Методические указания к практическому занятию

Методические указания к практическому занятию
Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение.
1.Цель работы.
Обобщить изученный материал по теме.
1.2. Выработать умение применять формулы преобразования в решении примеров.
Разделы и темы рабочей программы, которые необходимо знать при выполнении и сдаче практической работы.
Разделы 5. Тригонометрические функции числового аргумента. Темы: «Значение тригонометрических функций некоторых углов», «Тригонометрические функции суммы и разности аргументов», «Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов», «Преобразование суммы и разности тригонометрических в произведение»
Краткие теоретические сведения
Значение углов некоторых тригонометрических функций.

Основные тригонометрические формулы
cos2x+sin2x=1; tg x=sinxcosx;
ctg α=cosxsinx; tg x∙ctg x=1;
1+tg2x=1cos2x; 1+ctg2x=1sin2x.
Формулы сложения аргументов
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsinysin(x-y)=sinxcosy-cosxsinycos(x+y) = cosx cosy - sinx sinycos(x-y) = cosx cosy +sinx siny tgx+y=tgx+tgy1-tgxtgy tgx-y=tgx-tgy1+tgxtgy Формулы квадратов тригонометрических функций.
sin2x = 1 - cos2x
2
cos2x = 1 + cos2x
2
Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов.
sin2x=2sinxcosxcos2x=cos2x-sin2xtg2x=2tgx1-tg2xsin2x2=1-cosx2cos2x2=1+cosx2cosα - cosβ   =  -2sin α + β  ∙ sinα - β
2 2
Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение.
sinα + sinβ   =  2sin α+β  ∙ cosα-β
2 2
cosα + cosβ   =  2cos α+β  ∙ cosα-β
2 2
sinα - sinβ   =  2sin α - β  ∙ cosα+β
2 2
ctgα + ctgβ   =   sin(α + β)
sinα sinβ
tgα - tgβ   =   sin(α - β)
cosαcosβ
tgα + tgβ   =   sin(α + β)
cosα cosβ
ctgα - ctgβ   =  –  sin(α - β)
sinα sinβ
Пример выполнения работы
4.1. Вычислить cos15°+cos75°Решение: Применяя формулу суммы косинусов, находим
cos15°+cos75°=2cos15°+75°2cos15°-75°2=2cos45°cos-30°. Так как косинус - четная функция, то cos-30°=cos30°. Следовательно, 2cos45°cos30°=222∙32=62.
4.2. Преобразовать в произведение sin7x-sin5xsin7x+sin5xРешение. Применяя формулы суммы и разности синусов, получим
sin7x-sin5xsin7x+sin5x=2sin7x-5x2∙cos7x+5x22sin7x+5x2∙cos7x-5x2=sinxcos6xsin6xcosx=tgxctg6x.4.3. Преобразовать в произведение sin45°+x-sin45°-x.
Решение. Сначала найдем сумму и разность аргументов:
45°+x+45°-x=45°+x+45°-x=90°45°+x-45°-x=45°+x-45°+x=2xИспользуя формулу разности синусов, находим sin45°+x-sin45°-x=2sinxcos45°=2∙22sinx=2sinx.
4.4. Преобразовать в произведение 1+2cosx.
Решение. Вынесем за скобки множитель 2, а за тем представим 12 как cos60°:
1+2cosx=212+cosx=2(cos60°+cosx).
Применяя формулу суммы косинусов, получим
2cos60°+cosx=2∙2cos60°+x2cos60°-x2=4cos30°+x2cos30°-x2.
4.5. Доказать тождество sin25x-sin23x=sin8xsin2x.
Решение. Находим sin25x-sin23x=1-cos10x2-1-cos6x2=2sin8xcos2x2=sin8xsin2xПриложение 1
Варианты индивидуальных заданий
Вариант 1
Вычислите:
sin60°+sin40°;
cos5π12-cosπ12;
Преобразуйте в произведение:
12+cosx;sin75°+sin15°sin75°-sin15°Докажите тождество:
sinx+sin3xcosx+cos3x=tg2xВариант 2
Вычислите:
cos10°+cos40°;
sinπ12+sin7π12;
Преобразуйте в произведение:
1-2sinx;cos6x-cos4xcos6x+cos4xДокажите тождество:
sinx-sinycosx-cosy=-ctgx+y2.
Рекомендуемая литература
1 Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних спец. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. - б-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2003. - 495с.
2 Дадаян А.А. Математика: Учебник. - 2-е издание. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М.200б.- 552с. - (Профессиональное образование).
3 Пехлецкий И.Д. Математика: Учеб. для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / Игорь Дмитриевич Пехлецкий . - 2-е ИЗД., стереотип. - М.: Издательский центр «Академия», 2003. - 304с.
4 Соловейчик И. Л. Лисичкин В. Т. Сборник задач по математике для техникумов: М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2003.-464 с.: ил.