Методические указания к практическому занятию по теме Построение графиков функций

Министерство образования и науки Самарской области
государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Самарский машиностроительный колледж»
Методические указания к практическим работам
дисциплины «Математика»
Тема:
«Построение графиков функций»
Разработал преподаватель математики Еремеева Н.А.
(дисциплина, Ф.И.О.)
Практическая работа
Построение графиков функций
Цель работы
Обобщить изученный материал по теме.
Выработать навык построения графиков функций с помощью производных
Разделы, темы программы, которые необходимо знать при выполнении и сдаче практической работы
Тема 6.5 Признаки постоянства, возрастания и убывания функции. Экстремумы функции
Раздел 6 Производная и её приложения
Краткие теоретические сведения
Общая схема исследования функции:
Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).
Установить, является ли функция чётной или нечётной.
Функция называется четной если и ее график симметричен относительно оси ; если для всех x из данного множества, то функция называется нечетной, и ее график симметричен относительно начала координат.
Найти точки пересечения с осями координат (если это не вызывает затруднений).
Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).
Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.
Вычислить производную функции. Найти критические точки – точки, в которых производная равна нулю или не существует. Определить знак производной на каждом из интервалов слева и справа от критических точек. Где производная положительная, функция монотонно возрастает, а на интервалах, где производная отрицательная – функция убывает.
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
Вычислить вторую производную функции. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Определить знак производной на каждом из интервалов. Где вторая производная положительная, функция вогнута, а на интервалах, где вторая производная отрицательная – функция выпукла. Точки, в которых вторая производная меняет свой знак, являются точками перегиба функции.
Используя полученные сведения, построить график функции.
Этот план исследования функции и построения графика является примерным, его не всегда нужно придерживаться пунктуально: можно менять порядок пунктов, некоторые опускать, если они совсем не подходят к данной функции. В частности, если нахождение точек пересечения с осями координат связано с большими трудностями, то это можно не делать; если функция – четная, то ее график симметричен относительно оси ОУ, поэтому достаточно построить график для положительных значений аргумента, принадлежащих области определения функции и т.п.
Задание
Исследовать функцию по схеме и построить ее график.
Структура отчета
5.1. Номер и название практической работы
5.2. Цель работы
5.3. Задание
5.4. Выполнение работы и оформление отчета по практической работе.
Пример выполнения задания
Исследовать функцию и построить и ее график.
1. Область определения: D(f)=R
2. Исследовать функцию на четность, нечетность.
f(-x)= 3(-x)⁵- 5(-x)³+2= -3x⁵+5x³+2
Функция - общего вида.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
Найдем точку пересечения с осью . Для этого положим , тогда . Если решить уравнение , то получим уравнение пятой степени, и решить его в данном случае не представляется возможным. То есть точки пересечения кривой с осью пока найти не можем.
4. Найдем производную и исследуем функцию на экстремум с помощью производной.

.
Найдем интервалы знакопостоянства производной.
f '(x)=0
x=0, x=1, x=-1 - критические точки функции.
Определим знак производной на каждом из интервалов:
f '(2)=15∙2²(2-1)(2+1)>0, f '(-2)=15∙(-2)²(-2-1)(-2+1)>0,
f '(0,5)=15∙0,5²(0,5-1)(0,5+1)<0, f '(-0,5)=15∙(-0,5)²(-0,5-1)(-0,5+1)<0.

Запишем результаты в таблицу.
(-;-1) -1 (-1;0) 0 (0;1) 1 (1;+)
+ 0 - 0 - 0 +
↗4 ↘ 2 ↘ 0 ↗
maxmin

.
Найдем вторую производную f ''(x)= (15x4-15x2)'=60x3- 30x=30x(2x2-1)
30x(2x2-1)=0
x=0 x=12 ≈0,7 x= - 12≈-0,7Определим знаки второй производной справа и слева от найденных точек:
f ''(-1)= 60∙(-1)3-30∙(-1)<0,
f ''(-0,5)= 60∙(-0,5)3-30∙(-0,5)>0,
f ''(0,5)= 60∙(0,5)3-30∙(0,5)<0,
f ''(1)= 60∙13-30∙1>0,
Найденные точки являются точками перегиба.
Составим таблицу:
x (-∞;-12)-12(-12;0)0 (0;12) 12(12;∞)f ''(x) - 0 + 0 - 0 +
f(x) ∩≈3,25∪2 ∩≈0,75∪f(-12)= 3∙(-12)5 - 5∙(-12)3+2≈3,25
f(12)= 3∙(12)5 - 5∙(12)3+2≈0,75
f(0)=2
Построим эскиз графика функции
701040139065
Список используемой литературы
1 Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних спец. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. - б-е ИЗД., стер. - М.: Высш. шк., 2003. - 495с.
2 Дадаян А.А. Математика: Учебник. - 2-е издание. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М.200б.- 552с. - (Профессиональное образование).
3 Пехлецкий И.Д. Математика: Учеб. для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / Игорь Дмитриевич Пехлецкий . - 2-е ИЗД., стереотип. - М.: Издательский центр «Академия», 2003. - 304с.
4 Конспект лекций
Настоящая методическая разработка
6http://interneturok.ru/ru/school/algebra
Приложение
Варианты индивидуальных заданий
Вариант 1
Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график
y = 16x³ - x² + 23Вариант 2
Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график
у= 13x³ - x
Вариант 3
Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график
y=x³- 6x²+9x-3
Вариант 4
Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график
y= -x⁴+2x²+3
Вариант 5
Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график
y =- 13x³ +12 x² + 1
Вариант 6
Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график
y=x³+ 6x²+9x+8
Вариант 7
Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график
у=x³ - 3x
Вариант 8
Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график
у=-x³+ x
Усложненные варианты
Вариант 9
Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график
y = x²-1x²+1Вариант 10
Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график
y = x9+x²Вариант 11
Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график
y = xx²+1Вариант 12
Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график
y = 3x²x²+1