План-конспект урока по алгебре на тему Сумма n первых членов геометрической прогрессии

План – конспект открытого урока
учителя ГБОУ КК «Средняя общеобразовательная школа – интернат народного искусства для одаренных детей им. В. Г. Захарченко»
Рыбник Татьяны Владимировны
Тема: «Сумма n первых членов геометрической прогрессии»
Класс: 9
Предмет: Алгебра
Дата: 18.02.2017
Тип урока : комбинированный

Цели - систематизировать и обобщить изученный материал о прогрессиях;
научить применять формулу вычисления суммы n- первых членов
геометрической прогрессии.
Задачи:
Обучающие: обучение применению формулы суммы n-первых членов геометрической прогрессии при решении задач, обобщение знаний по теме, проверка применять полученные знания на практике, ознакомление с историческими аспектами данной темы.
Развивающие: развитие кругозора и реализации принципов связи теории и практики, развитие познавательного и прикладного интереса, развитие логического мышления и вычислительной культуры.
Воспитательные: развитие интереса к предмету, воспитание чувства любви к Родине, воспитание ответственного отношения и умения давать себе отчёт.
Оборудование: доска, карточки.
План урока
№ Этап урока Содержание (цель) этапа Время
(мин)
1 Организационный момент Нацелить учащихся на урок 1
2 Проверка домашнего задания Коррекция ошибок 3
3 Устная работа Актуализировать опорные знания 4
4 Исторический обзор Познакомить с легендой о шахматах 4
5 Изучение нового материала Познакомить учащихся с решение задач на нахождение суммы п первых членов геометрической прогрессии 9
6 Тренировочные упражнения Формировать умение решать задачи с помощью уравнения 15
7 Подведение итогов урока Обобщить полученные знания 2
8 Сообщение домашнего задания Разъяснить содержание домашнего задания 2
Ход урока
1. Организационный момент
«Здравствуйте! Садитесь».
Объявить тему урока.
2. Разобрать те номера домашнего задания, которые вызвали затруднения
3. Повторение ранее изученного материала
Задание 1. Заполнить таблицу.
№ Прогрессии Арифметическая (аn) Геометрическая (bn)
1 Определение an+1=an+ d bn+1=bn∙q2 Формула для нахождения
n-го члена an= a1+ (n-1)d bn=b1qn+13 Сумма n- первых членов прогрессии Sn=a1+an2∙n?
Задание 2.
Первый член геометрической прогрессии равен 6, знаменатель равен 2. Найти четвёртый член прогрессии.
а) 12; б) 48; в) 36.
Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии,
если b10 =8, а b12=72?
а) 2; б) 3; в) 9.
Двенадцатый член геометрической прогрессии равен 315, а четырнадцатый член этой прогрессии равен 317. Найдите первый член этой прогрессии.
а) 3; б) 27; в) -27
4. Обзор исторического аспекта новой темы
Карл Гаусс нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи учеником начальной школы.
Шахматы — одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.
Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.
Одну из подобных легенд я и хочу рассказать. Чтобы понять ее, не нужно уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки (попеременно черные и белые).
Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.
Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.
Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.
—Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал,— сказал царь.
Мудрец поклонился.
—Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание,— продолжал царь.— Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.
Сета молчал.
Не робей,— ободрил его царь.— Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.
Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу.
Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.
Повелитель,— сказал Сета,— прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
Простое пшеничное зерно? — изумился царь.
Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна,
за третью 4, за четвертую — 8, за пятую—16, за шестую — 32...
Довольно,— с раздражением прервал его царь.— Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.
Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.
За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.
—Повелитель,— был ответ,— приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.
Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.
Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.
Повелитель,— ответили ему,— математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.
Почему медлят с этим делом?— гневно воскликнул царь.— Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.
Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.
Прежде чем скажешь о твоем деле,— объявил Шерам,— я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.
Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час,— ответил старик. — Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета, Число это так велико...
Как бы велико оно ни было,— надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана...
Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.
С изумлением внимал царь словам старца.
Назови же мне это чудовищное число,— сказал он в раздумье.
18 446 744 073 709 551 615, - назвал число старец.
А давайте попробуем прочитать с вами это число. Вы все изучаете музыку, она вам и поможет.
Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать!
И все-таки, история о шахматах могла закончиться иначе.
Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он мог бы легко, будь он силен в математике, освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить изобретателю самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу. Чтобы отсчитать миллион зерен, понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счета. Чтобы отсчитать себе все зерно изобретателю потребовалось бы примерно 586 549 402 017 лет.
5. Объяснение нового материала
Рассмотрим задачу 1: давайте найдем с вами сумму этих зерен.
Найти сумму
S=1+2+22+ 23+ 24+25+…+263 (⋅ 2) (1)
2S=2+ 22+ 23+ 24+25+26+…+264 (2)
Перепишем равенства (1) и (2) так:
S=1+(2+22+ 23+ 24+25 +…+263) (3)
2S=(2+ 22+ 23+ 24+25+…+263)+264 (4)
Вычтем из равенства (3) равенство (4)
2S – S = 264 - 1
S = 264 - 1=18 446 744 073 709 551 615
Ответ: 18 446 744 073 709 551 615.
Рассмотрим произвольную геометрическую прогрессию
b1, b1q, b1q2,…b1qn ,q≠1
Пусть Sn- сумма n – первых членов геометрической прогрессии:
Sn= b1+ b1q,+b1q2+…+b1qn-1Теорема: Сумма n-первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q≠1 равна
Sn=b1(1-qn)1-qДоказательство:
Sn = b1+b1q+b1q2 + … + b1qn-1Sn = b1+(b1q+b1q2 + … + b1qn-1) (⋅ q)
qSn =b1q+b1q2+…+ b1qn-1 +b1qnВыражения, стоящие в скобках, равны.
Вычтем из верхнего равенства нижнее.
Sn-qSn=b1-b1qnSn(1-q)=b1(1-qn)Sn=b1(1-qn)1-qМожно доказать, что при q = 1 сумма n- первых членов геометрической прогрессии находится по формуле: S=b1∙n.
Рассмотрим задачи на применение формулы нахождения суммы n- первых членов геометрической прогрессии.
Задача 2: Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии
8, 2, … Чему равны b1 и q в этой задаче?
Решение:
По формуле Sn=b1(1-qn)1-q находим: S= 8(1-(14)5)1-14=858.
Ответ: b1 =8, q = 14 , S=1058.
Задача 3: В геометрической прогрессии со знаменателем q = 12 сумма первых шести членов равна 252. Найдите первый член этой прогрессии.
Решение:
Подставим в формулу Sn=b1(1-qn)1-q все известные значения:
252=b1(1-126)1-12252 = 2b1 (1 – 164)
252 = b1 6332b1 =128.
Ответ: 128.
Задача 4: Сумма n- первых членов геометрической прогрессии равна
(- 93). Первый член геометрической прогрессии равен (-3), а знаменатель равен 2. Найти n.
Решение:
Подставим в формулу Sn=b1(1-qn)1-q все известные значения:
- 93= -3(1-2n)1-2-93 = 3(1 - 2n)
-31 = 1 - 2n 2n=25 n=5
Ответ: 5.
6 . Закрепление пройденного материала
Страница 161: № 649 (1;2)
S6=31--261--2=3∙-633=-63;
2) S4=54(1-(23)6)1-23=13309=14779;
7. Проверка знаний учащихся
Найти сумму n членов геометрической прогрессии, если:
Вариант 1: b1=5, q= 2, n=6. Ответ: 315
Вариант 2: b1=-9, q= -2, n=5. Ответ: - 99
Вариант 3: b1=10, q= 1, n=6. Ответ: 600
Вариант 4: b1=4, q= - 1, n=11. Ответ: 4
8. Домашнее задание
Когда и где происходила эта история – неизвестно. Возможно, что и вовсе не происходило; даже скорее всего, что так. Но быль это или
не- быль, история достаточно занятна, чтобы её узнать. Итак, наша история начинается. Встретились как-то богач и бедняк.Бедняк: Сделаем такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная, в первый день я должен по уговору заплатить – смешно вымолвить – всего только одну копейку.
Богач (удивленно). Одну копейку?.Бедняк (уверенно). Одну копейку. За вторую сотню тысяч заплатишь две копейки.
Богач. Ну а дальше?
Бедняк. А дальше: за третью сотню тысяч - четыре копейки, за четвертую – восемь, за пятую – шестнадцать. И так целый месяц, каждый день вдвое больше против предыдущего.
Богач. И потом что?
Бедняк. Все больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор: каждое утро буду носить по сотне тысяч рублей, а ты плати, что сговорено. Раньше месяца кончать не смей.
Богач. Ладно. Неси деньги. Я – то свои уплачу аккуратно. Сам, смотри, не обмани: правильные деньги приноси.
Бедняк. Будь спокоен, завтра с утра жди.Прошел день. Рано утром постучал богачу в окошко тот самый бедняк, которого он повстречал.
Бедняк. Деньги готовь. Я свои принес. Вот мои деньги по уговору. Твой черед платить. Завтра в такое же время жди. Да не забудь, две копейки припаси.
Наутро снова стук в окошко: бедняк деньги принес. Отсчитал сто тысяч, получил свои две копейки, спрятал монету в суму и ушел. Явился бедняк и на третий день – третья сотня тысяч перешла к богачу за четыре копейки. Еще день, и таким же манером явилась четвертая сотня тысяч – за восемь копеек.
Перешла и пятая сотня тысяч - за шестнадцать копеек.
Вопрос: сколько заплатил бедняк и сколько отдал богач за тридцать дней?
Решение:
b1=1, n=30, q=2.
Sn= 1(1-230)1-2=230-1=1 073 741 823.
Ответ:1 073 741 823.
VIII. Итоги урока
Сегодня мы вывели формулу для нахождения суммы n-первых членов геометрической прогрессии, рассмотрели задачи на применение этой формулы, в которых рассматривались способы нахождения всех входящих в неё величин и проверили полученные знания на практике.
Урок окончен. До свидания.