Подготовка к ОГЭ. Графики с модулем.

Подготовка к ОГЭПостроение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля. Построение графиков функций вида y=|f(x)|. 1) Для f(x) ≥ 0, |f(x)| = f(x) 2) Для f(x) < 0, |f(x)| = -f(x) Симметричное отображение части графика из нижней полуплоскости в верхнюю относительно OxПо определению модуля, выражение y=|f(x)| равносильно системе f(x), если f(х)0, Y= -f(x), если f(x)<0.y = |x2 – 8x + 12|.

Построение графика функции вида y=f(|x|).Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со значением для y(x), поэтому данная функция четная. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy. По определению модуля, выражение y=f(|x|) равносильно системе f(x), если х≥0,у= f(-x), если х<0.Строим график функции y=f(x) для x ≥ 0 и симметрично отображаем график относительно Oy для отрицательных x. y = x2 – 8|x| + 12.

Построение графика функции вида Y=|f(X)|+|G(x)|.Для построения графика функций такого вида нужно найти нули каждой функции под знаком модуля и нанести их на координатную прямую. На каждом из полученных промежутков необходимо раскрыть модули по определению, т.е. в зависимости от знака функции под модулем на данном промежутке. Затем нужно построить каждую из полученных функций у на их области определения; полученный график - искомый.y = |x + 1| – |x – 2|.Пример 3. 3, при x ≥ 2;y = 2x – 1, при -1 ≤ x < 2. -3, при x < -1;

Построения графиков функций видаy = a1|x – x1| + a2|x – x2| + … + an|x – xn| + ax + b.Заметим, что в предыдущем примере графиком является ломаная, с вершинами в точках, имеющих абсциссы -1 и 2. При x = -1 и x = 2 подмодульные выражения равны нулю. Графиком функции вида y = a1|x – x1| + a2|x – x2| + … + an|x – xn| + ax + b является ломаная с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все ее вершины (абсциссы вершин есть нули подмодульных выражений) и по одной контрольной точке на левом и правом бесконечных звеньях.Пример 4.y = |x| + |x – 1| + |x + 1|

Построение графика функции вида Y=|||f(x)|+a|+b| («вложенные модули»).Для построения графика такой функции необходимо: сначала построить график функции внутреннего модуля(у=|f(x)|) потом преобразовать его в график у=||f(x)|+a|затем - в график у=|||f(x)|+a|+b| т.е. последовательно раскрывать модули, начиная с внутреннего.y = |2 – |1 – |x|||. Пример 5.Запишем цепочку последовательных преобразований:y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Построение графика функции вида y=g(х)|f(x)|.Если g(X)=a, то у=а|f(x)|. Тогда график функции у=а|f(x)| можно получить из графика функции у=|f(x)|его сжатием в а раз к оси у, если а>1;его растяжением в 1/а раз к оси у, если 1<a<0;симметрией относительно оси х, если а<0. Построение графика функции вида y=g(х)|f(x)|.Если g(x)a, тонаходим нули функции под модулем и наносим их на координатную прямую.раскрываем модуль на получившихся промежутках по определению и перемножаем функции.Нуль функции f(x)=|х| х=0 делит координатную прямую на два промежутка - (-;0) и[0;+); на каждом из них раскроем модуль: х2+2x, если х0,У= -(х2+2х), если х<0.Пример 6. у=|х|(х+2).

Построение графика функции вида |y|=f(x).По определению модуля, выражение |у|=f(x) равносильно системе y, если y0,f(x)= -y, если у<0. Значит, чтобы построить график функции |у|=f(x), необходимо сначала построить график функции у=f(x), его часть, расположенную выше оси Х, оставить без изменений и , отбросив часть, расположенную ниже оси Х, отобразить симметрично относительно оси Х. Пример 7. Построение графиков функций вида |y|=f(|x|).Сначала построим график y=f(|x|), потом график функции |y|=f(|x|).

Построение графиков функций вида |y|=|f(x)|.сначала построим график y=|f(x)| потом |y|=|f(x)|