Методические указания к практическому занятию по теме Нахождение неопределенных интегралов способом подстановки

Практическая работа
Нахождение неопределенных интегралов способом подстановки
Цель работы
Выработка умений и навыков в вычислении неопределенных интегралов способом подстановки.
Разделы, темы рабочей программы, которые необходимо знать при выполнении и сдаче практической работы
Раздел 1 Математический анализ
Тема1.1 Дифференциальное и интегральное исчисления
Краткие теоретические сведения
Совокупность всех первообразных функций называется неопределенным интегралом от f(x). Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение

где С - произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла
Пусть f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f, а, k, C - постоянные величины. Тогда справедливы равенства:


Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.
Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула
(1)
Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле.
4. Задания
4.1 Изучить методические указания к выполнению практической работы
4.2 Выполнить индивидуальное задание
4.3 Оформить отчет по практической работе
5. Структура отчета
5.1 Номер и наименование практической работы
5.2 Цель работы
5.3 Задание
5.4 Выполнение работы
6. Пример выполнения работы
Упражнение 1.
Вычислить
4xdx(x2-6)5Пусть t=x2-6, тогда
dt=(x²-6)'dx,
dt=2xdx,
dx=dt2xПодставим найденные значения в интеграл:
4xdxx2-65=4xdt2xt5=2dtt5=2t-5dt=2t-4-4+C=1-2t4+C==-1(x2-6)⁴+CУпражнение 2.
Вычислим cos2x dx .
Пусть t=2x.
Тогда dt=(2x)'dx,
dt=2dx,
dx = dt2cos2x dx= cost dt2= 12 cost dt= 12sint+C=12sin2x+CУпражнение 3.
Вычислить: Пусть t= sinx, тогда
dt=(sinx)'dxdt=cosx dtdx= dtcosx
Подставим найденные значения в интеграл:
sin2xcosx dx= t2cosx dtcosx=t2dt=t33+ C=sin3x3+ CРекомендуемая литература
Дадаян А.А. Математика: Учебник – 2-е издание.- М.: Форум: Инфра.-М.2006- 552 с. (Профессиональное образование)
Григорьев В. П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: Учебник для студентов учреждения среднего профессионального образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2004- 320 с.
Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник – М.: Министерство, 2001 – 304 с.
Конспект лекций
Настоящая методическая разработка
Приложение 1
Варианты практической работы
Вариант 1
Вычислить интегралы:
(5x-7)⁵dxxsin²x²dxsin(12x+1)dx2x6+x²dxex2+exdxax³x²dxsinx(1+cosx)²dxВариант 2
Вычислить интегралы:
(4-8x)³dxdxsin²5xxsin(x2-4)dxctgxdxdxxlnxecosxsinxdxx³(1+x⁴)³dxВариант 3
Вычислить интегралы:
(7-8x)⁴dxx³cosx⁴dxdxcos²4xdxxlnxx2x²+3dxe2x²+1xdxsinxcos²xdxВариант 4
Вычислить интегралы:
(9-2x)⁵dxx²cos²x³dxcos(2x+3)dxx1+x²dxsinx1+2cosxdxex³+1x²dxx(1+x²)²dx