Презентация по геометрии на тему Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии и их простейшие свойства (1 курс, 1 семестр)
Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.Черных А.А., преподаватель математики и информатики, ОГБПОУ «Ангарский медицинский колледж»
Основные фигуры в пространстве.A, В, С, D, …ТОЧКАПРЯМАЯABa, b, c, d, …ПЛОСКОСТЬ
Стандартные обозначения:перпендикулярностьпараллельностьпересечение равно, есть, совпадение «Если… то», «следовательно»«принадлежит», «лежит на»«не принадлежит», «не лежит»любой, любаясуществует
Аксиома (от греч. Axioma – признание, общепризнанное положение) – это математическое предложение, которое принимается без доказательства.Теорема (от греч. teoreo – рассматриваю, обдумываю) – это математическое предложение, которое надо доказать или опровергнуть.Предложение, непосредственно вытекающее из теоремы или аксиомы, называется следствием.
Аксиомы планиметрии:Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Аксиомы планиметрии:II. Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Аксиомы планиметрии:III. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Аксиомы планиметрии:IV. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.
Аксиомы планиметрии:V. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 1800. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Аксиомы планиметрии:VI. На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
Аксиомы планиметрии:VII. От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 1800, и только один.
Аксиомы планиметрии:VIII. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
Аксиомы планиметрии:IX. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
Аксиомы стереометрии.С1 : Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
Аксиомы стереометрии.С2 : Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Аксиому С2 моделирует пересечение двух смежных стен. В этом случае две стены – модели плоскостей и они пересекаются по прямой. Ka
Аксиомы стереометрии.С3 : Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
Аксиома С3 используется часто на практике. Когда плотнику надо распилить брус пилой, он, чтобы наметить плоскость распила, прочерчивает по двум смежным граням бруса прямые AB и AC и затем пилит так, что полотно пилы идет по этим прямым.ACB
Следствия из аксиом С1 С2 С3 ТЕОРЕМА 1.1 : Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.
Следствия из аксиом С1 С2 С3 ТЕОРЕМА 1.2 : Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
На теореме 1.2 Основана проверка плоскости с помощью контрольной линейки. Линейку устанавливают ребром на проверяемой плоскости в различных направлениях и смотрят, нет ли просвета.
Следствия из аксиом С1 С2 С3 Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.
Следствия из аксиом С1 С2 С3 ТЕОРЕМА 1.3 : Через три точки, не лежащие на одной прямой можно провести плоскость, и притом только одну.
На теореме 1.3 Основано устройство некоторых приспособлений:Штатив для фотоаппарата. Острия ножек штатива (точки) A, B, C принадлежат одной плоскости ,поэтому фотоаппарат занимает устойчивое положение.Дверь можно рассматривать как модель плоскости, две петли и замок – модели трех точек. Если дверь не закрыта на замок, то она может вращаться на петлях (две точки), а закрытая на замок (третья точка) – занимает определенное положение.ABCABACACAB
Следствия из аксиом С1 С2 С3 ТЕОРЕМА 1.4 : Плоскость разбивает пространство на два полупространства. Если точки X и Y принадлежат одному полупространству, то отрезок XY не пересекает плоскость. Если точки X и Y принадлежат разным полупространствам, то отрезок XY пересекает плоскость.XXYY
Плоскость можно определить:Тремя точками A, B, C:Точкой A и прямой a:Пересекающимися прямыми a и b:
Решение задач
Прочитать:
Записать кратко:Прямая a пересекает плоскость в точке M:2) Плоскости и пересекаются по прямой a:
Прочитать и кратко записать то, что дано на чертеже:Cp1p2Nk
Заполните пропуски:Через три … можно провести … и только …;2) Через две пересекающиеся … можно провести …; 3) Через прямую и …, лежащую вне ее, можнопровести …; Через три точки, не принадлежащие одной прямой можно провести плоскость и только одну; Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и только одну; Через прямую и точку, лежащую вне ее, можно провести плоскость и только одну;
СДЕЛАЙТЕ ВЫВОД:
Четыре точки не принадлежат одной плоскости. Могут ли три из них принадлежать одной прямой?Если три из четырех точек принадлежат одной прямой, то через прямую и четвертую точку можно провести плоскость, а это противоречит условию.НЕТ
Даны пять точек, никакие четыре из них не принадлежат одной плоскости. Сколько можно провести плоскостей через данные точки?Анализ. Положение плоскости определяют три точки, не лежащие на одной прямой. Все данные точки последнему условию удовлетворяют. Остается подсчитать, сколько можно составить из пяти данных точек комбинаций, беря их по три.
Решение: Пусть даны точки A, B, C, D, E. Составим из них комбинации, беря по 3 точки. Для этого будем брать две точки и присоединять к ним остальные. Берем точки A и B:DEABC
Решение: Берем точки A и C:DEABC
Решение:DEABC Берем точки A и D:
Решение:DEABC Берем точки B и C:
Решение:DEABC Берем точки B и D:
Решение:DEABC Берем точки C и D: Итак, получили 10 плоскостей.
а) две плоскости, содержащие прямую DE , прямую EFб) прямую, по которой пересекаются плоскости DEF и SBC; плоскости FDE и SAC ;в) две плоскости, которые пересекает прямая SB; прямая AC .АСВSDFEПользуясь данным рисунком, назовите:
а) Две плоскости, cодержащие прямую DE. б) Прямую по которой пересекаются плоскости АЕF и SBC.в) Плоскость, которую пересекает прямая SB.SВАСFE DПользуясь данным рисунком, назовите:
SВАСFE Dа) Две плоскости, cодержащие прямую EF.б) Прямую по которой пересекаются плоскости BDЕ и SAC.в) Плоскость, которую пересекает прямая AC.Пользуясь данным рисунком, назовите:
Вопросы для самоконтроля.Что такое стереометрия?Назовите основные фигуры в пространстве.Сформулируйте три аксиомы стереометрии.Сформулируйте теорему о существовании плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку.Обоснуйте пересечение прямой с плоскостью.Сформулируйте теорему о существовании плоскости, проходящей через три данные точки.Расскажите о разбиении пространства плоскостью на два полупространства.
Домашнее задание:Теоретическая часть: §1 стр.3 – 11, вопросы на стр. 10.2. Практическая часть: Разобрать письменно решение задач:Задача 7 на стр.6Задача 9 на стр. 7Задача 13 на стр. 8
Литература:Основная: Учебник Геометрия. 10-11 классы: учеб для общеобразоват. Учреждений: базовый и профил. Уровни/А.В. Погорелов. – 9-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 4175 с.: ил.2. Дополнительная:http://fcior.edu.ru/card/2450/osnovnye-ponyatiya-stereometrii-aksiomy-stereometrii-sushchestvovanie-ploskosti-prohodyashchey-cherez-dannuyu-pryamuyu-i-dannuyu-tochku-i1.htmlhttp://fcior.edu.ru/card/10859/osnovnye-ponyatiya-stereometrii-aksiomy-stereometrii-sushchestvovanie-ploskosti-prohodyashchey-cherez-dannuyu-pryamuyu-i-dannuyu-tochku-p1.htmlhttp://fcior.edu.ru/card/4138/osnovnye-ponyatiya-i-aksiomy-stereometrii-sushchestvovanie-ploskosti-prohodyashchey-cherez-dannuyu-pryamuyu-i-dannuyu-tochku-p2.htmlhttp://fcior.edu.ru/card/7996/osnovnye-ponyatiya-stereometrii-aksiomy-stereometrii-sushchestvovanie-ploskosti-prohodyashchey-cherez-dannuyu-pryamuyu-i-dannuyu-tochku-k1.htmlhttp://fcior.edu.ru/card/1747/osnovnye-ponyatiya-i-aksiomy-stereometrii-sushchestvovanie-ploskosti-prohodyashchey-cherez-dannuyu-pryamuyu-i-dannuyu-tochku-k2.html