Исследовательский проект. Выполнила ученица 8-Б класса Ковина Алина.Руководитель проекта Чумакова Г.В.
Общеобразовательная школа
І-ІІІ ступеней № 2 города Кировское
Эти загадочные уравнения
(исследовательский проект)
Выполнила:
ученица 6-Б класса
Ковина Алина
Руководитель проекта:
учитель математики
Чумакова Г.В.
г.Кировское, 2013 г.
Цель:
изучение способов решения уравнений
углубление математических знаний
развитие представлений о математике как о языке
описания окружающего мира
Задачи:
изучить литературу и систематизировать материал по данной теме
исследовать свойства преобразований уравнений
выявить основные доступные способы решения уравнений
выработать навыки поисково-исследовательской работы
Методы:
изучение учебной и справочной литературы
систематизация изученного материала
классификация уравнений по способам их решения
поисково-исследовательская работа
Объект исследования:
Уравнения
Предмет исследования:
Способы решения уравнений
Актуальность:
Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить выражение, которым оно удовлетворяет. Так получают уравнение для определения неизвестной величины. Кто и когда придумал уравнения? Кто ввёл неизвестные величины? Как решаются уравнения? Эти вопросы, думаю, интересны многим, в том числе и мне.
Содержание.
1.Вступление.
Актуальность проблемы изучения способов решения
уравнений 4
2. Исторические сведения..5
3. Что мне было известно про уравнение из начальной
школы 9
3.1. Что такое уравнение...9
3.2. Решение простейших уравнений ... 11
4. Что я нового узнала об уравнении в 5 классе из школь –
ного учебника13
5. Что я нового узнала об уравнении из дополнительной
литературы ...19
5.1. Тайное становится явным (исследование) 20
5.2. Способы решения уравнений.. 22
а) Решение уравнений с помощью правила
нахождения неизвестной компоненты..22
б) Решение уравнений методом весов...23
в) Решение уравнений методом проб и ошибок...24
г) Решением уравнений методом перебора...25
6. Математические фокусы...27
7. Задания для моих одноклассников..32
8. Заключение39
9. Список использованной литературы. 41
1.Введение.
Актуальность проблемы
Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить выражение, которым оно удовлетворяет. Так получают уравнение для определения неизвестной величины. Слова уравнение и равенство имеют один и тот же корень. Да, и на самом деле, уравнение – это равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти.
Уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники.
Решению уравнений уделялось всегда большое внимание. В древности считалось, что уравнения связаны с какой – то тайной, которую нужно разгадать, найдя значение неизвестной величины. Людей, которые могли решать уравнения, считали мудрецами, посвященных в эту тайну. Так как уравнения были связаны с решением житейских проблем.
В IX веке арабский учёный аль – Хорезми написал книгу, в которой указал некоторые приёмы решения уравнений, тем самым показал, что любой грамотный человек, следуя его указаниям, может решить уравнение. В своём труде он отмечает: «это необходимо людям при дележе наследств, составлении завещаний, разделе имущества и в судебных делах, в торговле и всевозможных сделках, а также при измерении земель, проведении каналов, в инженерном искусстве и прочих разновидностях подобных дел».
В начальной школе я научилась решать самые простые уравнения, в пятом классе, мы уже решаем более сложные уравнения, а в старших классах я научусь решать разные виды уравнений: линейные, квадратные, рациональные и иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические. Существует целая наука алгебра, которая изучает различные виды уравнений и способы их решения. С алгеброй, как учебным предметом, мне предстоит встретиться только в седьмом классе.
Но мне не захотелось ждать седьмого класса. Из дополнительной литературы я узнала много нового интересного и загадочного об уравнениях. Поэтому тема моего проекта «Эти загадочные уравнения».
2.Исторические сведения
Кто и когда придумал первое уравнение?
Первобытная мама сорвала с дерева 12 яблок, чтобы дать поровну каждому из своих четырёх детей. По всей вероятности, она не умела считать не только до 12, но даже и до 4 и уж, несомненно, не умела делить одно число на другое. Но поделила она, если этого хотела, поровну, поступая так. Сначала она дала каждому ребёнку по одному яблоку, потом ещё по одному, снова по одному – и тут увидела, что и яблок больше нет, и никто из детей не обижен. Если записать эту историю на современном языке, то получится вот что.
Пусть х - количество яблок, доставших каждому ребёнку. Детей было четверо, значит, 4х – общее количество яблок. По условию это количество составляет 12, отсюда:
4х = 12,
следовательно, х = 3.
Получается, что мама решила задачу на составление уравнения, обойдясь без букв, цифр и ещё каких либо знаков. Но ведь решила! Значит, ответить на вопрос о том, кто, где и когда решил первое уравнение, невозможно.
Задачи, которые довольно просто мы сегодня можем решить при помощи уравнений, решали хорошо обученные науке мудрецы, чиновники и жрецы ещё в Древнем Вавилоне и Древнем Египте, Древнем Китае, Древней Индии и Древней Греции.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние учёные владели какими-то общими приёмами решения задач с неизвестными. Однако ни в одном папирусе, ни на одной глиняной табличке не дано описание приёмов. Авторы лишь изредка снабжают выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты верно нашёл!»
В те времена не было ещё общепринятых теперь обозначений неизвестных буквами, а действий – знаками. Древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначающее неизвестное число, но так как у них не было ещё знаков равенства и знаков действий (вроде наших плюса, минуса), то записывать уравнения они, конечно, не умели. Уравнения записывались словами.
Но и в такой «словесной форме» уравнения существенно облегчали решение задач.
Первым придумал обозначение для
неизвестных греческий математик
Диофант, живший в III веке.
Посредством уравнений, теорем
Он уйму всяких разрешал проблем.
И засуху предсказывал, и ливни –
Поистине его познанья дивны.
Р. Госер
Его книга «Арифметика» содержала большое количество интересных задач, её изучали математики всех поколений. Книга сохранилась до наших дней и переведена на русский язык.
Во времена Диофанта языком науки был греческий. Но греки ещё не знали цифр и обозначали числа при помощи букв своего алфавита. Первые девять букв: 13 EMBED Equation.3 1415обозначали числа от 1 до 9; следующие девять:13 EMBED Equation.3 1415обозначали числа от 10 до 90; наконец, следующие девять: 13 EMBED Equation.3 1415обозначали числа от 100 до 900. чтобы не ошибиться и не принять число за слово, над буквами, обозначающими число, ставилась чёрточка. Букв в алфавите было 28, одна из них была особой – она обозначалась 13 EMBED Equation.3 1415(сигма концевая), ставилась только в конце слов и числового значения не имела. Вот ею-то Диофант и стал обозначать неизвестную величину, так же как мы обычно обозначаем её буквой х.
Придумав это, Диофант стал двигаться дальше. И вместо слова «получится» или «равняется» стал писать13 EMBED Equation.3 1415 - две первые буквы слова13 EMBED Equation.3 1415 («исос» - равный). Диофант придумал знак и для вычитания – им служила буква 13 EMBED Equation.3 1415(пси), только перевёрнутая. А без знака сложения Диофант обходился довольно просто – слагаемые записывал рядом друг с другом. Придумал Диофант и два основных приёма решения уравнений – перенос неизвестных в одну сторону уравнения и приведение подобных членов. С этими приёмами я познакомлюсь при изучении математики в 6 классе.
Первым руководством по решению уравнений,
получившим широкую известность, стал труд
арабского учёного IX века Мухаммеда Бен Мусса
аль -Хорезми.
Об аль – Хорезми известно лишь, что он написал
ряд трудов по астрономии и географии. И самое
главное – он написал сочинение, которое по-
арабски называется «Китаб аль-джебр валь-
мукабала» (Книга о восстановлении и
противопоставлении). Это сочинение оказало большое влияние на развитие математики в Европе, а само слово «аль-джебр», входившее в название книги, постепенно стало названием науки – алгебра. Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.
Аль-Хорезми одним из первых стал обращаться с уравнениями так, как торговец обращается с рычажными весами. Пусть, например, имеется равенство 5х – 16 = 20 – 4х. Считая, что оно задаёт равновесие некоторых грузов на чашах весов, торговец вправе заключить, что равенство не изменится, если он на обе чаши добавит одно и то же количество:
было 5х – 16 = 20 – 4х,
добавил + 16 +16,
стало 5х = 36 – 4х.
После этой операции прибавления одинаковых количеств число 16 исчезло из левой части исходного равенства, зато со знаком плюс оно возникло (восстановилось) в правой части. Точно так же на обе чаши весов можно добавить одно и то же количество 4х:
было 5х = 36 – 4х.,
добавил +4х + 4х,
стало 9х = 36.
Опять из правой части равенства выражение 4х пропало, а в левой части оно восстановилось со знаком плюс. Из полученного простого равенства 9х = 36 уже легко вычислить, что х = 4.
Взгляд на уравнение как на равенство грузов на весах, на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным. Равные количества можно не только прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать из них. Равенство не нарушится и тогда, когда обе части умножаются или делятся на одно и то же число (если оно не нуль). Главный принцип: если над равными количествами произвести одинаковые действия, то в результате снова получатся равные количества –
стал своеобразной «волшебной палочкой», которую обнаружили вдумчивые читатели руководства аль-Хорезми.
В сочинении аль-Хорезми неизвестные величины, так же как и преобразования уравнений, выражались словесно. Он совсем не использовал никаких букв и символов, кроме обозначения цифрами чисел. Алгебра совсем без букв, всё на словах, всё в уме. Такая алгебра – её историки науки называют риторической (риторика – искусство красноречия) – требовала большого мастерства и была очень трудной.
Очень трудно стало тогда, когда люди научились решать более сложные уравнения и не только с одним неизвестным.
Новый великий прорыв в решении уравнений связан с именем французского учёного XVI века Франсуа Виета. Он первым из математиков ввёл буквенные обозначения для неизвестных величин. А традицией обозначать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита (х, у или z) мы обязаны соотечественнику Виета – Рене Декарту.
Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы»
С.Коваль
Сезам – заклинание в арабской сказке, силой которого раскрывалась тайная сокровищница.
3.Что мне было известно про уравнение из начальной школы
1) Что такое уравнение
В учебнике «Математика – 4, часть 2» в разделе «Справочный материал» на странице 92 про уравнение можно прочитать следующее:
« Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Неизвестное число в таком равенстве обозначают латинской буквой (например, х, а, b и др.). Решить уравнение – значит найти такое значение буквы, чтобы равенство стало верным. Например: 15 + х = 18 – уравнение.
х = 3 – решение уравнения, так как
15 + 3 = 18 – верное равенство».
Если же взять учебник «Математика – 5», то в п.10 на страницах 58-59 мы прочтём про уравнение почти то же самое.
Задача. На левой чашке весов лежит арбуз и гиря в 2 кг, а на правой чашке – гиря в5 кг. Весы находятся в равновесии. Чему равна масса арбуза?
Решение. Обозначим неизвестную массу арбуза буквой х. так как весы находятся в равновесии, то должно выполняться равенство х + 2 = 5.
Нужно найти такое значение х, при котором выполняется это равенство. По смыслу вычитания таким значением будет разность чисел 5 и 2, то есть 3.
Значит, масса арбуза равна 3 кг. Пишут: х = 3.
Если в равенство входит буква, то равенство может быть верным при одних значениях этой буквы и неверным при других её значениях.
Например, равенство х + 2 = 5 верно при х = 3 и неверно при х = 4.
И в других учебниках математики и алгебры мы встретим похожие определения.
Таким образом, уравнение характеризуется двумя свойствами, которые легко определить на глаз, по внешнему виду: 1) уравнение – это равенство; 2) в этом равенстве есть буква.
Окончив начальную школу, я знала, что такое уравнение и как решаются простейшие уравнения. В 5 классе большое внимание уделяется решению уравнений. Из пунктов 10, 12 и 14 учебника «Математика 5» я получила еще дополнительные знания.
Задача. На левой чашке весов лежит арбуз и гиря в 2 кг, а на правой чашке – гиря в5 кг. Весы находятся в равновесии. Чему равна масса арбуза?
Решение. Обозначим неизвестную массу арбуза буквой х. так как весы находятся в равновесии, то должно выполняться равенство х + 2 = 5.
Нужно найти такое значение х, при котором выполняется это равенство. По смыслу вычитания таким значением будет разность чисел 5 и 2, то есть 3.
Значит, масса арбуза равна 3 кг. Пишут: х = 3.
Если в равенство входит буква, то равенство может быть верным при одних значениях этой буквы и неверным при других её значениях.
Например, равенство х + 2 = 5 верно при х = 3 и неверно при х = 4.
Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.
Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения. (Например, корнем первого уравнения х + 2 = 5 является число3).
Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).
И в других учебниках математики и алгебры я встретила похожие определения уравнения.
Таким образом, уравнение характеризуется двумя свойствами, которые легко определить на глаз, по внешнему виду: 1) уравнение – это равенство; 2) в этом равенстве есть буква.
2) Решение простейших уравнений
Пример 1. Решим уравнение х + 37 = 85.
Решение. По смыслу вычитания неизвестное слагаемое равно разности суммы и другого слагаемого.
Поэтому х = 85 – 37 , то есть х = 48.
Число 48 является корнем уравнения х + 37 = 85, потому что
48 + 37 = 85.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
Пример 2. Решим уравнение у – 94 = 18.
Решение. По смыслу вычитания у является суммой чисел 18 и 94. Значит,
у = 18 + 94, то есть у = 112.
Число 112 является корнем уравнения у – 94 = 18, так как верно равенство
у – 94 = 18.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.
Пример 3. Решим уравнение 91 – z = 36.
Решение. По смыслу вычитания число 91 является суммой z и 36 , то есть z + 36 = 91. Из этого уравнения находим неизвестное слагаемое: z = 91 – 36, то есть z = 55.
Число 55 является корнем уравнения 91 – z = 36, так как верно равенство 91 – 55 = 36.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
Пример 4. Решим уравнение 35х = 175.
Решение. По смыслу деления имеем: х = 175 : 35, то есть х = 5.
Число 5 является корнем уравнения 35х = 175, так как верно равенство
3513 EMBED Equation.3 14155 = 175.
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на другой множитель.
Пример 5. Решим уравнение у : 8 = 16.
Решение. По смыслу деления у – произведение множителей 8 и 16. Значит, у = 1613 EMBED Equation.3 14158, то есть у = 128.
Число 128 является корнем уравнения у : 8 = 16, так как верно равенство
128 : 8 = 16.
Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
Пример 6. Решим уравнение 252 : z = 21.
Решение. По смыслу деления число 252 – произведение множителей 21 и z , то есть 21z = 252. Применяя правило нахождения неизвестного множителя, находим: z = 252 : 21, то есть z = 12.
Число 12 является корнем уравнения 252 : z = 21, так как верно равенство 252 : 12 = 21.
Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
При решении этих уравнений использовала правила нахождения неизвестных компонентов арифметических действий (слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя).
Компонент - слово латинского происхождения, на русский язык переводится как составляющая часть, элемент чего-либо.
По этим правилам мы решаем уравнения, начиная со второго класса.
4.Что я узнала об уравнении
в 5- м классе из школьного учебника
Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.
Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения. (Например, корнем первого уравнения х + 2 = 5 является число3).
Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).
В пятом классе уравнения и задачи на составление уравнений стали сложнее. При решении уравнений кроме способа нахождения неизвестного компонента, мы использовали еще второй способ, при котором упрощали выражение, стоящее в левой части уравнения, используя свойства сложения, вычитания и умножения.
Рассмотрю несколько заданий из нашего учебника «Математика – 5».
№ 375. Решите двумя способами уравнение:
а) (х + 98) + 14 = 169; б) (35 + у) – 15 = 31 .
Решу первое уравнение двумя способами:
1) сначала найду неизвестное слагаемое х + 98:
х + 98 = 169 – 14,
х + 98 = 155,
а потом найду слагаемое х: х = 155 – 98,
х = 57.
2) сначала упростим выражение, стоящее в левой части уравнения, используя сочетательное свойство сложения
х + (98 + 14) = 169,
х + 112 = 169,
а затем найду неизвестное слагаемое х:
х = 169 – 112,
х = 57.
Ответ: 57.
Решу второе уравнение двумя способами:
1) сначала найду неизвестное уменьшаемое 35 + у:
35 + у = 31 + 15,
35 + у = 46,
а потом найду слагаемое у: у = 46 – 35,
у = 11.
2) сначала упростим выражение, стоящее в левой части уравнения, используя свойство вычитания:
(35 + у) – 15 = 31,
(35 – 15) + у = 31,
20 + у = 31,
а затем найду неизвестное слагаемое у:
у = 31 – 20,
у = 11.
Ответ: 11.
№ 504. Решите уравнение:
а) (х + 155) – 35 = 145;
б) 168 – (98 + z) = 65;
в) (853 + у) – 53 = 900.
Решу уравнения вторым способом, то есть, упрощу левую часть, используя свойства вычитания, а потом найду неизвестный компонент.
а) (х + 155) – 35 = 145,
х + (155 – 35) = 145,
х + 120 = 145,
х = 145 – 120,
х = 25. Ответ: 25.
б) 168 – (98 + z) = 65,
(168 – 98) – z = 65,
70 – z = 65,
z = 70 – 65,
z = 5. Ответ: 5
в) (853 + у) – 53 = 900,
(853 – 53) – у = 900,
800 – у = 900,
у = 900 – 800,
у = 100. Ответ: 100.
№ 647. Решите уравнение:
а) 3х + 5х + 96 = 1568;
б) 357z – 149z – 1843 = 11469;
в) 2y + 7y + 78 = 1581.
Используя распределительное свойство умножения относительно сложения, упрощу левую часть первого и третьего уравнения, а распределительное свойство умножения относительно вычитания для второго и получу более простые уравнения.
а) 8х + 96 = 1568;
б) 208z – 1843 = 11469;
в) 9y + 78 = 1581.
После этого найду неизвестные компоненты: слагаемое, вычитаемое и множитель.
а) 8х + 96 = 1568,
8х = 1568 – 96,
8х = 1472,
х = 1472 : 8,
х = 144. Ответ: 144.
б) 208z – 1843 = 11469,
208z = 11469 + 1843,
208z = 13312,
z = 13312 : 208,
z = 64. Ответ: 64.
в) 9y + 78 = 1581,
9у = 1581 – 78,
9у = 1503,
у = 1503 : 9,
у = 167. Ответ: 167.
№ 1107. Решите уравнение:
а) (327х – 5295) : 57 = 389; б) (27х + 11) 13 EMBED Equation.3 1415 315 = 11970.
Уравнения буду решать первым способом, то есть нахождение неизвестного компонента.
а) (327х – 5295) : 57 = 389;
сначала найду неизвестное делимое 327х – 5295:
327х – 5295 = 38913 EMBED Equation.3 141557,
327х – 5295 = 22173,
а потом найду уменьшаемое 327х:
327х = 22173 + 5295,
327х = 27468,
а затем неизвестный множитель х:
х = 27468 : 327,
х = 84. Ответ: 84.
б) (27х + 11) 13 EMBED Equation.3 1415 315 = 11970;
сначала найду неизвестный множитель 27х + 11:
27х + 11 = 11970 : 315,
27х + 11 = 38,
а потом найду слагаемое 27х:
27х = 38 – 11,
27х = 27,
а затем неизвестный множитель х:
х = 27: 27,
х = 1. Ответ:1.
Еще в пятом классе я научилась решать задачи с помощью уравнений.
Решу три задачи из нашего учебника.
Рассмотрю решение двух задач.
· 580. Для школы купили 220 столов и стульев, причем стульев – в 9 раз больше, чем столов. Сколько столов и сколько стульев купили?
Решение. Пусть столов купили х штук, тогда стульев – 9х штук. Всего купили (х + 9х) штук, или 220. Получила уравнение: х + 9х = 220. Решу его.
х + 9х = 220,
10 х = 220,
х = 220 : 10,
х = 22.
---------------------------------------------------------
Купили 22 стола, тогда стульев –
2213 EMBED Equation.3 14159 = 198 .
Ответ: 22 стола и 198 стульев.
№ 699. Решите задачу:
Бронза содержит (по массе) 41 часть меди, 8 частей олова и 1 часть цинка. Какова масса куска бронзы, если в ней олова меньше, чем меди на 132г?
Решение. Пусть масса одной части бронзы х г. Тогда масса меди 41 х г, масса олова 8х г, а цинка – х г. Масса куска бронзы будет (41х + 8х + х) г =
= 50х г. По условию задачи масса олова меньше массы меди на 132 г. Получу уравнение: 41х – 8х = 132. Решу его.
41х – 8х = 132,
33х = 132,
х = 132 : 33,
х = 4.
-----------------------------------------------------------
Масса одной части бронзы равна 4 г.
Найду массу куска бронзы – 4 13 EMBED Equation.3 141550 = 200(г).
Ответ: масса куска бронзы 200 граммов.
№ 1597(1). Решите задачу.
Первое число в 2,4 раза больше третьего, а второе число на 0,6 больше третьего числа. Найдите эти три числа, если их среднее арифметическое равно 2, 4.
Решение. Пусть третье число равно х, тогда 2,4х – первое число, а второе х + 0,6 . Среднее арифметическое этих чисел (2,4х + х + 0,6 + х) : 3 по условию задачи равно 2,4. Составлю уравнение и решу его.
(2,4х + х + 0,6 + х) : 3 = 2,4,
(4,4х + 0,6) : 3 = 2,4,
4,4х + 0,6 = 2,413 EMBED Equation.3 14153,
4,4х + 0,6 = 7,2,
4,4х = 7,2 – 0,6,
4,4х = 6,6,
х = 6,6 : 4,4,
х = 1,5.
-----------------------------------------------------------------
1,5 – третье число, тогда 1,5 + 0,6 = 2,1 –
второе число
и 1,513 EMBED Equation.3 14152,4 = 3,6 – первое число.
Ответ: 3,6; 2,1 и 1,5.
Я провела маленькое исследование вместе с учениками нашего класса, и мы убедились, что в учебнике «Математика – 5» достаточно много заданий, связанных с решением уравнений.
Это задания первого вида: «Решите уравнение», «Угадайте корни уравнения» или «Найдите корни уравнения» и задания второго вида: «Решите задачу с помощью уравнения», «Придумайте задачу по уравнению», «Решите задачу».
Уравнения
Задачи
№
372, 374, 375, 376, 379, 380, 395, 396, 439, 442, 445, 446, 462, 464, 482, 483, 485, 487, 490, 491, 496, 504, 505, 523, 524, 525 , 551, 568, 569, 570, 574, 576, 592, 593, 614, 615, 635, 639, 647, 660, 707, 727, 878, 1018, 1022, 103
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·9, 15 97, 1647, 1669, 1755, 1756, 1757, 1758, 1760, 1838, 1839, 1840.
Всего 75 номеров
Всего 80 номеров
То есть, 155 номеров всех заданий учебника, а их 1849, связаны с решением уравнений, то есть 13 EMBED Equation.3 1415 = 0, 083 829.13 EMBED Equation.3 1415 8,4%.
Но если учесть, что в данном учебнике первое задание, связанное с решением уравнения начинается с номера 372, то 1849 – 371 = 1478 и
13 EMBED Equation.3 1415 = 0, 10 48713 EMBED Equation.3 1415 10%.
Теперь можно сделать вывод, что после изучения темы « Уравнение», каждое 10-е задание учебника требует умений решать уравнения. И это еще раз подчеркивает важность изучения темы «Уравнение»
5. Что я узнала об уравнении из дополнительной литературы.
Чтобы ответить на все вопросы, которые я ставила в начале проекта, мне пришлось познакомиться с дополнительной литературой: школьными учебниками, математическими справочниками и детскими энциклопедиями.
1.Тайное становится явным
(исследование)
Представьте, что в очень лёгком практиче ски невесомом кошельке содержится какое-то количество монет одинакового достоинства. Как узнать, сколько монет в кошельке, не за глядывая внутрь? Есть очень простой способ: положим кошелёк на одну чашу рычажных ве сов и уравновесим его монетками на другой чаше. Сколько монет для этого потре буется столько же их и в кошельке.
В кошельке семь монет.
Весы - испытанный измерительный инструмент продавцов, химиков и аптекарей приходит на помощь и в чуть более сложном случае.
На левой чаше находящихся в равновесии весов лежат кошелёк с неизвестным числом монет и ещё 5 монет рядом с ним, а на правой чаше 15 точно таких же монеток. Для того чтобы узнать, сколько монет в кошельке, снимем по 5 монет с обеих чаш равновесие при этом не нарушится.
Следовательно, внутри кошелька 10 монет
Взгляд на уравнение как на равенство грузов на весах, на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным.
В своём сочинении об уравнениях арабский учёный аль – Хорезми замечает, что равные количества можно не только прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать из них. Равенство не нарушится и тогда, когда обе части умножаются или делятся на одно и то же число, если оно не равно нулю.
Главный принцип: если над равными количествами произвести одинаковые действия, то в результате снова получатся равные количества – стал своеобразной «волшебной палочкой», которую обнаружили вдумчивые читатели руководства аль – Хорезми.
Попробую и я воспользоваться этой палочкой, и насколько мне позволяют знания, исследовать и доказать, что аль – Хорезми был прав.
Рассмотрю это на простом уравнении.
2х + 28 = 66,
2х = 66 – 28,
2х = 38,
х = 38 : 2,
х = 19.
Проведу исследования и узнаю, на самом ли деле значение х = 19, останется везде одинаковым.
Прибавлю к обеим частям уравнения число 12, получу новое уравнение
2х + 28 + 12 = 66 + 12,
воспользуюсь правилом, что два соседних слагаемых можно заменять их суммой, тогда
2х + 40 = 78,
2х = 78 – 40,
2х = 38,
х = 38 : 2,
х = 19.
2) Вычту из обеих частей уравнения 16,
2х + 28 – 16 = 66 - 16,
(2х + 28) – 16 = 50,
чтобы найти неизвестное уменьшаемое (2х + 28) нужно к разности прибавить вычитаемое
2х + 28 = 50 + 16,
2х + 28 = 76,
2х = 76 – 28,
2х = 38,
х = 38 : 2,
х = 19.
Умножу обе части уравнения на 3,
(2х + 28) 13 EMBED Equation.3 14153= 6613 EMBED Equation.3 14153,
воспользуюсь правилом, что при умножении суммы на число можно на него умножить каждое слагаемое в отдельности и полученные результаты сложить.
2х 13 EMBED Equation.3 14153 + 28 13 EMBED Equation.3 14153 = 198,
применю правило, что от перестановки множителей произведение не изменяется, и получу
3 13 EMBED Equation.3 14152х + 84 = 198,
6х + 84 = 198,
6х = 198 – 84,
6х = 114,
х = 114 : 6,
х = 19.
4) Разделю обе части уравнения на 2,
(2х + 28) : 2 = 66 : 2,
Чтобы разделить сумму на число, можно разделить каждое слагаемое и полученные результаты сложить
2х : 2 + 28 :2 = 66 : 2,
х + 14 = 33,
х = 33 – 14,
х = 19.
Вывод: значение корня не изменится, если :
·- к обеим частям уравнения прибавить или отнять одно и то же число;
- обе части уравнения умножить или разделить на число, неравное нулю.
Эти правила применяются для решения уравнений методом весов.
2. Способы решения уравнений.
Из дополнительной литературы я узнала о некоторых способах решения уравнений, с которыми я разобралась, и они оказались мне понятными.
а) Решение уравнений с помощью правила нахождения неизвестного компонента.
Решение уравнений этим методом я подробно рассматривала в главе «Что я узнала в пятом классе об уравнении», поэтому на нем не буду останавливаться.
б) Решение уравнений методом весов.
Решение уравнений методом весов я рассматривала в главе «Исторические сведения». Вспомним суть этого метода.
Пусть, например, имеется равенство 5х – 16 = 20 – 4х.
Считая, что оно задаёт равновесие некоторых грузов на чашах весов, торговец вправе заключить, что равенство не изменится, если он на обе чаши добавить одно и то же количество:
было 5х – 16 = 20 – 4х,
добавил + 16 +16,
стало 5х = 36 – 4х.
После этой операции прибавления одинаковых количеств число 16 исчезло из левой части исходного равенства, зато со знаком плюс оно возникло (восстановилось) в правой части. Точно так же на обе чаши весов можно добавить одно и тоже количество 4х:
было 5х = 36 – 4х.,
добавил +4х + 4х,
стало 9х = 36.
Опять из правой части равенства выражение 4х пропало, а в левой части оно восстановилось со знаком плюс. Из полученного простого равенства 9х = 36 уже легко вычислить, что х = 4.
Решу несколько уравнений таким методом.
а) 3х – 4 = х + 2, б) 6х + 9 = 2х + 33,
+ 4 + 4, из обеих частей уравнения отнимем
3х = х + 6, по 2х и 9, получим уравнение
- х - х, 4х = 24,
2х = 6, х = 24 : 4,
х = 6 : 2 , х = 6.
х = 3. Проверка. 6 13 EMBED Equation.3 14156 +9 = 2 13 EMBED Equation.3 14156 + 33,
Проверка. 9 – 4 = 3 + 2, 36 + 9 = 12 + 33,
5 = 5. 45 = 45.
Ответ: х = 3. Ответ: х = 6.
в) 4х – 9 = 2х + 11, г) 8х – 10 = 5х + 8,
из обеих частей уравнения из обеих частей уравнения
отнимем по 2х и прибавим 9, отнимем по 5х и прибавим 10,
получим уравнение получим уравнение
2х = 20, 3х = 18,
х = 20 : 2, х = 18 : 3,
х = 10. х = 6.
Проверка. 4 13 EMBED Equation.3 141510 – 9 = 2 13 EMBED Equation.3 141510 + 11, Проверка. 8 13 EMBED Equation.3 14156 – 10 = 513 EMBED Equation.3 14156 + 8,
40 – 9 = 20 + 11, 48 – 10 = 30 + 8,
31 = 31. 38 = 38.
Ответ: х = 10. Ответ: х = 6.
Уравнения такого вида мы научимся решать в 6 классе, используя правила преобразования выражений, а пока их можно решать методом весов.
в) Решение уравнений методом проб и ошибок
а) Решите уравнение х (х + 3) = 70.
Никакие известные нам правила не помогают найти решение этого уравнения. Попробуем тогда подобрать решение «экспериментально», так называемым методом проб и ошибок.
Нам надо найти такое число х, чтобы значение выражения х13 EMBED Equation.3 1415(х + 3) было равно 70. Попробуем подставить в это выражение, например, х = 4:
4 (4 + 3) = 28.
Мы видим, что выбранное число х слишком мало.
Возьмём теперь х = 6:
6 (6 + 3) = 54,
и снова выбранное значение мало, хотя ближе к искомому.
А следующая попытка оказывается удачной: при х = 7, имеем
7 (7 + 3) = 70.
Значит, при х = 7 данное в условии равенство верно.
Казалось бы, уравнение уже решено, но это не так: ведь может оказаться, что буквенное выражение равно 70 при разных значениях букв. Поэтому нужны некоторые дополнительные рассуждения. Если бы число х было больше 7, то число х + 3 было больше 10, и тогда произведение оказалось бы больше 70. Точно так же число х не может быть меньше 7, иначе произведение будет меньше 70. Следовательно, среди натуральных чисел, есть только одно решение этого уравнения.
Ответ: х = 7.
Решу еще несколько уравнений.
б) х (18 – х) = 80.
х =3. 3 (18 – 3) = 313 EMBED Equation.3 141515 = 45.
х = 5. 5 (18 – 5) = 513 EMBED Equation.3 141513 = 65.
х = 8. 8 (18 – 8) = 813 EMBED Equation.3 141510 = 80.
Итак, решением уравнения является число 8. Это уравнение отличается от первого уравнения. Если в первом уравнении при увеличении первого множителя, увеличивается и другой, то во втором, первый множитель увеличивается, а второй при этом уменьшается. Поэтому вполне возможно, что еще есть число, которое меньше 18 и обращает уравнение в верное равенство.
х =10. 10 (18 – 10) = 1013 EMBED Equation.3 14158 = 80.
Ответ: х = 8, х = 10.
в) х(х – 4) = 32.
Здесь сразу видно, что х больше 4.
х = 6. 6 (6 – 4) = 613 EMBED Equation.3 14152= 12.
х = 8. 8 (8 – 4) = 813 EMBED Equation.3 14154 = 32.
Здесь как в первом случае, х может быть равен 8. Так как если увеличивать х, брать его больше 8,то будет увеличиваться и произведение, если брать меньше 8, то произведение уменьшится.
Итак, метод проб и ошибок позволяет найти ответ даже в случае, если уравнение представляет собой новый, не изученный ещё объект. Однако при использовании этого метода следует всегда помнить о том, что подбор одного решения не гарантирует полноты решения. Поэтому требуется дополнительное обоснование того, что найдены все возможные решения, и ни одно не пропущено.
г). Решение уравнений методом перебора.
При решении уравнений методом проб и ошибок мы видели, что простой подбор одного неизвестного числа не даёт уверенности в том, что найдены все искомые значения. В этом состоит существенный недостаток метода проб и ошибок.
Указанного недостатка лишен другой метод решения уравнений – метод полного перебора. При поиске неизвестного числа полным перебором рассматриваются все мыслимые возможности: если мы упустим хотя бы одну, то может оказаться, что именно она и даёт решение уравнение.
Полный перебор требует, как правило, больших усилий и большого времени. Однако внимательный анализ условия часто позволяет найти систему перебора, охватывающую все возможные варианты, но более короткую, чем просто перебор всех чисел по - порядку.
Например, глядя на уравнение х (х + 3) = 54, можно заметить, что его натуральные корни должны быть делителями числа 54. Значит, х может принимать лишь значения: 1, 2, 3,6, 9, 18, 27, 54. Подставляя эти числа вместо буквы х в уравнение, находим единственный корень х = 6.
Решим еще одно уравнение методом перебора.
х (х – 3) (7 - х) = 20.
Делители числа 20 – 1, 2, 13 EMBED Equation.3 14154, 5, 10, 20.
Можно проанализировать и сделать вывод, что среди натуральных решений могут быть только числа большие 3, но меньшие 7. такими числами будут 4 и 5. проверим это.
х = 4, 4( 4 – 3) (7 – 4) = 413 EMBED Equation.3 1415 113 EMBED Equation.3 14153 = 12.
х = 5, 5(5 – 2)(7 – 5) = 513 EMBED Equation.3 14152 13 EMBED Equation.3 1415 2 = 20.
х= 5 – корень уравнения.
Если бы мы не делали анализа, то нам нужно было проверить все 6 чисел. А если число имеет много делителей, то перебор вариантов может оказаться слишком громоздким. Не всегда удаётся подобрать корни уравнения, и тем более доказать единственность решения. Может оказаться, что среди натуральных чисел решения нет, а среди других чисел оно есть.
Именно поэтому математики всегда стремились найти общие решения различных классов уравнений. Сегодня известны формулы корней общего вида для линейных, квадратных и других видов уравнений. Их нам предстоит изучить в курсе алгебры старших классов.
6. Математические фокусы.
В этом разделе я хочу показать, как с помощью уравнений отгадывать математические загадки и показывать математические фокусы.
Основной темой математических фокусов являются угадывание задуманных чисел или результатов действий над ними. Весь секрет фокусов в том, что "отгадчик" знает и умеет использовать особые свойства чисел, а задумавший этих свойств не знает.
Математический интерес каждого фокуса и заключается в разоблачении его теоретических основ, которые в большинстве случаев довольно просты, но иногда бывают хитро замаскированы.
Рассмотрю один из математических фокусов. Фокусник предложил каждому из публики задумать число. Потом он сказал: «Прибавьте к задуманному числу 5. Теперь из результата вычтите 2. Теперь к результату прибавьте 7». Потом фокусник спросил у желающих, какое число получилось. Услышав ответ, он немедленно объявил каждому, какое число тот задумал.
Этот фокус легко разгадать, если умеешь составлять и решать уравнения. Слева я запишу задания «фокусника», а справа - выражения, которые он мысленно при этом составляет.
Задумайте число. Обозначаю его буквой х. Прибавьте к нему число 5. Получается число х + 5. Из результата вычтите 2. Получается (х + 5) – 2. К результату прибавьте 7. Получается ((х + 5) – 2) + 7. Скажите ваш результат. Допустим, он равен 17.
Приравнивая составленное выражение ((х + 5) – 2) + 7 к 17, получаю уравнение.
((х + 5) – 2) + 7 = 17,
Упростим левую часть уравнения, воспользовавшись свойствами сложения и вычитания: ((х + 5) – 2) + 7 = (х + (5 – 2)) + 7 = (х + 3) + 7 = х + (3 + 7) = х + 10.
Уравнение теперь получилось совсем простое : х + 10 = 17. Задуманное число х = 17 – 10, х = 7.
Такие фокусы нетрудно придумать и самому.
Например, эти два фокуса я придумала сама.
1.Задумайте число, утройте его. Прибавьте к результату 10, а затем вычтите 1. Скажите, сколько получилось? А я скажу, какое число вы задумали (нужно от названного числа отнять 9 и результат разделить на 3).
2. Задумайте число, прибавьте к нему 15, затем вычтите 7 и прибавьте задуманное число. Скажите, сколько получилось? А я скажу, какое число вы задумали (нужно от названного числа отнять 8 и результат разделить на 2).
ОТГАДЫВАНИЕ ЗАДУМАННЫХ ЧИСЕЛ
Удивительной для непосвященных кажется, способность отгадывать задуманное другим число. Но если вы узнаете секреты математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать новые.
Вы просите товарища задумать любое число, затем отнять от него 1, результат умножить на 2, из произведения вычисть задуманное число и сообщить вам результат. Прибавив к нему число 2, вы отгадаете задуманное. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения (x-1)2 – x, где x – задуманное число. Раскрыв скобки, и выполнив действия, мы получим, что это выражение равно x-2. Если ответ равен 23, то задумано число 21. Чтобы угадать задуманное число нужно от результата отнять 2.
Можно провести много интересных фокусов на отгадывание чисел, задуманных играющими. Приводим несколько примеров. Задумать можно любое число, кроме нуля.
1. Задумайте число. Умножьте его на 3. К полученному прибавьте 6. Полученное разделите на 3. Скажите, сколько получилось?
Решение. (3х + 6) : 3 = х + 2. Чтобы получить задуманное число, нужно от названного числа отнять 2.
2. Задумайте число. Умножьте его на 4. Из полученного вычтите 3. Полученное умножьте на 3, К полученному прибавьте 5. Полученное
разделите на 4. К полученному прибавьте 1. Скажите, сколько получилось?
Решение. ((4х – 3)13 EMBED Equation.3 14153 + 5) : 4 + 1 = (12х – 9 + 5) : 4 + 1 = ( 12х – (9 – 5)) : 4 + +1 = (12х – 4) : 4 + 1 = 3х – 1 + 1 = 3х – (1 – 1) = 3х – 0 = 3х. Чтобы получить задуманное число, нужно названное число разделить на 3.
3. Задумайте число. Прибавьте к нему 3. Умножьте полученное на 6. Отнимите от полученного 3. Вычтите из полученного результата задуманное число. Полученное разделите на 5. Скажите”, сколько получилось?
Решение.( ( х + 3) 13 EMBED Equation.3 1415 6 – 3 – х ) : 5 = ( 6х + 18 – 3 – х) : 5 = ( 5х + 15) : 5 = х + 3 . Чтобы получить задуманное число, нужно от названного числа отнять 3.
4. Задумайте любое число. Удвойте его. К полученному прибавьте 3. Полученное число умножьте на задуманное. От полученного результата отнимите задуманное. Полученное разделите на удвоенное задуманное число. Скажите, сколько получилось? Чтобы получить задуманное число, надо от названного числа отнять 1.
5. Задумайте число. Отнимите 1. Остаток удвойте. Прибавьте первоначальное число. Скажите результат. Я назову задуманное число. Чтобы получить задуманное число, надо к названному числу прибавить 2 и разделить на 3.
6. Задумайте число. Умножьте его на 12. Результат разделите на 2. Полученное число умножьте на 5. Результат разделите на 3. Результат разделите на задуманное число. К результату прибавьте задуманное число. Скажите результат. Я назову задуманное число. Чтобы получить задуманное число, надо от названного числа отнять 10.
ОТГАДЫВАНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ ЧИСЕЛ
В этой игре отгадчик не должен угадывать задуманное играющим число. Он должен назвать число, которое получится у него в результате ряда арифметических действий, не зная числа, которое задумал партнёр, и ни о чем его не спрашивая. Для демонстрации группы фокусов, описанных ниже, необходимо выучить текст таким образом, чтобы произносить его без ошибок и подсказок.
Задумать можно любое число, кроме нуля. Приводим несколько примеров:
1. Задумайте число. Утройте его. Вычтите из полученного 1. Полученное умножьте на 5. К полученному прибавьте 20. Разделите полученное на 15. Из полученного результата вычтите задуманное. У вас получилось 1.
Решение. ((3х – 1)5 + 20) :15 – х = (15х -5 + 20) : 15 – х = (15х + 15) : 15 – - х = х + 1 – х = 1.
2. Задумайте число. Умножьте его на 6. Вычтите 3. Умножьте на 2. Прибавьте 26. Вычтите удвоенное задуманное. Разделите на 10. Вычтите задуманное. У вас получилось 2.
Решение.(( 6х – 3)2 + 26 – 2х ) : 10 – х = (12х – 6 + 26 – 2х):10 – х = (10х + + 20) : 10 – х = х + 2 – х = 2.
3. Задумайте число. Утройте его. Вычтите 2. Умножьте на 5. Прибавьте 5. Разделите на 5. Прибавьте 1. Разделите на задуманное. У вас получилось 3.
4. Задумайте число, удвойте его. Прибавьте 3. Умножьте на 4. Вычтите 12. Разделите на задуманное. У вас получилось 8.
Проверить выполнимость каждого фокуса можно на любом примере, но для обоснования большинства арифметических фокусов удобнее всего прибегнуть к алгебре. На первых порах вы можете опустить "доказательства" фокусов и ограничиться лишь усвоением их содержания для показа своим друзьям.
Очень эффектно выглядят фокусы на отгадывание даты рождения и возраста зрителей, особенно в малознакомой компании.
1. Возраст и дата рождения
Порядковый номер месяца рождения нужно умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить число месяца, на которое приходится день рождения. Затем полученную сумму нужно умножить на 2 и к тому, что получится, прибавить 8. Результат нужно умножить на 5, к произведению прибавить 4 и получившуюся сумму умножить на 10. К тому, что получится, остается прибавить полное число лет (возраст), увеличенное на 4. Пусть каждый, выполнивший все эти вычисления, запишет на листочке бумаги свою фамилию, получившееся число и передаст листочек вам. Получив эти листочки, вы по ним каждому можете сказать его возраст и дату рождения. Придется поступать так: из получившегося числа, записанного на листочке, каждый раз вычитайте по 444 и разность разбивайте на грани справа налево по две цифры в каждой. Первая грань справа даст возраст, вторая - число и третья - порядковый номер месяца рождения.
2. Дата рождения.
Умножьте число вашего дня рождения на 2, к результату прибавьте 5, затем последовательно умножьте на 50 и прибавьте порядковый номер месяца. (Разгадка: от того числа, что получилось, отнимите 250 и получите день рождения и месяц)
3. Угадывание возраста, дня, месяца и года рождения.
Фокусник предлагает учащимся выполнить следующие действия: “Умножьте номер месяца, в котором вы родились, на 100, затем прибавьте день рождения, результат умножьте на 2, к полученному числу прибавьте 2, результат умножьте на 5, к полученному числу прибавьте 1, к результату припишите 0, к полученному числу прибавьте еще 1 и, наконец, прибавьте число ваших лет. После этого сообщите, какое число у вас получилось”. Теперь “фокуснику” осталось от названного числа отнять 111, а потом остаток разбить на три грани справа налево по две цифры. Средние две цифры обозначают день рождения, первые две или одна – номер месяца, а последние две цифры – число лет, зная число лет, фокусник определяет год рождения.
4.День и месяц рождения:
1. Умножьте число своего (маминого, папиного, бабушкиного и т.д.) дня рождения на 20. Прибавьте к результату 73. Сумму умножьте на 5. К произведению прибавьте номер месяца, в котором вы родились. К результату прибавьте 35. Скажите результат. Я назову день и месяц вашего рождения.
Например: 6 сентября, или 6.09. (6 . 20 + 73) . 5 + 9 + 35 = 1009
Способ отгадывания: из любого числа, полученного учащимися, нужно вычесть 400. Последние две цифры в полученной разности будут обозначать месяц, первые (одно или два число). 1009 400 = 609, или 6.09.
7.Задания для моих одноклассников
В учебнике «Математика - 5» я нашла 155 заданий, в которых нужно просто решить уравнение или решить задачу, составив уравнение, или решить головоломки, содержащие уравнения. И хотя заданий в учебнике достаточно, но я всё-таки решила раздел своего проекта посвятить одноклассникам или всем, кто любит математику и хочет научиться решать пока ещё неизвестные, и поэтому загадочные уравнения.
Задача1.
Задача 2.
1) Задумали число, вычли из него 16, разность умножили на 7, результат вычли из 40 и получили 12.Какое число задумали?
2) Задумали число, умножили его на 8, произведение вычли из 100, разность удвоили, результат вычли из 15 и получили 7. Какое число задумали?
Задача 3. Вы видите старт соревнований гоночных машин. В заезде участвуют пять машин, номера которых записаны на дверцах. Решите уравнения. Используя найденные ответы, впишите номера машин на рисунке, где изображен финиш.
Задача 4.
По рисунку составьте уравнение и найдите массу каждого фрукта, считая фрукты одного вида равными по массе.
Задача 5. Решите уравнения:
а) 0,3х + 2,4х = 270;
б) 0,2(4х + х) = 12;
в) 2х + х + 0,6 = 4,2.
6. Решите задачу.
Если каждому из своих детей мама даст по 15 тетрадей, то все тетради будут розданы; если же она даст по 13 тетрадей, то у неё останется 8 тетрадей. Сколько детей и сколько тетрадей было у мамы?
Задача 7. Узнайте, в какой башне находится Василиса Прекрасная. Для этого решите пример. Выясните, какой из корней уравнения совпадает с его ответом.
1,98 + 4,59 : (22,5 – 0,813 EMBED Equation.3 141522,5) =
Задача 8. Угадайте корни уравнения:
а) х 13 EMBED Equation.3 1415х = х; б) х 13 EMBED Equation.3 1415 х = х + х.
9. Решите уравнение с помощью правила нахождения неизвестной компоненты.
1) 840 : х = 900 – 879; 14) у – 49 = 1515 : 15;
2) (43 – х) 17 = 289; 15) (х – 87) – 27 = 36;
3) ( х – 12) 8 = 56; 16) 87 – (41 + у) = 22;
4) 24 (с + 9) = 288; 17) (у + 25) : 8 = 16;
5) 124 : ( у – 5) = 31; 18) (х + 155) – 35 = 145;
6) 38х + 15 = 91; 19) 44 : а + 9 = 20;
7) 168 – (98 + с) = 65; 20) (853 + у) – 53 = 900;
8) 98 : х + 9 = 23; 21) 60 (у : 40 + 4) = 720.
9) (38 + а) 12 = 840; 22) 39 – (15р + 48) : 27 = 35;
10) 14 (р – 30) = 630; 23) 1800 : (240 : у) – 47 = 253
11) 34 + 18 : с = 43; 24) 900 – (14х + 8) : 20 = 894;
12) (80 – к) : 8 = 7; 25) 500 : (2у – 8 ) + 95 = 120;
13) 78 : (а – 24) + 28 = 54; 26) (31 – у : 350) 8 = 200;
27)* 100 : ( 19 + (15х – 84) : 6) = 4;
28)* (72 – 64 : ( 40 – 8х)) 4 = 272;
29)* ((185 – 5х) 15 – 90) : 45 = 58;
30)* ((8х – 98) : 2 + 56) 36 – 268 = 2000.
10. Решите уравнения методом весов.
1) 4х – 27 = х + 3,
2) 5х – 12 = х + 60;
3) 6х + 9 = 2х + 33;
4) 7х – 10 = 5х + 6;
5) 3х – 4 = х + 2;
6) 4х – 9 = 2х + 11;
7) 11х + 15 = 7х + 47:
8) 8у + 9 = 5у + 30;
9) 10у = 35 + 3у;
10) 13у – 42 = 6у.
11. Решите уравнения методом проб и ошибок, корнями которых являются натуральные числа.
х (х + 13) = 68;
х (6 – х) = 8;
х (х + 5) = 24;
(х + 3) (х – 4 ) = 30;
х (х + 12) = 64;
х (х – 4) = 96;
(х – 1) (х + 11) = 13;
(х – 1) (х + 5) = 91.
12. Решите уравнения методом перебора, корнями которых являются натуральные числа.
1) х (х + 13) = 68;
2) х (6 – х) = 8;
3) х (х + 5) = 24;
4) х (х – 1) = 12;
5) х (х + 3) = 40;
6) х (х + 8) = 33;
7) х13 EMBED Equation.3 1415х (х + 1) = 80.
8) х (х – 9) (15 – х) = 70.
Ответы:
1.Уравнение. 2. Задуманные числа равны: 1) 20; 2) 12.. 3. 1 – 0,2;
2– 0,25; 3-5,4; 4 – 0,1; 5 – 6,4. 4. 1) 300 г; 2) 250 г, 5. Бим (х=100);
Бом (х = 12); Бум ( х = 60). 6. Четверо детей и 60 тетрадей.
7. 3. 8. а) х = 0; х = 1; б) х = 0; х = 2.
9.1) х = 40; 2) х = 26; 3) х = 19; 4) с = 3; 5) у = 9; 6) х = 2; 7) с = 5;
8) х = 7; 9) а = 32; 10) р = 75; 11) с = 2; 12) к = 24; 13) а = 27;
14) у =150; 15) х = 150; 16) у = 24;17) у = 103;18) х = 25; 19) а = 4;
20) у = 100; 21) у = 320; 22) р = 4; 23) у = 40; 24) х = 8; 25) у = 14;
26) у = 2100; 27) х = 8; 28) х = 3; 29) х = 1; 30) х = 14.
10. 1) х = 10; 2) х = 18; 3) х = 6; 4) х = 8; 5) х = 3; 6) х = 10; 7) х = 8;
8) у = 7; 9) у = 5; 10) у = 6.
11. 1) х = 4; 2) х = 2 и х = 4; 3) х = 3; 4) х = 7; 5) х = 4; 6) х = 12;
7) х = 2; 8) х = 8.
12. 1) х = 4; 2) х = 2 и х = 4; 3) х = 3; 4) х = 4; 5) х = 5; 6) х = 3;
7) х = 4; 8) х = 14.
8. Заключение
Работа над проектом помогла узнать мне много нового из истории математики. Мне пришлось рассмотреть дополнительную математическую литературу, чтобы узнать что-то новое про уравнения и способы их решения.
Дополнительного материала про уравнения очень много. Но в 4 классе мы решаем самые простые уравнения, поэтому в своём проекте я только чуть-чуть углубила знания по этой теме.
Просмотрев все учебники по математики с 5 по 11 классы, я убедилась в важности выбранной темы. В течение всех лет мы расширяем знания по теме «Уравнения».
5 класс - Решение более сложных уравнений с помощью правила
нахождения неизвестной компоненты и решение задач на составление уравнений.
6 класс – Решение уравнений с применением их свойств.
7 класс – Решение линейных уравнений .
8 класс – Решение квадратных и дробных рациональных уравнений.
9 класс – Решение биквадратных уравнений.
10 класс – Решение тригонометрических уравнений.
11 класс – Решение иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.
Конечно, эти названия мне не о чём не говорят, но я теперь знаю, какие бывают уравнения, и что со временем я научусь их решать.
Но в то же время, пролистав весь учебник математики 5-го класса, я насчитала 155 заданий, связанных с решением уравнений. То есть и в школьном курсе математике решению уравнений уделяется много времени.
Мне было интересно узнать, что уравнения и математические фокусы, которые сейчас могут решать ученики 5 класса, в древности были по силам только математикам и мудрецам. И что, используя известные мне свойства сложения и умножения, я смогла провести исследования.
И доказала на простых уравнениях, что значение корня не изменится,
если:
- к обеим частям уравнения прибавить или отнять одно и то же число;
- обе части уравнения умножить или разделить на число, неравное нулю.
Я научилась решать более сложные уравнения, используя 4 способа, о них я прочитала в дополнительной литературе. При выполнении проекта мне пришлось решить более 120 уравнений.
Во время недели математики я показала математические фокусы во всех 5-х классах и 3 – 4 классах.
Вместе с моим руководителем мы составили задания для одноклассников. Среди этих заданий есть те, для решения которых достаточно знаний, полученных на уроках. Но есть и такие уравнения, которые решаются новыми способами, о которых я рассказала в проекте, то есть требуют дополнительных знаний. Это для тех ребят, кто захочет научиться решать уравнения новыми способами .
Я, думаю, что знания, которые я получила, работая над проектом, пригодятся мне в дальнейшей учёбе.
Все цели и задачи, которые я ставила перед собой, я выполнила.
9. Список использованной литературы
1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др .Математика: Учеб, для 5 кл.
общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2005.
2. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика, 5 класс. Части 1 и2:
Уч. для 5 кл. – М.: «Баласс», «С-инфо», 1997.
3. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика, 6 класс. Части 1, 2 и 3:
Уч. для 6 кл. – М.: «Баласс», «С-инфо», 2002
4. Лебединцева Е.А., БеленковаЕ.Ю. Математика 5 класс. Тетрадь 2.
Задания для обучения и развития учащихся. – М.: Интеллект-
Центр, 2007.
5. Математика: Учебник-собеседник для 5 – 6 кл. сред. шк./
Л.Н.Шеврин, А.Г. Гейн, И.О.Коряков, М.В.Волков. – М.:
Просвещение, 1989. (Б-ка учителя математики).
6. Моро М.И., Бантова М.А. и др. Математика. Учеб. Для 4 кл. нач.
шк. В 2 ч. Ч. 2. (Второе полугодие) – М.: Просвещение, 2005.
7. Энциклопедический словарь юного математика /
Сост. А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1985.
8. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Ред. Коллегия:
М.Аксёнова, В. Володин и др. – М.: Аванта, 2005.
13PAGE 15
13PAGE 14215
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeИзображение 001Изображение 005