Открытый урок по алгебре на тему Показательная функция, ее график и свойства (11 класс)
Открытый урок по алгебре и началам анализа
по теме "Показательная функция, ее свойства и график". 11-й класс
Тема урока Показательная функция.
Цели урока
Образовательная - закрепить знания, умения и навыки учащихся в чтении графика показательной функции, применении свойств функции при решении уравнений и неравенств, вывести правило нахождения области значения показательной функции, систематизировать ЗУН учащихся в решении тригонометрических уравнений.
Развивающая – формировать такую мыслительную операцию как анализ.
Воспитательная – воспитывать потребность в объективной оценке результатов, умение работать в группе.
Тип урока
: комбинированный.
Оборудование:
наглядные пособия (рисунки), раздаточный материал, проектор.
Ход урока
Повторение ранее изученного материала
СЛАЙД 2 (подготовка к итоговой аттестации)
Три ученика на доске записывают решение заданий:
Решить уравнение
1) 4sin2 x – 1 = 0
Решение:
sin2 x =1/4
x = ± arcsin + n, nЄZ
x = ± /6 + n, nЄZ
Ответ: ±/6 + n, nЄZ 2) 4cos2 x -1 = 0
Решение:
cos2 x = 1/4
x = ± arccos + n, nЄZ
x = ± /3+ n, nЄZ
Ответ: ± /3+ n, nЄZ
3) найти корни уравнения на заданном отрезке:
2sin x + =0 [0; 2]
Решение:
sin x = -/2
x = (-1)k+1 /4 + k, k Є Z
k - чётное
x = - /4 + k, k Є Z
0 - /4+ k 2
/4 k 2 + /4
1/4 k 9/4
k = 1; 2
если k = 1, то x = 3/4
если k = 2, то x = 7/4
Ответ: {/4; 3/4; 5/4; 7/4} k - нечётное
x = /4 + k, k Є Z
0 /4+ k 2
- /4 k 2 -/4
- 1/4 k 7/4
k = 0; 1
если k = 0, то x = ?/4
если k = 1, то x = 5/4
СЛАЙДЫ 3-4
Какие свойства функции вы знаете? (область определения, область значений, монотонность, четность/нечетность, ограниченность, непрерывность, выпуклость, экстремумы)Какие преобразования графика функции вы знаете? (параллельный перенос вдоль оси Ох и Оу, растяжение/сжатие вдоль оси Ох и ОУ, симметрия относительно оси Ох и Оу)
Работа с классом:
СЛАЙД 5
В практике часто используются функции у = 2х и у = 0,5х, у = 10х и у =0,1х и т.д. функция вида у = ах, где а – заданное число, х – переменная.
СЛАЙД 6
Давайте построим график функции у = 2х по точкам.
Для этого необходимо что сделать? (построить таблицу значений).
На прошлых уроках мы говорили, что степень с основанием 2 существует при любом показателе степени, значит, при построении графика функции мы можем соединять точки на координатной плоскости сплошной линией (таблицу заполнить , отметить точки на координатной плоскости).
Аналогично построим график функции у = 0,5х (3 слайд).
СЛАЙД 7
Дать определение показательной функции.
Функция у = ах, где а>0 и а 1 называется показательной, а ее график – экспонентой.
Почему накладывается условие а > 0 и а 1?
График любой функции у = ах при а > 1 имеет вид (на слайде слева), а график любой функции у = ах при 0 < а < 1 имеет вид (на слайде справа).
Перечислим свойства этой функции, заполним таблицу (первую половину заполняет учитель, вторую – ученик).
СЛАЙД 8
Описать свойства функции, изображённой на графике:
Область определения функции, область значения функции, промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, нули функции, наибольшее и наименьшее значения, экстремумы, ограниченность.
СЛАЙД 10-11
Радиоактивный распад описывается формулой m m(t)=m0(½)t/T
m(t) и m0 – масса радиоактивного вещества соответственно в момент времени t=0, Т – период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое).
Пример. Период полураспада плутония равен 140 суткам. Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная масса равна 8г?
Решение: Воспользуемся данной формулой. В данной задаче t=10·365 (считаем что в году 365 дней), Т=140. t/Т = 365/14. Ответ: через десять лет плутония останется примерно 1,13·10-7.
СЛАЙД 12
№ 453 (устно) [1].
Укажите, какая из данных функций является возрастающей, какая – убывающей на множестве R:
а) ;б) ;
в) ;г)
Описать алгоритм построения графика функции:
а) у=3x + 2
Решение:
Алгоритм:
у = 3x (пунктиром ось Ох)
у=3x + 2 (переносим ось Ох на 2 единицы вниз)
б) у=3x-2 – 2
Решение:
Алгоритм:
1. у = 3x (пунктиром ось Ох и ось Оу)
2. у=3x-2 (переносим ось Оу на 2 единицы влево)
3. у=3x-2 – 2 (переносим ось Ох на 2 единицы вверх)
в) у=|3x-2 - 2|
Решение:
Алгоритм:
1. у = 3x (пунктиром ось Ох и ось Оу)
2. у=3x-2 (переносим ось Оу на 2 единицы влево)
3. у=3x-2 – 2 (переносим ось Ох на 2 единицу вверх)
4. у=|3x-2 - 2| (та часть графика, которая находится ниже оси Ох, зеркально отображается вверх)
Все учащиеся выполняют построение графиков функций в тетрадях, один ученик изображает графики функций на отдельном листе и показывает классу.
Проверяется работа учащихся у доски.
Исследовательская работа
(работа в группах)
I. Дать определение области значения функции.
II. Назвать область значения функций:
а) у = 3x,
б) у = -3 x,
в) у = (1/5) x,
г) у = (-1/4) x
д) у = 3 x – 2.
III. Дана функция: у = а x ± b. Вывести правило,по которому можно, не выполняя построение графика данной функции, найти область значения функции.
Класс делится на 2 группы, каждая группа выполняет задание:
1 группа. Построить графики функций и сделать вывод: Как найти О.З. функции у = а x + b?
a) у = 3 x,
б) у = 3 x + 6,
б) у = 3 x + 6,
в) у = 3 x + 5,
г) у = 3 x + 2,
д) у = а x + b.
Изменится ли область определения данных функций?
2 группа. Построить графики функций и сделать вывод: Как найти О.З. функции
у = а x - b.
a) у = 3 x, б) у = 3 x - 6, б) у = 3 x -6, в) у = 3 x - 5, г) у = 3 x - 2, д) у = аx - b.
Изменится ли область определения данных функций?
Учащиеся делают вывод:
Если у = а x + b, то Е (у) = (b; ), Д (у) = ( ; )
Если у = а x - b, то Е (у) = (-b; ), Д (у) = ( ; )
Закрепление темы:
(применяется кодоскоп)
1. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции: у = 2 x + 4
1) 5; 2) 2; 3) 3; 4) 4
Решение: т.к. Е (у)= (4; ), то верный ответ 1) 5.
Ответ: 1)
2. Решить уравнение:
3x = (х-1) 2 + 3
1) 7; 2) 1; 3) -3; 4) 19
Решение: применяем функциональный метод решения уравнений:
т.к. данная система имеет единственное решение,то методом подбора находим х=1
Ответ: 2)
3. Решить неравенство:
а) сos x 1 + 3x
Решение:
Ответ: ( ; )б) соs х 1 + 3x
Решение:
нет решений
Ответ: решений нет.
4.Самостоятельная работа учащихся:
№ 1348. Найти область значений функции:
a)
б)
в)
г)
№1350. Решить уравнение:
а)
б)
в)
г)
№1352. Решить неравенство:
а)
б)
в)
г) [2]
Итог урока:
Учитель с учащимися подводят итоги урока.Выставляются оценки.
Домашнее задание:
№1354. Решить неравенство:
а)
б)
в)
г) [2]
№ 454. Найти область значений функции:
а)
б)
в)
г) [1]
№ 458. Решить уравнения:
а)
б)
в)
г) [1]
Литература
Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11кл./ под ред. А.Н. Колмогорова.- М. Просвещение, 2002.
Алгебра и начала анализа: Задачник, часть 2, для 10-11кл./ под ред. А.Г. Мордковича.- М. Мнемозина, 2002.