовать в преобразованиях выражений, содержащих степени тригонометрических функций.
Формулы понижения степени: sin2α2=1-cosα2; cos2α=1+cosα2tqα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα, (α≠πn,n∈Ζ)
10. Задание: Вычислить:
а) cos2α2, если cosα=0,4 д) sin2π8+cos23π8+sin25π8+cos27π8б) sinπ8 е) 1+cosα2-sinα21-cosα2-sinα2в) tq112°30´
г) sin4α+cos4α, если cos2α=513Решение:
а) cosα=0,4 ⇒ cos2α2=1+cosα2=1+0,42=0,7
б) Найдем сначала значение функции:
sin2π8 =1-cosπ42= 1-222=2-24 Так как sinπ8>0, то sinπ8=2-24=2-22
в) tq112°30´=1-cos225°sin225°=1-cos(180°+45°)sin(180°+45°)=1-cos45°-sin45°=-1-2222=-(1+2)г) cos2α=513sin4α+cos4α=(sin2α)2+(cos2α)2=(1-cos2α)22+(1+cos2α)22=2+2cos22α4=1+cos22α2=1+251692=97169д) sin2π8+cos23π8+sin25π8+cos27π8 = 1-cosπ42+1+cos3π42+1-cos5π42+1+cos7π42= 1-cosπ4+cos(π-π4)-cosπ+π4 +cos(2π-π4)2=4-cosπ4-cosπ4+cosπ4+cosπ42=42=2 е) 1+cosα2-sinα21-cosα2-sinα2=2∙cos2α4-2∙sinα4∙cosα42∙ sin2α4-2∙sinα4∙cosα4=2∙cosα4 ∙(cosα4-sinα4)2∙sinα4∙(sinα4 -cosα4)=-сtqα4Занятие 9.
В некоторых случаях применяются для преобразования тригонометрических функций формулы универсальной подстановки. Эти формулы выражают тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента. С помощью них можно представить все тригонометрические функции аргумента α в виде рациональных выражений относительно tqα2. Эти формулы записываются в виде:
sinα=2tqα21+tq2 α, α≠π∙2n+1,n∈Ζ
cosα=1-tq2 α21+tq2 α2 , α≠π∙2n+1,n∈Ζtqα=2tqα21-tq2 α2 , α≠π2 +π∙k , α≠π∙2n+1,n,k∈Ζctqα=1-tq2 α22tqα2 α≠π∙n, n∈Ζ
11. Задание: Вычислите:
а) sin4α+cos4α∙ctq2α, если tq2α=4 б) sin4α-cos4α, если tqα2=0,5в) sinα и cosα, если tqα2=-2,4 и 90°<α2<135°Решение:
а) sin4α+cos4α∙ctq2α=2tq2α1+tq2 2α+ 1-tq2 2α1+tq2 2α ∙1tq2α =2tq2 2α+1-tq2 2α(1+tq2 2α)∙tq2α =1tq2α=14б) tqα2=0,5sin4α-cos4α= sin2α+cos2α∙ sin2α-cos2α=-cos2α- sin2α=-cos2α-1+cos2α=1-2∙cos2α=1-2∙1-tq2 α21+tq2 α22==1-2∙1-141+142=1-2∙352=1-1825=725в) sinα и cosα, если tqα2=-2,4 и 90°<α2<135°sinα=2tqα21+tq2 α=-2∙2,41+5,76=-4,86,76=-480676=-120169180°<α<270°cosα=1- sin2α=1-(-120169)2 =-1692-12021692=-49∙2891692 =-7∙17169=-11916912.Задание: Упростите:
а) 4∙tqα∙(1-tq2 α)(1+tq2 α)2 б) tq2 (π4+α)-11+tq2 (π4+α) в) (1+tq2α)2 -2tq22α1+tq22α-sin4α-1 Решение:
а) 4∙tqα∙(1-tq2 α)(1+tq2 α)2 =2∙2∙tqα1+tq2 α∙1-tq2 α1+tq2 α=2∙sin2α∙cos2α=sin4α
б) tq2 (π4+α)-11+tq2 (π4+α) =-1-tq2 (π4+α)1+tq2 (π4+α)=-cosπ2+2α=sin2α
в) (1+tq2α)2 -2tq22α1+tq22α-sin4α-1=1+2tq2α+tq22α-2tq22α1+tq22α-2tq2α1+tq22α-1=1+2tq2α-tq22α-2tq2α-1-tq22α1+tq22α=-2tq22α1+tq22α=-2∙ sin22αcos22α1+ sin22αcos22α=-2∙sin22αcos22α∙sin22α=-2∙sin22αЗанятие 10.
1.6 Применение формул преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение
Часто необходимо сумму тригонометрических функций представить в виде произведения. Такое преобразование бывает полезно при решении тригонометрических уравнений, для того чтобы преобразовать в произведение левую часть уравнения, у которого правая часть равна нулю. После этого решение тригонометрического уравнения обычно сводится к решению простейших тригонометрических уравнений.
Следующие формулы позволяют выполнить такие преобразования:
sinα±sinβ=2∙sinα±β2∙cosα∓β2cosα+cosβ=2∙cosα+β2∙cosα-β2cosα-cosβ=-2∙sinα+β2∙sinα-β2tqα±tqβ=sin(α±β)cosα∙cosβ, (α,β≠π2+πk,k∈Ζ)ctqα±ctqβ=sin(β±α)sinα∙sinβ, (α,β≠πn,n∈Ζ)13. Задание: Следующие выражения преобразуйте в произведение:
а) 3±tqα д)cosα+32°+cos(α-28°)sin(88°-α)б)1+sinα+cosα е) 3-4 ∙sin2π2-αв) tq9°-tq63°+tq81°-tq27° ж) sin47°+sin61°-sin11°-sin25°г) sin2α2+2β- sin2α2-2β з) 2∙cos40°-cos20°sin20° Решение:
а) 3±tqα= tqπ3 ± tqα=sin(π3 ± α)cosπ3 ∙cosα=2∙sin(π3 ± α)cosα
б)1+sinα+cosα=(1+cosα)+sinα=2∙cos2α2+2∙sinα2∙cosα2=2 ∙cosα2cosα2+sinα2=2 ∙cosα2∙sin90°-α2+sinα2= 2 ∙cosα2∙2∙sin45°∙cos45°-α2=2∙2 ∙cosα2∙cos45°-α2 в) tq9°-tq63°+tq81°-tq27° Рекомендации: Выделите в рассматриваемом выражении те значения тригонометрических функций, у которых аргументы в сумме или разности дают угол, кратный π2, затем сгруппируйте их соответствующим образом и упростите.tq9°-tq63°+tq81°-tq27°=tq9°+tq81°-tq27°+tq63°=sin90°cos9°∙cos81°-sin90°cos27°∙cos63°=1cos9°∙cos90°-9°-1cos27°∙cos90°-27°=1cos9°∙sin9°-1cos27°∙sin27°=2sin18°-2sin54°=2∙sin54°-sin18°sin18°∙sin54°=4∙sin18°∙cos36°sin18°∙sin90°-36°=4∙cos36°cos36°=4г) sin2α2+2β- sin2α2-2β=1-cosα+4β2-1-cosα-4β2=-12∙(-2)∙sinα∙sin4β=sinα∙sin4βд) cosα+32°+cos(α-28°)sin(88°-α)=2∙cosα+32°+α-28°2∙cosα+32°-α+28°2sin(88°-α)=2∙cos(α+2°)∙cos30°sin(90°-(α+2°))=3∙cos(α+2°)cos(α+2°)=3 е) 3-4 ∙sin2π2-α=3-4∙cos2α=3-4∙1+cos2α2=1-2cos2α=2∙12-cos2α=2∙cosπ3-cos2α=-4sinπ6+α∙sinπ6-α=4sin(π6+α)∙sin(α-π6) ж) sin47°+sin61°-sin11°-sin25°= (sin47°+sin61°)-(sin11°+sin25°)=2∙sin54°∙cos7°-2∙sin18°∙cos7°=2∙cos7°∙sin54°-sin18°=4∙cos7°∙sin18°∙cos36°=2∙cos7°∙sin36°cos18°=cos7°∙2∙sin36°∙cos36°cos(90°-72°)=cos7°∙sin72°sin72°=cos7°з) 2∙cos40°-cos20°sin20°=cos40°+(cos40°-cos20°)sin20°=cos90°-50°-2∙sin10°∙sin30°sin20°=sin50°-sin10°sin20°=2∙sin20°∙cos30°sin20°=314.Задание: Следующие выражения преобразуйте в произведение:
а) cos2α-cos3α-cos4α+cos5αб) sin4α-sin5α-sin6α+sin7αв)sinα+3sin2α+sin3αcosα+3cos2α+cos3α Решение:
а)cos2α-cos3α-cos4α+cos5α=cos2α+cos5α-cos3α+cos4α=2∙cos7α2∙cos3α2-2∙cos7α2∙cosα2=2∙cos7α2∙cos3α2-cosα2=2∙cos7α2∙-2sinα∙sinα2=-4∙sinα2∙sinα∙cos7α2 б) sin4α-sin5α-sin6α+sin7α=(sin4α+sin7α)-(sin5α+sin6α)=2∙sin11α2∙cos3α2-2∙sin11α2∙cosα2=2∙sin11α2∙cos3α2-cosα2=2∙sin11α2∙-2sinα∙sinα2=-4∙sinα2∙sinα∙sin11α2 в) sinα+3sin2α+sin3αcosα+3cos2α+cos3α=sinα+sin3α+3sin2α(cosα+cos3α)+3cos2α=2∙sin2α∙cosα+3∙sin2α2∙cos2α∙cosα+3∙cos2α=sin2α∙(2cosα+3)cos2α∙(2cosα+3)=tq2αЗанятие 11.
1.7 Применение формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность)
Часто оказываются полезными формулы преобразования произведения тригоно-метрических функций в сумму или разность. Обычно они используются при упрощении тригонометрических выражений, при нахождении производных и интегралов от функций, содержащих тригонометрические выражения, а также при решении триго-нометрических уравнений и неравенств.
cosα∙cosβ=12∙cosα-β+cosα+βsinα∙cosβ=12∙sinα-β+sinα+βsinα∙sinβ=12∙cosα-β-cosα+β15.Задание: Вычислите:
а)16∙sinα2∙sin3α2, если cosα=34 г) 12∙sin10°-2∙sin70°б) sin2α+sin(π3+α)∙sin(π3-α) д) cos2π7+cos4π7+cos6π7в)sin20°∙sin40°∙sin80° е)sin4°∙sin86°-cos2°∙sin6°+12∙sin4°Решение:
а) cosα=3416∙sinα2∙sin3α2=16∙12∙cosα2-3α2-cosα2+3α2=8∙cosα-cos2α=8∙cosα-2∙cos2α+1=8∙34-2∙916+1=8∙58=5
б) sin2α+sin(π3+α)∙sin(π3-α)=sin2α+12∙cos2α-cos2π3=1-cos2α2+cos2α2-12∙-12=12+1 4 = 34
в) В тех случаях, когда необходимо преобразовать в сумму произведение трёх или более
тригонометрических функций, формулы применяют повторно.
sin20°∙sin40°∙sin80°=(sin20°∙sin80°)∙sin40°=12∙(cos60°-cos100°)∙sin40°==14∙sin40°-12∙cos100°∙sin40°=14∙sin40°-12∙12∙sin(-60°+sin140°)=14 ∙sin40°+38-14 ∙sin40°=38г) 12∙sin10°-2∙sin70°=1-4∙sin10°∙sin70°2∙sin10°=1-4∙12 ∙cos60°-cos80°2∙sin10°=1-1+2∙cos80°2∙sin10°=2∙sin10°2∙sin10°=1д) cos2π7+cos4π7+cos6π7= cos2π7+cos4π7+cos6π7∙2∙sinπ72∙sinπ7==2∙sinπ7∙cos2π7+2∙sinπ7∙cos4π7+2∙sinπ7∙cos6π72∙sinπ7=sin3π7-sinπ7+sin5π7-sin3π7+sinπ-sin5π72∙sinπ7=-sinπ72∙sinπ7=-12Рекомендация.
Суммы cosх+cos2х+…+cosnх и sinх+ sin2х+…+sin⁡nх преобразуют умножением и делением на 2∙sinх2 с последующим применением к слагаемым формул преобразования произведениятригонометрических функций в сумму или разность. е) sin4°∙sin86°-cos2°∙sin6°+12∙sin4°=12∙cos82°+cos90°-12∙sin4°+sin8°+12∙sin4°=12∙sin8°-12∙sin4°-12∙sin8°+12∙sin4°=0Занятие 12.
Вычисление значений тригонометрических функций от аркфункций
При вычислении значений тригонометрических функций от аркфункций необходимо знать, что:
-π2 ≤arcsin⁡x≤π2 -π2 <arctg⁡x<π20≤arccos⁡x≤π 0 <arcctg⁡x<πsinarcsinx=x и cosarccosx=x, если x≤1tgarctgx=x и ctgarcctgx=⁡x, если x∈Rarcsin-x=-arcsinx arctg-x=- arctg⁡xarccos-x=π- arccos⁡x arcctg(-⁡x)=π-arcctg⁡x В тех случаях, когда аргумент выражен через обратные тригонометрические функции, надо преобразовать данное выражение таким образом, чтобы можно было воспользовать-ся определением обратных тригонометрических функций.
16.Задание: Вычислить:
а) arcsinsin5π7- arctgtg6π7-arccoscos8π7+ arcctgctg-3π7б) tgarcsin-14+π2 в) cos(arctg-23-3π2)г) sin( arctg(-3))д)sin(2 arcsin17 )е) tg(12 arcctg3)ж) arcsin35 +arcsin1213
з) arctg2+arctg3Решение:
а) arcsinsin5π7- arctgtg6π7-arccoscos8π7+ arcctgctg-3π7= arcsinsin(π-2π7)- arctgtg(π-π7)-arccoscos(π+π7)+ arcctg-ctg3π7=arcsinsin2π7- arctg-tgπ7-arccos-cosπ7+ arcctg-ctg3π7=2π7-(- arctgtgπ7)-(π-arccoscosπ7+π- arcctgctg3π7=2π7+π7-π+π7+π-3π7=π7б) tgarcsin-14+π2Обозачим arcsin-14=α, тогда sinα=-14 и α∈IV четверти.cosα=1-sin2α=1-116=154tgarcsin-14+π2=tgα+π2=-сtgα=-cosαsinα=-154:( -14)=15в) cos(arctg-23-3π2)Обозначим arctg-23=α, тогда tgα=-23 и α∈IV четверти.1+ctg2α=1sin2α ⇒sin2α=413 ⇒sinα=-21313cos(arctg-23-3π2)=cosα-3π2=cos3π2-α=-sinα=--21313=21313г) sin(arctg(-3))
Обозначим arctg-3=α, тогда tgα=-3 и - π2<α<01+tg2α=1cos2α ⇒ 1+9=1cos2α ⇒ cos2α=110 ⇒ cosα=110sin(arctg(-3))=sinα= tgα∙cosα=-3∙110=-31010д)sin(2 arcsin17 )
Обозначим arcsin17 =α, тогда sinα=17 и α∈I четверти.cosα=1-149=437sin(2 arcsin17 )=sin2α=2∙sinα∙cosα=2∙17∙437=8349е) tg(12 arcctg3)Обозначим arctg3=α, тогда сtgα=3 и α∈I четверти1+сtg2α=1sin2α ⇒1+9=1sin2α⇒sin2α=110⇒sinα=110cosα=1-sin2α=1-110=310tg12 arcctg3=tgα2=sinα1+cosα=1101+310=110+3=10 -3ж) arcsin35 +arcsin1213
Обозначим: arcsin35 =α, sinα=35, α∈I четверти
arcsin1213=β, sinβ=1213, β ∈I четвертиcosα=1-sin2α=1-925=45
cosβ=1-sin2β=1-144169=5130<α<π2, 0<β<π2 ⇒0<α+β<π, т.е. α+β лежит в области значений арккосинуса.
arcsin35 +arcsin1213=α+βcos(α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ=45∙513-35 ∙1213=-1665Тогда α+β=arccos(-1665)Замечание: Распространённая ошибка при решении таких задач состоит в том, что не учитывается величина аргумента α+β. Рассуждают так: по формуле синуса суммы чисел можно записать:
sinα+β=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ=35 ∙513+45∙1213= 6365 А затем делается ошибочный вывод о том, что α+β=arcsin6365, хотя число α+β не лежит в области значений арксинуса, так как α+β>π2.
з) arctg2+arctg3
Обозначим:
arctg2=α, tgα=2, α∈I четверти и сtgα=12arctg3=β, tgβ=3, β∈I четверти и сtgβ=13π4<α<π2, π4<β<π2 ⇒0<α+β<π, т.е. α+β лежит в области значений арккотангенса.
arctg2+arctg3= α+βctgα+β =ctgα∙ctgβ-1ctgα+ctgβ=12∙13-112+13=-56:56=-1Тогда α+β= arcсtg-1=3π4.2. Решение тригонометрических уравнений
2.1 Простейшие тригонометрические уравнения
2.2 Решение тригонометрических уравнений, левая и правая части которых являются одноимёнными тригонометрическими уравнениями
2.3 Метод разложения на множители
2.4 Метод введения новой переменной
2.5 Метод введения вспомогательного угла
2.6 Решение уравнений с использованием ограниченности функций у= sinх и у= cosх2.7 Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Занятие 13.
Тема. Методы решение тригонометрических уравнений
Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное только в аргументе тригонометрической функции. Основная цель при решении тригонометрических уравнений состоит в преобразовании тригонометрических выражений, входящих в уравнение, таким образом, чтобы рассматриваемое уравнение привелось к нескольким простейшим уравнениям, которые решаются стандартным способом.
В каждом конкретном примере необходимо найти свой способ преобразования рассматриваемого уравнения. Иногда приходится перебирать разные преобразования, применять различные идеи, прежде чем удаётся найти тот способ или путь, который приведёт к цели. Успех в решении тригонометрических уравнений будет достигнут при наличии хороших знаний тригонометрических формул и умений грамотно проводить тригонометрические преобразования, что вырабатывается только достаточной практикой.
Решение тригонометрического уравнения можно свести к решению нескольких простейших тригонометрических уравнений следующими методами:
разложение на множители;
введение новой переменной;
введение вспомогательного угла;
использование ограниченности функций у= sinх и у= cosх. Важно отметить, что форма записи корней тригонометрического уравнения зависит от того, какой метод применяется для решения данного уравнения.
Рассмотрим основные типы тригонометрических уравнений и методы их решения
2.1 Решение простейших тригонометрических уравнений
Вид простейших тригонометрических уравнений Решение простейших тригонометрических уравнений
sinх=а, -1≤а≤1х=(-1)narcsina+πn,n∈Zcosх=а, -1≤а≤1х=arccosa+2 πn,n∈Ztgх=ах= arctga+πn,n∈Zctgх=ах=arcctga+ πn,n∈ZЧастные случаи тригонометрических уравнений
sinx=-1
sinx=0
sinx=1
x= - π2+ 2πn, n∈Zx= πn, n∈Zx= π2+ πn, n∈Zcosx=-1
cosx=0cosx=1x= π +2πn, n∈Zx= π 2 + πn, n∈Zx= 2πn, n∈Ztgx=-1
tgx=0
tgx=1x= - π 4 + πn, n∈Zx= πn, n∈Zx= π 4 + πn, n∈Zctgx=-1
ctgx=0ctgx=1x= 3π 4 + πn, n∈Zx= π 2 + πn, n∈Zx= π 4 + πn, n∈Z1.Задание: Решите уравнение: 2∙cos(2х-π4)=3Решение: cos(2х-π4)=322х-π4=±π6+2πn, n∈Z2х=π4±π6+2πn, n∈Zх=π8±π12+πn, n∈ZОтвет: х=π8±π12+πn, n∈Z2.Задание: Решите уравнение cos(7х-π6)=-1 и найдите сумму корней, принадлежащих интервалу (- π2;π2).Решение: cos(7х-π6)=-17х-π6=π+2πn, n∈Z7х=π6+π+2πn, n∈Z7х=7π6+2πn, n∈Zх=π6+2πn7, n∈ZА теперь выберем те значения переменной, которые принадлежат интервалу (- π2;π2):
n= 0; х =π6+2π∙07=π6∈(- π2;π2)
n=1; х=π6+2π∙17=19π42∈(- π2;π2)n=2; х=π6+2π∙27=31π42Ȼ (- π2;π2)n = - 1; х=π6+2π∙(-1)7=-5π42 ∈(- π2;π2)n= - 2; х=π6+2π∙(-2)7=-17π42 ∈(- π2;π2)n=3; х=π6+2π(-3)7=-29π42 Ȼ(- π2;π2)π6+19π42-5π42-17π42=4π42=2π21Ответ: 2π21.3. Задание: Решите уравнение: cos23x=12Решение: Пользуясь формулой понижения степени, получим:
1+cos6x2=12cos6x=06x=π2+πn, n∈Ζx=π12+πn6, n∈ΖОтвет:x=π12+πn6, n∈Ζ4. Задание: Решите уравнение: tg2x=3
Решение:
tg x=±3x=±π3+ πn, n∈ΖОтвет: x=±π3+ πn, n∈Ζ5.Задание: Решите уравнение: tg(πx2)=1
Решение:
πx2=π4+ πn, n∈Ζx2=14+n, n∈Ζ x=±124n+1 , n=1,2,3,…Ответ: x=±124n+1 , n∈Ζ, n>0.6.Задание: Решите уравнение: cosx=π3Решение: Поскольку π3=1,04>1 уравнение решений не имеет.Ответ: Решений нет.
Занятие 14.
2.2 Решение тригонометрических уравнений, левая и правая части которых являются одноимёнными тригонометрическими уравнениями
1. sinα=sinβ⇒ [α-β=2πnα+β=π+2πk⇒ [α=β+2πnα=π-β+2πk n,k ∈Z
α=(-1)k∙β+πk, k ∈Z
2. cosα=cosβ⇒ [α-β=2πnα+β=2πk ⇒ [α=β+2πnα=-β+2πk n,k ∈Z
α=±β+πk, k ∈Z
3. tgα=tgβ ⇒ [α-β=πnβ≠π2+πk ⇒ [α=β+πnβ≠π2+πk n,k ∈Z
4. ctgα=ctgβ ⇒ [α-β=πnβ≠πk ⇒ [α=β+πnβ≠πk n,k ∈Z
7.Задание: Решите уравнение: а)sin5х=-sinхРешение:
а)sin5х=-sinхsin5х=sin-х[5х--х=2πn 5х+-х=π+2πk⇒[6х=2πn 4х=π+2πk⇒[х=πn3х=π4+πk2 n,k ∈Z
Ответ: х=πn3, х=π4+πk2 n,k ∈Z
б) cos3х=cos12° [3х-12°=2πn3х+12°=2πk ⇒ [3х=12°+2πn3х=-12°+2πk ⇒ [х=4°+120°∙nх=-4°+120°∙k n,k ∈Z
Ответ: х=±4°+120°∙n, n∈Z
в) cos3х=sinх cos3х=cosπ2-х [3х-π2-х=2πn3х+π2-х=2πk ⇒ [4х=π2+2πn2х=-π2+2πk ⇒ [х=π8+πn2х=-π4+πk n ,k ∈Z
Ответ: х=π8∙4n+1, х=π4∙4k-1, n,k ∈Z
г) tg11х=tgх ⇒ [11х-х=πnх≠π2+πk ⇒ [х=πn10х≠π2+πk n,k ∈Z
πn10≠π2+πkn10≠12+k⇒ n≠5+10kОтвет: х=πn10, n≠5+10k, n,k ∈Z
Занятие 15.
2.3 Метод разложения на множители
При решении тригонометрического уравнения данным методом можно пользоваться всеми известными способами разложения на множители алгебраических выражений: вынесение за скобки общего множителя; группировка; применение формул сокращенного умножения. Путём разложения на множители тригонометрическое уравнение приводится к виду, когда левая часть - произведение тригонометрических8 функций, а правая часть - нуль. Таким образом, исходное уравнение распадается на несколько простых уравнений.
Необходимо также знать следующие формулы:
сложение аргументов тригонометрических функций;
понижение степени тригонометрических функций;
преобразование произведения тригонометрических функций в сумму;
преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.
Перейдём к решению тригонометрических уравнений данным методом.
8. Задание: Решите уравнение: sinх2∙sinх=01).sinх2=0 2). sinх=0 х 2=πn, n∈Z х=πk,k∈ Z х=2πn,n∈ ZОчевидно, что множество решений в первом случае является подмножеством решений во втором случае:
n=0;х=0 k=0;х=0;
n=1;х=2πk=1;х=π;k=2;х=2πОтвет: х=πk,k∈ Z.
9.Задание: Решите уравнение: sinх1+cosх=0Решение:sinх=01+cosх≠0 sinх=0cosх≠-1х=πn, n∈Zх≠π+2πk,k∈ ZОтбрасывая из множества решений х=πn значения, входящие в серию х=π+2πk, получаем х=2πm,m∈ Z.Ответ: х=2πm,m∈ Z.10.Задание: Решите уравнение:2∙sin2х+sinх=0 Решение: 4∙sinх∙cosх+sinх=0 sinх∙(4∙cosх+1)=0sinх=0, 2) 4∙cosх+1=0х=πn, n∈Z 4∙cosх=-1
cosх=-14 x=±π-arcsin14+2πk,k∈ ZОтвет: х=πn, х = ±π-arcsin14+2πk,k,n∈ Z11.Задание: Решить уравнение:1+sinх∙cos2х=sinх+cos2х
Решение: 1+sinх∙cos2х-sinх-cos2х=0(1-sinх)-cos2х1-sinх=0(1-sinх)(1-cos2х)=01)1-sinх=0 2) 1-cos2х=0sinх=1 cos2х=1х=π2+2πn, n∈ Z 2х=2πk, k∈ Z х=πk,k∈ ZОтвет: х=π2+2πn, х=πk, k,n∈ Z12.Задание: Решить уравнение: cos3х∙cos2х=sin3х∙sin2хРешение: cos3х∙cos2х-sin3х∙sin2х=0 Применим формулу сложения аргументов:
cosα+β=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ cos5х=05х=π2+2πn, n∈ Zх=π10+πn5, n∈ ZОтвет: х=π10+πn5, n∈ Z13.Задание: Решить уравнение: cos4х=sin(π2+6х)Решение: По формулам приведения имеем:cos4х=cos6хcos6х-cos4х=0. Применим следующую формулу преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:cosα-cosβ=-2sinα+β2∙sinα-β2
-2sin5х∙sinх=0sin5х∙sinх=01).sin5х=0 2). sinх=0 5х= πn, n∈ Z х=πk,k∈ Zх= πn5, n∈ ZРешения вида πn5 включают в себя все решения вида πk, при π=5k.Ответ: х= πn5, n∈ Z14.Задание: Решить уравнения:
а) sin7х+sin3х=2∙cos2хб) sinх-3cos3х+sin7х=0. Найдите корни, принадлежащие отрезку -π4;π2.Решение:
а) Применим следующую формулу преобразования суммы тригонометрических функций в произведение: sinα+sinβ=2sinα+β2∙cosα-β2
sin7х+sin3х=2∙cos2х2sin5х∙cos2х=2∙cos2х2sin5х∙cos2х-2∙cos2х=02∙cos2х(sin5х-1)=01). 2∙cos2х=0 2). sin5х-1=0cos2х=0 sin5х=12х = π2+πn, n∈ Z 5х=π2+2πk, k∈ Zх= π4+ πn2, n∈ Zх=π10+2πk5, k∈ Z
Ответ: х= π4+ πn2, n∈ Zх=π10+2πk5, k∈ Z
б) sinх-3cos3х+sin7х=0.
sinх+sin7х-3cos3х=02sin4х∙cos3х-3cos3х=0
cos3х∙2sin4х-3=01). cos3х=0 2). 2sin4х-3 =03х= π2+πn, n∈ Z sin4х=32 , решений нет, так как sin4х≤1.х= π6+πn3, n∈ Z
Найдём целые решения двойного неравенства:
-π4≤π6+πn3≤π2- 5π12 ≤πn3≤π3-54 ≤n≤1⇒ n∈-1;0;1Значит, х=- π6; х= π6; х= π2Ответ: х∈ - π6; π6; π2.
Занятие 17.
15.Задание: Решите уравнение: cos4х∙cos5х=cos6х∙cos7хРешение: cos4х∙cos5х=cos6х∙cos7х. Применим следующую формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:cosα∙cosβ=12∙(cosα+β+cos(α-β))12 ∙(cos9х+cosх)=12 ∙(cos13х+cosх)cos13х=cos9х13x=9x+2πn13x=-9x+2πk⇒4x=2πn22x=2πk⇒x=πn2,n∈Zx=πk11, k∈ZОтвет: x=πn2, x=πk11, k,n∈Z16.Задание: Решите уравнение: cos4 х2-sin4 х2=sin2хРешение: cos4 х2-sin4 х2=sin2х (cos2 х2-sin2 х2)∙ (cos2 х2+sin2 х2)=sin2х, т.к. cos2 х2+sin2 х2=1 имеем: cos2 х2-sin2 х2=sin2хcosх=2sinх∙cosхcosх-2sinх∙cosх=0cosх∙(1-2sinх)=01).cosх=0 2). 1-2sinх=0х=π2+ πn, n∈Z 2sinх=1sinх=12х=(-1)n∙π6+k, k∈ Z
Ответ: х=π2+ πn, х=(-1)n∙π6+πk, n,k∈ Z
17.Задание: Решите уравнение: 2sin2 х+cos4х=0Решение:
Если тригонометрическое уравнение содержит sinх или cosх в четной степени, то можно применить формулы понижения степени:
sin2 α2=1-cosα2, cos2 α2=1+cosα.22∙1-cosх2+cos4х=01+cos4х-cos2х=02 cos22х-cos2х=0cos2х∙2cos2х-1=01).cos2х=0 2). 2cos2х-1=02 х = π2+ πn, n∈Z 2cos2х=1 х = π4+ πn2, n∈Z cos2х=122х= ±π3+2πk, k∈ Z
х=±π6+πk, k∈ ZОтвет: х = π4+ πn2, n∈Z, х=±π6+πk, n,k∈ Z18.Задание: Решите уравнение: 2sin2х-2sin22х+2sin23х=1Решение: Применим формулы понижения степни:
2∙1-cos2х2 -2∙1-cos4х2+2∙1-cos6х2=11-cos2х-1+cos4х+1-cos6х=1cos4х-cos2х-cos6х=0cos4х-2cos4х∙cos2х=0cos4х∙(1-2cos2х)=01). cos4х=0 2). 1-2cos2х=04 х=π2+ πn, n∈Z 2cos2х=1х= π8+ πn4, n∈Z cos2х=12 2х=±π3+2πk,k∈Z х=±π6+πk,k∈ZОтвет: х= π8+ πn4, х=±π6+πk,k∈Z
19.Задание: Найдите число решений уравнения:
2cos2х-sinх-2=0, принадлежащих отрезку0;5π2.Решение: 2∙(1-sin2х)-sinх-2=0-2sin2х -sinх=0sinх∙(2∙sinх+1)=01). sinх=0 2). sinх=-12х=πk,k∈ Z х=(-1)n+1∙π6+πn, nϵ Zk=0, х=0 ∈0;5π2 n=0, х=-π6∉0;5π2
k=1, х=π∈0;5π2 n=1, х=7π6∈0;5π2k=2, х=2π∈0;5π2 n=2, х=11π6∈0;5π2n=3, х=19π6∉0;5π2При других значениях k корни уравнения не попадают в заданный промежуток.
Число решений уравнения равно 5.
Ответ:5.
Занятие 18.
2.4 Метод введения новой переменной
Данный способ решения тригонометрического уравнения заключается в следующем: исходное уравнение приводится к алгебраическому уравнению относительно тригонометрической функции одного аргумента; затем решается полученное алгебраическое уравнение, что приводит к нескольким простейшим уравнениям, из которых находят значения неизвестного.
Часто перед введением новой переменной приходится делать некоторые тождественные преобразования. Если в уравнение входят тригонометрические функции одного аргумента, то надо выразить эти функции через одну из них, например, через sinх, а потом заменой sinх=а свести исходное уравнение к алгебраическому. Рассмотрим тригонометрические уравнения, приводящие к квадратным уравнениям.
20.Задание: Решите уравнение: 2∙cos2х+5∙sinх-4=0Решение:
2∙(1-sin2х)+5∙sinх-4=02∙sin2х-5∙sinх+2=0Замена: а= sinх2а2 -5а+2=0
а1=12 ; а2=2.
Вернемся к замене:
1). sinх=12 2). sinх=2, решений нет, т.к. sinх≤1х=(-1)n∙π6+πn, nϵ ZОтвет: х=(-1)n∙π6+πn, nϵ Z21.Задание: Решите уравнение: cos4х+3sinх-sin 4 х=2Решение:
cos4х+3sinх-sin 4 х=2(1-sin2х)2+3sinх-sin 4 х=22sin2х-3sinх+1=0Замена: а= sinх2а2 -3а+1=0
а1=12 ; а2=1.
Вернемся к замене:
1). sinх=12 2). sinх=1х=(-1)n∙π6+πn, nϵ Z х=π2+2πk,k∈ Z
Ответ: х=(-1)n∙π6+πn, х= π2+2πk, n,k∈ Z.
22.Задание: Решите уравнение:3tg2x-8cos2х+1=0Решение: Обозначим а= tg2x, тогда cos2х=11+tg2x=11+а3∙а-8∙11+а+1=03а2+4а-7=0а1=1; =-73, посторонний корень,т.к. а≥0.
а= tg2x→ tg2x=1→ tgх=±1х=±π4+πn, n∈ Z.
Ответ: х=±π4+πn, n∈ Z.
В некоторых случаях тригонометрические уравнения можно свести к алгебраическому уравнению относительно тригонометрической функции tgх. Примером таких уравнений могут служить однородные уравнения.
I. Уравнения вида а∙sinkx+b∙coskx=0 a≠0, b≠0, называется однородным уравнением первой степени относительно sinkx иcoskx. Для того, чтобы решить данное уравнение, разделим обе его части на coskx. При этом потери корней не происходит, т.к. если coskx=0, то из уравнения следует, что и sinkx=0, что невозможно, поскольку sin2kx+cos2kx=1. В результате получаем уравнение:
а∙tgkх+b=0.II. Уравнения вида а∙sin2kx+b∙sinkx∙coskx+с∙cos2kx=0 a≠0, называется однородным уравнением второй степени относительно sinkx иcoskx.Разделив обе части уравнения на cos2kx, получим равносильное уравнение видаа∙tg2kx+b∙tgkx+с=0
Рассмотрим примеры однородных тригонометрических уравнений.
23.Задание: Решите уравнение: 2∙sin3х-5∙cos3х=0Решение:
2∙sin3х-5∙cos3х=0 |:cos3х2tg3х-5=0tg3х=523х=arctg52+πn, n∈ Zх= 13 arctg52+πn3, n∈ ZОтвет: х= 13 arctg52+πn3, n∈ Z.
24.Задание: Решите уравнение: sin2x+2∙sinx∙cosx-3∙cos2x=0 Решение: sin2x+2∙sinx∙cosx-3∙cos2x=0 |: cos2х≠0tg2x+2∙tgx-3=0
Замена: а= tgxа2+2а-3=0а1=-3; а2=11). tgx =1 и 2). tgx=-3х= π4+πn, n∈ Z х= - arctg3+ πk,k∈ ZОтвет: х= π4+πn, х= - arctg3+ πk, n,k∈ Z.25.Задание: Решите уравнение: 2∙sin2x+6=13∙sin2xРешение: 2∙sin2x+6∙( cos2 х+sin2х)=13∙2∙sinx∙cosх4sin2x-13∙sinx∙cosх+3∙ cos2 х=0|: cos2х≠04tg2x-13∙tgx+3=0
Замена: а= tgx4а2-13а+3=0а1=3; а2=141). tgx = 14 2). tgx=3х= arctg14+πn, n∈ Z х= arctg3+ πk,k∈ ZОтвет: х= arctg14+πn, х= arctg3 + πk, n, k∈ Z Занятие 19.
2.5 Метод введения вспомогательного угла
Суть данного метода заключается в том, что некоторую величину представляют как тригонометрическую функцию соответствующего аргумента φ, а затем проводят тригонометрические преобразования. Поясним этот метод на примерах.
26.Задание: Решите уравнение: sinх+3 ∙cosх=1Решение: sinх+3 ∙cosх=1|:212sinх+32∙cosх=12cosπ3∙sinх+sinπ3∙cosх=12sin(х+π3)=12х+π3=(-1)n∙π6+πn, n∈Zх=(-1)n∙π6-π3+πn, n∈ZОтвет: х=(-1)n∙π6-π3+πn, n∈Z.
27.Задание: Решите уравнение: 3cosx+4sinx=5Решение: Так как32+42=25=5, разделим уравнение на 5.35∙cosх+45∙sinх=1Обозначим sinφ=35, cosφ=45 и φ=αrcsin35sinφ∙cosx+cosφ∙sinx=1sinφ+x=1φ+x=π2+2πn, n∈Zx=π2-φ+2πn, n∈Zx= π2-αrcsin35+2πn, n∈ZОтвет: x= π2-αrcsin35+2πn, n∈Z.Рассмотренный способ часто применяется для нахождения максимума и минимума функции вида у=а ∙sinх+в∙cosх+с.
28.Задание: Найдите максимум и минимум функции: у=5 ∙sinх+12∙cosх-7.
Решение: у=52+122(552+122∙sinх+1252+122∙cosх)-7у=13∙ (513∙sinх+1213∙cosх)-7 Обозначим cosφ=513, sinφ=1213 и φ= arcsin 1213у=13∙ (cosφ∙sinх+sinφ∙cosх)-7 у=13∙sinх+φ-7Максимум исходная функция будет достигать при sinх+φ=1, то есть уmax=13-7=6.
Минимум исходная функция будет достигать при sinх+φ=-1, то есть ymin=-13-7=-20.Ответ: уmax=6, ymin=-20. Рассмотренный способ решения уравнения вида а ∙sinх+в∙cosх=с является универсальным. Он также применяется в физике при сложении гармонических колебаний.
Занятие 20.
II.6 Решение уравнений с использованием ограниченности функций у= sinх и у= cosх.29.Задание: Решить уравнение: sin25х+1=cos23х
Решение: sin25х+1=cos23х
sin25х+1- cos23х=0
sin25х+sin23х=0
Исходное уравнение равносильно системе:sin5х=0sin3х=0 ⇒5х=πk,k∈Z3х=πn,n∈Z ⇒x=πk5x=πn3, k,n∈ZПриравнивая правые части двух последних равенств, получаем уравнение:
πk5=πn3
3k=5nТо есть это уравнение имеет решение:
k=5ln=3l , l∈ZПодставим значения k или n в решение исходного уравнения, получаем:
х= π∙5l5= π∙l, l∈Z.Ответ: х= π∙5l5= π∙l, l∈Z.30.Задание: Решить уравнение: sin4х-cosх=2Решение: sin4х-cosх=2Так как sinх≤1 и cosх≤1 то исходное уравнение равносильно системе:
sin4х=1cosх=-1⇒х=π8+πn2, n∈Zх=π+2πk, k∈ZВыберем общее решение:
π8+πn2=π+2πk18+n2=1+2k4n-78=2k⇒ 4n-716=kВ числителе дроби стоит нечётное число, а в знаменателе - чётное. Такая дробь не может принимать целые значения, а k∈Z . Следовательно, исходное уравнение решений не имеет.
Ответ: уравнение решений не имеет.
Приведённые типы уравнений и методы их решений, конечно, не исчерпывают всё разнообразие тригонометрических уравнений.
Занятие 21.
II.7 Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Уравнения вида f (arcsinx)=0, f (arccosx)=0 и т.п. решаются методом введения новой переменной.
31.Задание: Решите уравнение: 2arcsin2х-7arcsinх+3=0Решение:
Замена: аrcsinх=а
2а2-7а+3=0а1=12 , аrcsinх=12, х= sin12а2=3, не удовлетворяет условию, так как -π2≤ аrcsinх ≤π2Ответ: х= sin1232.Задание: Решите уравнение: arctq(х2-3х-3)=π4Решение:
Замена: х2-3х-3= а
arctq(х2-3х-3)=π4arctq а=π4⇒ а=tqπ4 ⇒ а=1х2-3х-3=1х2-3х-4=0х1=-1; х2=4Ответ:-1;433.Задание: Решите уравнение:6∙arcsinх2-6х+8,5=πРешение: 6∙arcsinх2-6х+8,5=πarcsinх2-6х+8,5= π 6Замена: х2-6х+8,5= а
arcsinа=π6⇒а=sinπ6 ⇒а=12 х2-6х+8,5=0,5х2-6х+8=0х1=2; х2=4Ответ: 2;434.Задание: Решите уравнение: arctq (1+х)+ arctq (1-х)= π4Решение:
Замена: arctq (1+х)=α arctq (1-х)=β tq α=1+х tq β=1-х -π2≤α≤π2 -π2≤β≤π2
По условию α+β=π4Взяв тангенс от обеих частей уравнения, получим следствие из него:
tq(α+β)= tqπ4tqα+tqβ1-tqαtqβ=11+х+1-х1-(1+х)∙(1-х)=12х2=1х2=2→х=±2
Проверка:
1). х=2При проверке данного корня потребуется доказать или опровергнуть равенство:
arctq(1+2)+ arctq(1-2 )= π4Замена: arctq(1+2)=α arctq(1-2)=β tq α=1+2 tq β=1-2 π4<α<π2 - π4<β<0
Значит: 0<α+β<π2tq(α+β)= tqα+tqβ1-tqαtqβ=1+2+1-21-(1+2)(1-2)=21-(1-2)=1α+β=π4 →верно.2). х=- 2arctq(1-2)+ arctq(1+2)=π4 →верно.
Два корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ: х= ±2.
35.Задание: Решите уравнение: arcsinх=arccos1-хРешение: arcsinх=arccos1-хЗамена: arcsinх=α arccos1-х =β sinα=х cosβ=1-х- π2≤α≤π2 0≤β≤π
sinβ>0, sinβ=1-cos2х=1-(1-х)=хПо условию: α=β. Значит углы α и β∈I четверти. Взяв синус от обеих частей уравнения,имеем:
sinα=sinβх=х , х≥0х2-х=0х(х-1)=0
х1=0; х2=1Проверка:
1). х1=0 2). х2=1 arcsin0=arccos0 arcsin1=arccos1
0°=0° ,верно π2=π2 , верно. Ответ:0;13. Методы решения тригонометрических неравенств
3.1 Простейшие тригонометрические неравенства
3.2 Применение основных тригонометрических формул
3.3 Метод введения новой переменной
3.4 Метод интервалов
Методы решения тригонометрических неравенств
Решение тригонометрических неравенств, по сравнению с другими типами неравенств, существенно отличается.
Решение тригонометрического неравенства можно свести к решению нескольких простейших неравенств следующими методами:
применение основных тригонометрических формул;
введение новой переменной.
При решении неравенств также можно использовать метод интервалов.
Занятие 22.
III.1 Решение простейших тригонометрических неравенств
Чтобы хорошо методикой решения тригонометрических неравенств, нужно сначала научиться записывать решения простейших неравенств, таких как:
sinх∨а, где а≤1cosх∨а, где а≤1tqх ∨асtqх ∨а Для решения простейших тригонометрических неравенств обычно используют интерпретацию неравенства на графике функции или на единичной окружности.
1.Задание: Решить неравенство:sinх≥12Решение:
Множество точек, ордината которых больше или равна 12-дуга l, выделенная на рисунке.
α1=arcsin12=π6α2=π-π6=5π6α1<α2 Следовательно, решением неравенства будут все значения на промежуткеπ6;5π6 с периодом 2πk,k∈Z.
То есть π6+2πk≤х≤5π6+2πk, k∈Z.
Ответ: х∈π6+2πk; 5π6+2πk, k∈Z.
2.Задание: Решите неравенство: cosх3 <32Решение:
Обозначим х3=t, получим cost <32На рисунке выделена соответствующая дуга l ( концы дуги не входят в рассматриваемое множество).
α1=arcсоs32=π6α2=2π-π6=11π6α1<α2π6+2πk<t<11π6+2πk, k∈Z.Перейдём к переменной х:
π6+2πk<х3<11π6+2πk, k∈Zπ2+6πk<х<11π2+6πk, k∈ZОтвет: х∈(π2+6πk;11π2+6πk), k∈Z.
3.Задание: 3 ∙tqх3+π6-1≥0Решение: 3 ∙tqх3+π6-1≥0 tqх3+π6≥13Пусть х3+π6=t,тогда tq t≥13 Проведём линию тангенсов, которая является касательной к окружности в точке(1;0).
Период тангенса равен π. Поэтому решения находим на промежутке - π2;π2. Точки, тангенс которых больше 13, принадлежат лучу АТ.
Значит, α= arctq13=π6π6+πk≤t<π2+ πk, k∈Zπ6+πk≤х3+π6<π2+ πk, k∈Zπk≤х3<π3+ πk, k∈Z3πk≤х<π+ 3πk, k∈ZОтвет: х ∈3πk;π+ 3πk, k∈Z.
4.Задание: Решите неравенство: 3 ∙сtqπ4-х≥-1Решение: -3 ∙сtqх-π4≥-1 сtqх-π4≤13Обозначим х-π4=t и решим неравенствосtqt≤13Проведём линию котангенсов, которая является касательной к окружности в точке (0;1).
Период котангенса равен π. Поэтому решения находим на промежутке ( 0;π). Точки,
котангенс которых меньше 13, принадлежат лучу АК.
Значит, α= arcсtq13=π3π3+πk≤t<π+ πk, k∈Zπ6+πk≤х-π4<π+ πk, k∈Z7π12+πk≤х<5π4+ πk, k∈ZОтвет: 7π12+πk≤х<5π4+ πk, k∈ZЗанятие 23.
5.Задание: Решите неравенство: -12 ≤sinх<32Решение: - 12 ≤sinх<32α1=arcsin- 12=- π6α2=arcsin 32= π3α1<α2α3=π- π3= 2π3α4=π+ π6= 7π6α3<α4Первое решение: - π6+2πk≤х<π3+ 2πk, k∈ZВторое решение:
2π3+2πn<х≤7π6+ 2πn, n∈ZВ ответе объединяем оба промежутка
Ответ: х∈- π6+2πk;π3+ 2πk)∪( 2π3+2πn;7π6+ 2πn, n, k∈Z.6.Задание: Решите неравенство: cosх≤12
Решение: - 12≤cosх≤12Выделяем точки, абсциссы которых больше- 12, но меньше 12.
α1=arcсоs12=π3α2= arcсоs-12=π-arcсоs12=2π3α1<α2х∈π3;2π3 Если дуги симметричны относительно осей координат, то ответ можно записать на любой дуге, уменьшив период в 2 раза.
π3+πk≤х≤2π3+πk, k∈Z.
Ответ: х∈π3+πk; 2π3+πk, k∈Z.Занятие 24.
III.2 Метод сведения тригонометрического неравенства к простейшим путём применения основных тригонометрических формул
В большинстве случаев решение тригонометрического неравенства можно свести при помощи тождественных тригонометрических преобразований и введения новой переменной к решению одного или нескольких простейших неравенств.
7.Задание: Решите неравенство:tg(3π2+x2)-1≤0Решение: Применяя формулы приведения, получим:
-сtgx2≤1⇒ сtgx2≥-1. Замена: x2=tctgx2≥-1, сtgt≥-1α=arcctg-1=π-arcctg1=3π40+πk<t≤3π4+πk, k∈Z0+πk<x2≤3π4+πk, k∈Z2πk<x≤3π2+2πk, k∈ZОтвет: х∈(2πk;3π2+2πk, k∈Z8.Задание: Решите неравенство: cosπ6∙cosx-sinx∙sinπ6<-32Решение:
Левую часть неравенства преобразуем по формуле косинуса суммы двух аргументов:
cosα+β=cosα∙cosβ-sinα∙sinβcosπ6+х<-32Замена: π6+х= tcost<-32α1=arccos-32=π-arccos32=5π6α2=2π-5π6=7π6α1<α25π6+2πk<t<7π6+2πk, k∈Z5π6+2πk<π6+х<7π6+2πk, k∈Z2π3+2πk<х<π+2πk, k∈ZОтвет: x∈(2π3+2πk;π+2πk), k∈Z.9.Задание: Решите неравенство: (sinх4+cosх4)2≤12Решение:
Раскроем квадрат суммы двух выражений и воспользуемся формулами:
sin2х+cos2х=1, sin2α=2sinα∙cosαsin2х4+2sinх4∙cosх4+cos2х4≤121+sinх2≤12 ⇒ sinх2≤-12Замена: х2= t sint≤-12α1=arcsin-12=-π6α2=-π+π6=-5π6α2<α1-5π6+2πk≤t≤-π6+2πk, k∈Z.-5π6+2πk≤х2≤-π6+2πk, k∈Z.-5π3+4πk≤x≤-π3+4πk, k∈Z.Ответ: x∈-5π3+4πk,-π3+4πk, k∈Z. 10.Задание: Решите неравенство:sin(π3-2х)∙cosπ3-2х≥-34.
Решение:
Левую часть неравенства преобразуем по формуле: sinα∙cosα=12sin2α.12sin(2π3-4х)≥-34-sin(4х-2π3)≥-32 ⇒ sin(4х-2π3)≤32Замена: 4х-2π3=tsint≤32α1=arcsin32=π3α2=-π-π3=-4π3α2<α1-4π3+2πk≤t≤π3+2πk, k∈Z-4π3+2πk≤4х-2π3≤π3+2πk, k∈Z-2π3+2πk≤4х≤π+2πk, k∈Z-π6+πk2≤х≤π4+πk2, k∈ZОтвет: x∈-π6+πk2;π4+πk2, k∈Z.11.Задание: Решите неравенство: 3-4cos2х<0.
Решение:
Используя формулу понижения степени 2cos2α=1+2cos2α, получим:3-2(1+ cos2х)<01-2cos2х<02cos2х>1cos2х>12Замена: 2х=t
cost>12α1 =arccos12=π3α2=- arccos12 =- π3α2<α1 -π3+2πk<t<π3+2πk, k∈Z- π3+2πk<2x<π3+2πk, k∈Z- π6+πk<x<π6+πk, k∈ZОтвет: x∈- π6+πk;π6+πk, k∈Z.12.Задание: Решите неравенство: 2·(32sin2х+12cos2х)<1Решение:
2·(32sin2х+12cos2х)<132sin2х+12cos2х<12Введём вспомогательный угол, используя табличные значения:
32=cosπ6 и 12 =sinπ6cosπ6 ∙sin2х+sinπ6∙cos2х<12sin(2х+π6)<12Замена: 2х+π6=tsint<12α1=arcsin12=π6α2=-π-π6=-7π6α2<α1-7π6+2πk<t<π6+2πk, k∈Z-7π6+2πk<2х+π6<π6+2πk, k∈Z-4π3+2πk<2х<2πk, k∈Z-2π3+πk<х<πk, k∈ZОтвет: x∈-2π3+πk;πk, k∈Z.Замечание. Введением вспомогательного угла мы также могли получить неравенство:
cos(2х-π3)<12 .
Его решение будет (π3+πk;π+πk) , k∈Z. Это вторая записи того же множества решений.13.Задание: Решите неравенство: sinх>cosх. В ответе укажите сумму натуральных чисел, меньших 10, удовлетворяющих этому неравенству.
Решение:
sinх-cosх>0Замечание. Если для решения подобных уравнений один из основных приемов-деление на любое из выражений sinх и cosх, то в неравенствах так поступать нельзя, в силу того, что неизвестен знак делителя, либо придется рассмотреть два возможных случая.
Решим данное неравенство методом введения вспомогательного угла. Разделим неравенство на 2=12+1212sinх-12cosх>0cosπ4∙sinх-sinπ4∙cosх>0 ⇒ sin(х-π4)>0Замена: х-π4=tsint>02πk<t<π+2πk, k∈Z2πk<х-π4<π+2πk, k∈Zπ4+2πk<х<5π4+2πk, k∈ZПри k=0; (π4;5π4), где π4≈0,785, 5π4≈3,925 k=1; ( 9π4; 13π4), где 9π4≈7,065, 13π4≈10,205Натуральные числа, меньшие 10, принадлежащие этим решениям:
1,2,3,8,9.
Ответ:=23.Метод сведения тригонометрического неравенства к простейшим путем введения новой переменной
14.Задание: Решите неравенство: cos2х+3sinх≥-1Решение:
cos2х+3sinх≥-11-sin2х+3∙sinх+1≥02sin2х-3∙sinх-2≤0Замена: sin⁡x=t2t2-3t-2≤02(t+12)∙(t-2)≤0-12≤t≤2 ⇒ -12≤sinx≤2 Правая часть неравенства выполняется для любого значения х. Решим sinх≥-12α1=arcsin-12=-π6α2=π+π6=7π6α1<α2-π6+2πk≤x≤7π6+2πk, k∈ZОтвет: x∈-π6+2πk,7π6+2πk, k∈Z.
15.Задание: Решите неравенство: 1sin2x+ctgx-3<0Решение:
1sin2x+ctgx-3<01+ctg2x+ctgx-3<0ctg2x+ctgx-2<0Замена: ctgx=tt2+t-2<0(t+2)(t-1) <0-2<t<1-2<ctgx<1α1=arctg1=π4α2= arctg-2=π-arctg2α1<α2π4+πk<x< π-arctg2+πk, k∈ZОтвет: x∈(π4+πk,π-arctg2+πk), k∈Z.16.Задание: Решите неравенство: 15cosx+1<11-2cosxРешение:
Замена: cosx=t15t+1<11-2t2t2-9t+4t+1<02t-12t-4t+1<0t<-1 или 12<t<41). t<-1 2). 12<t<4cosx<-1, 12<cosx<4
решений нет cosx>12α1=arccos12=π3α2=-arccos12=- π3α2<α1-π3+2πk<x<π3+2πk, k∈ZОтвет: x∈(-π3+2πk,π3+2πk), k∈Z.
Неравенства вида R(sin2x,cos2x,sinx∙cosx)∨0, где R - рациональная функция, называются однородными неравенства второй степени относительно sinx и cosx. Почленным делением на cos2x или sin2x такие неравенства приводятся к квадратным относительно tgx или ctgx.
17.Задание: Решите неравенство: sin2x+sin2x-3cos2x>0Решение:
Почленно разделим на cos2x . Разобьём решение на 2 случая:
1). cos2x>0sin2x+sin2x-3cos2x>0sin2x+2sinxcosх-3cos2x>0: cos2x>0tg2x+2tgx-3>0Замена: tgx=tt2+2t-3>0(t+3)(t-1) >0a)t<-3 b)t>1tgx<-3 tgx >1
α=arctg-3=-arctg3 α=arctg1= π4- π2+πk<x<-arctg3+πk π4+πn<x<π2+πn, k,n∈Z*
2).Рассмотрим случай cos2x=0Тогда sin2x=1-cos2x=1-0=1, а sin2x=2sinx∙cosх=0Подставим эти значения в исходное неравенство:
1+0-3∙0>0-верно. Значит, случай cos2x=0 удовлетворяет исходному неравенству и включается в ответ.
Ответ: х∈- π2+πk;-arctg3+πk∪π4+πn;π2+πn, k,n∈Z.18.Задание: Решите неравенство: 3sin2х+8sin2х≥7Решение:
3sin2х+8sin2х≥76sinхcosх+8sin2х≥7sin2х+cos2хБудем решать неравенство почленным делением на sin2х.Разобьём решение на два случая: 1)sin2х>0 и 2)sin2х=0.1)sin2х>0 cos2х+6sinхcosх-7sin2х≥0: sin2х>0ctg2x+6ctg x-7≥0Замена: ctgх=t
t2+6t-7≥0(t+7)(t-1) ≥0t≤-7 или t≥1a) t≤-7 ⇒ ctgх≤-7 ⇒ α=arcctg-7=π-arcctg7π-arcctg7+πk≤x<π+πk, k∈Zб) t≥1⇒ctgх≥1α=arcctg1=π4πn<x≤π4+πn, n∈Z2)Рассмотрим случай sin2х=0.Тогда sin2х=2sinхcosх=0, а cos2х=1- sin2х=1.Подставим эти значения в исходное неравенство:
3·0+8>7-верно.Значит случай sin2х=0 удовлетворяет исходному неравенству и включается в ответ.Ответ: х∈π-arcctg7+πk,π+πk∪πn,π4+πn, k,n∈Z Неравенства вида R(tgx, sin2x, cosx)∨0, где R-рациональная функция, с помощью формул универсальной подстановки:
sin2х=2tgх1+tg2х; cos2x=1-tg2х1+tg2хприводятся к рациональным относительно tgx.
19.Задание: Решите неравенство: 2cos2x+ sin2х>tgxРешение:
2∙cos2x+ sin2х>tgx2∙1-tg2х1+tg2х+2tgх1+tg2х>tgxЗамена: tgx=t2∙1-t21+t2+2t1+t2>1t3+2t2-t-2t2+1<0t2t+2-(t+2)t2+1<0t+2(t-1)(t+1)t2+1<0t<-2 или -1<t<1t<-2 tgx<-2α=arctg-2=-arctg2- π2+πk<x<- arctg2+ πk, k ∈Z-1<t<1-1<tgx<1α1= arctg1=π4α2= arctg-1=-π4α2<α1- π4+πn<x<π4+πn, n∈ZОтвет: х∈(-π2+πk;-arctg2+πk∪-π4+πn;π4+πn), k,n∈Z.Метод интервалов
Рассмотрим алгоритм решения тригонометрического неравенства методом интервалов:
1.Приведите неравенство к виду, в котором в одной его части стоит нуль, а другая его часть (например, левая) представлена в виде произведения.
2.Определите нули и точки разрыва функции, стоящей в левой части неравенства.
3.Расставьте на единичной окружности все найденные значения.
4.Определите знак выражения, стоящего в левой части, на любом из полученных промежутков. Для этого:
а)возьмите произвольное число φ из данного интервала и не совпадающее ни с одним из ранее полученных чисел;
б)подставьте число φ в левую часть неравенства и определите знак получившегося выражения;5.Поставьте на этом интервале контрольную точку Х следующим образом:
если выражение получилось больше нуля, то Х ставится вне окружности;
если выражение получилось меньше нуля, то Х ставится внутри окружности.
В приведенных ниже примерах точка Х обозначена звёздочкой*.
6.Начиная с точки Х, проведите плавную линию так, чтобы она проходила через все отмеченные точки последовательно в порядке обхода единичной окружности против часовой стрелки. Пройдя все точки, линия должна вернуться в точку Х.
7.Если серии решений дают кратные корни, то надо помнить, что корень четной кратности не меняет знака выражения, поэтому точка четной кратности не дает возможность волнообразной линии, идущей от точки Х, перейти в иную область.
8.Определие нужные участки конфигурации, которую образовала проведённая линия. Для этого:
а) если выражение, стоящее в левой части неравенства больше нуля, то выбираем участки фигуры, лежащей вне окружности;
б)если выражение, стоящее в левой части неравенства меньше нуля, то выбираем участки фигуры, расположенные внутри единичной окружности.
9.Отметьте стрелками в положительном направлении те дуги единичной окружности, которые принадлежат выбранным участкам.
Эти дуги соответствуют множеству решений неравенства.
20.Задание: Решите неравенство:cosх∙(0,5∙3-sinх)>0Решение:
cosх∙0,5∙3-sinх>0cosх∙(sinх-32)<01) cosх=0 2) sinх-32=0⇒sinх=32х=π2+πk,k∈Z x=(-1)n∙π3+πn, n∈Zk=0 x= π2n=-1 x=(-1)-1∙π3-π=-4π3k=1 x= 3π2n=0 x= π3 n=1 x= (-1)1∙π3+π=2π3n=2 x= (-1)2∙π3+2π=7π3 ∉0,2π-4π3+2π=2π3⇒точки стали совпадать на окружности,значит , мы нашли все значения х. Заполним теперь единичную окружность соответствующими точками.
Поставим контрольную точку, положим φ=0.Тогдаcos0∙sin0-32=-32<0 Кривая знаков ведётся изнутри окружности.
Решению исходного неравенства соответствуют дуги окружности в тех областях, которые отмечены знаком « - ».
При записи окончательного ответа следует иметь в виду, что в одной из областей(она показана пунктирной стрелкой) нарушается переход от меньших значений х к большим.
В таком случае следует к меньшему значению π3 прибавить 2π или от большего зна-чения 3π2 отнять 2π.Окончательное решение можно записать в виде совокупности интервалов.
Ответ: х∈π2+2πk,2π3+2πk∪3π2+2πn,7π3+2πn,k,n∈Z или х∈-π2+2πk,π3+2πk∪π2+2πn,2π3+2πn, k,n∈Z.
21.Задание: Решите уравнение: cos4х+3sinх-sin 4 х=2Решение:
cos4х+3sinх-sin 4 х=2(1-sin2х)2+3sinх-sin 4 х=22sin2х-3sinх+1=0Замена: а= sinх2а2 -3а+1=0
а1=12 ; а2=1.
Вернемся к замене:
1). sinх= 2). sinх=1х=(-1)n∙π6+πn, nϵ Z х=π2+2πk,k∈ Z
Ответ: х=(-1)n∙π6+πn, х= π2+2πk, n,k∈ Z.
22.Задание: Решите уравнение:3tg2x-8cos2х+1=0Решение: Обозначим а= tg2x, тогда cos2х=11+tg2x=11+а3∙а-8∙11+а+1=03а2+4а-7=0а1=1; =-73, посторонний корень,т.к. а≥0.
а= tg2x→ tg2x=1→ tgх=±1х=±π4+πn, n∈ Z.
Ответ: х=±π4+πn, n∈ Z.
В некоторых случаях тригонометрические уравнения можно свести к алгебраическому уравнению относительно тригонометрической функции tgх. Примером таких уравнений могут служить однородные уравнения.
I. Уравнения вида а∙sinkx+b∙coskx=0 a≠0, b≠0, называется однородным уравнением первой степени относительно sinkx иcoskx. Для того, чтобы решить данное уравнение, разделим обе его части на coskx. При этом потери корней не происходит, т.к. если coskx=0, то из уравнения следует, что и sinkx=0, что невозможно, поскольку sin2kx+cos2kx=1. В результате получаем уравнение:
а∙tgkх+b=0.II. Уравнения вида а∙sin2kx+b∙sinkx∙coskx+с∙cos2kx=0 a≠0, называется однородным уравнением второй степени относительно sinkx иcoskx.Разделив обе части уравнения на cos2kx, получим равносильное уравнение видаа∙tg2kx+b∙tgkx+с=0
Рассмотрим примеры однородных тригонометрических уравнений.
23.Задание: Решите уравнение: 2∙sin3х-5∙cos3х=0Решение:
2∙sin3х-5∙cos3х=0 |:cos3х2tg3х-5=0tg3х=523х=arctg52+πn, n∈ Zх= 13 arctg52+πn3, n∈ ZОтвет: х= 13 arctg52+πn3, n∈ Z.
24.Задание: Решите уравнение: sin2x+2∙sinx∙cosx-3∙cos2x=0 Решение: sin2x+2∙sinx∙cosx-3∙cos2x=0 |: cos2х≠0tg2x+2∙tgx-3=0
Замена: а= tgxа2+2а-3=0а1=-3; а2=11). tgx =1 и 2). tgx=-3х= π4+πn, n∈ Z х= - arctg3+ πk,k∈ ZОтвет: х= π4+πn, х= - arctg3+ πk, n,k∈ Z.25.Задание: Решите уравнение: 2∙sin2x+6=13∙sin2xРешение: 2∙sin2x+6∙( cos2 х+sin2х)=13∙2∙sinx∙cosх4sin2x-13∙sinx∙cosх+3∙ cos2 х=0|: cos2х≠04tg2x-13∙tgx+3=0
Замена: а= tgx4а2-13а+3=0а1=3; а2=141). tgx = 14 2). tgx=3х= arctg14+πn, n∈ Z х= arctg3+ πk,k∈ ZОтвет: х= arctg14+πn, х= arctg3 + πk, n, k∈ Z II.5 Метод введения вспомогательного угла
Суть данного метода заключается в том, что некоторую величину представляют как тригонометрическую функцию соответствующего аргумента φ, а затем проводят тригонометрические преобразования. Поясним этот метод на примерах.
26.Задание: Решите уравнение: sinх+3 ∙cosх=1Решение: sinх+3 ∙cosх=1|:212sinх+32∙cosх=12cosπ3∙sinх+sinπ3∙cosх=12sin(х+π3)=12х+π3=(-1)n∙π6+πn, n∈Zх=(-1)n∙π6-π3+πn, n∈ZОтвет: х=(-1)n∙π6-π3+πn, n∈Z.
27.Задание: Решите уравнение: 3cosx+4sinx=5Решение: Так как32+42=25=5, разделим уравнение на 5.35∙cosх+45∙sinх=1Обозначим sinφ=35, cosφ=45 и φ=αrcsin35sinφ∙cosx+cosφ∙sinx=1sinφ+x=1φ+x=π2+2πn, n∈Zx=π2-φ+2πn, n∈Zx= π2-αrcsin35+2πn, n∈ZОтвет: x= π2-αrcsin35+2πn, n∈Z.Рассмотренный способ часто применяется для нахождения максимума и минимума функции вида у=а ∙sinх+в∙cosх+с.
*****Сделав замену α = cos2x; (|α|≤1), получаем квадратное неравенство:
2α2 + 13α – 7 < 0
(α + 7)(2α - 1) < 0

α ∈ -1; 12Тогда исходное неравенство сводится к простейшему тригонометрическому неравенству:
Cos2x < 12
Или cost < 12, если t = 2x.

T∈ П3+ 2Пn; 5П3+ 2Пn;n∈Z2x П3+ 2Пn; 5П3+2Пn; n ∈Z
X∈ П6+Пn; 5П6+Пn;n∈ZОтвет: П6+Пn; 5П6+Пn;n∈Z26. Решите неравенство: cosx+π2sinx-π3tg2- 13 ≥ 0
Решение:
Рассмотрим выражение cosx+π2-1≤cosx≤1
π2≈3,142≈1,57, то есть π2>1Тогда cosx+ π2>0 для всех x
Рассмотрим выражение sinx- π3-1≤sinx≤1
π3≈3,143≈1,05, то есть π3>1Тогда sinx- π3<0 для всех x
cosx+π2sinx-π3 tg2- 13≥ 0
Следовательно, исходное неравенство равносильно:
tg2х- 13≤0
tgx- 13tgx+ 13≤0
- 13≤tgx≤+ 13
x∈-π6+πn;π6+πn; n∈ZОтвет: -π6+πn;π6+πn; n∈Z27. Решите неравенство: sin3x > cos3x.
Решение:
sin3x – cos3x >0
Умножим неравенство на 12, для того чтобы ввести вспомогательный угол π4:
Sin3x∙ 1x – cos3x∙ 12 > 0
Sin3x ∙ cos π4 - cos3x ∙ sin π4 > 0
Sin 3x- π4 > 0
Сделаем замену t = 3x - π4:
Sin t > 0

t ∈ 2πn; π+2πn; n ∈ Z
2πn < 3x – π4 < π + 2πn;n ∈Zπ4+ 2πn <3x < 5π4+2πn; n∈Zπ12+ 2πn3 <x < 5π12+ 2πn3;n∈Zx ∈ π12+ 2πn3; 5π12+ 2πn3; n∈ZОтвет: π12+ 2πn3; 5π12+2πn3; n∈Z28. Решите неравенство: sin3x-cos3xsin3x+cos3x < 0
Решение:
sin3x-cos3xsin3x+cos3x <0sin3x-sinπ2- 3xsin3x+sinπ2- 3x<02sin3x- π2+ 3x2 ∙cos3x+ π2- 3x22sin3x+ π2- 32 ∙cos3x- π2+3x2 <0sin3x- π4∙cosπ4 sinπ4 ∙cos3x- π4 <0tg 3x- π4 < 0
Сделаем замену: t = 3x - π4tgt < 0

t ∈ - π2+ πn; πn;n∈Zπ2 + πn <3x- π4+ πn;n∈Zπ4+ πn <3x < π4+ πn;n∈Zπ12+ πn3 <x<π12+ πn3;n∈Zx ∈ -π12+πn3; π12+ πn3;n∈ZОтвет: -π12+ πn3; π12+ πn3;n∈Z.Занятие 24.
29. Найдите область определения функции y = 1-2sin2xРешение:
y = 1-2sin2xD (y): 1-2sin2x ≥ 0
sin2x ≤ 12sin t ≤ 12 , где t = 2x.

t ∈ -7π6+ 2πn; π6+2πn; n∈Z2x ∈ -7π6+2πn; π6+2πn; n∈Zx ∈ -7π12+πn; π12+πn;n∈ZОтвет: -7π12+πn; π12+πn;n∈Z30. Решите неравенство : sinx1+cos2x<0Решение: sinx1+cos2x<0Так как cos2x≤1, выражение в знаменателе не может быть отрицательным. Тогда исходное равносильно системе:
sinx<0cos2x≠0 ⇒ sinx<02x ≠ π+2πκ; κ∈Z
sinx<0x ≠ π2+πκ; κ∈Z
Для x∈-π;π решением дано системы будет:
x∈(-π;0)x≠±π2

Общее значение:
x∈-π+2πn; -π2+2πn∪-π2+2πn;2πn; n∈ZОтвет: -π+2πn; -π2+2πn∪-π2+2πn;2πn; n∈Z