Применения дифференциальных уравнений для решения задач естествознания

СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ФЕРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физико-математический факультет  ВЫПУСКНАЯ -КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА Студентки IV курса группы № 10.404 рпо направлению 5460100 «Математика» Расуловой Дилдора Носиржоновны На тему: «Применения дифференциальных уравнений для решения задач естествознания» Руководитель: к. ф.м. н., доцент, ЮсуповаА.К. Фергана- 2014. 







Введение. Реализуемые в стране реформы по формированию устойчивой и эффективной экономики в настоящее время дают свои положительные результаты. Тщательная разработка руководителем государства Исламам Каримовым социально – экономического развития, точное и правильное определения путей реализации цепей и задач экономических реформ создали предпосылки для достижения результатов на пути к главной цели.Они помогают достичь консенсуса и объективной заинтересованности всех сторон в конструктивном решении возникающих проблем подрастающего поколения. Молодежь как органическая часть общества на каждом этапе его развития выполняет интегративные функции, обобщая и развивая опыт предыдущих поколений, способствуя тем самым социальному прогрессу.
В настоящее время возникла необходимость не только изучения происходящих в молодежной среде процессов, но и переоценки ее места в системе гражданского общества. Прежде всего необходимо переосмыслить характер и содержание отношений между юным поколением, государством и социумом. Это взаимодействие должно основываться на принципах социального партнерства, то есть совместной реализации общественно значимых проектов. Такой подход выгоден каждой стороне в отдельности и обществу в целом. Социальное партнерство формирует реальные механизмы функционирования институтов гражданского общества, предоставляя возможность регулировать, предотвращать или разрешать социальные конфликты, укреплять мир и согласие в стране, углублять процессы демократии, утверждать цивилизованные формы политических, социально-экономических и трудовых отношений, в том числе в молодежной сфере. В этой связи большую актуальность приобретают вопросы определения правил взаимодействия сторон социального диалога, роли государства в социальном партнерстве и перспектив ее изменения – от государственной опеки к гаранту законности и стабильности. В условиях формирования гражданского общества социальное партнерство государственных и неправительственных организаций в воспитании гармонично развитого поколения заявляет о себе как наиболее перспективный механизм решения социальных проблем молодежи. И будет способствовать раскрытию ее личностного и профессионального потенциала, повышению активности и инициативности и, в конечном итоге, процветанию всей страны. Многочисленные задачи естествознания, техники и механики, биологии, медицины и других отраслей научных знаний сводятся к математическому моделированию процессов в виде формулы, т.е. в виде функциональной зависимости. Так, например, переходные процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью дифференциальных уравнений.Всё это и явилось главной причиной выбора темы работы. Материалом для данной работы послужила теория дифференциальных уравнений и наиболее известные задачи естествознания, решаемые с помощью дифференциальных уравнений. Целью настоящей работы является рассмотрение возможности применения дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественно – научного цикла.Достижение предполагаемой цели связано с решением частных задач: Описать теоретические основы дифференциальных уравнений; Рассмотреть некоторые приёмы решения задач с помощью дифференциальных уравнений по физике, геометрии, биологии и химии.Концепция работы строится на основе имеющихся по проблеме исследований теории дифференциальных уравнений И. А. Зайцева, Н. Я. Виленкина, И. И. Баврина и др. Творчески осмыслены и подходы к математическому моделированию, предложенные в исследованиях М. П. Лапчика и Ю. А. Владимирова. Методы исследования опираются на принципы функционального, сравнительного и сопоставительного изучения математических явлений.Работа состоит из двух основных частей:Теоретическая часть рассматривает основные понятия теории дифференциальных уравнений; Практическая часть – решения задач из курса естествознания с помощью дифференциальных уравнений. Глава I. Основы теории дифференциальных уравнений.§1.1. Общие сведения.Уравнение называется дифференциальным, если, кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, оно содержит производные неизвестных функций (или их дифференциалы). Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если неизвестные функции зависят от одной независимой переменной.Дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных, если оно содержит несколько независимых переменных, функции этих переменных и частные производные этих функций.Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение. Решением дифференциального уравнения называется система функций, подстановка которых вместо неизвестных обращает уравнение в тождество.В случае обыкновенных дифференциальных уравнений решения могут быть общими, частными и особыми.Общими решениями дифференциальных уравнений называются решения, содержащие столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения.Частными решениями дифференциальных уравнений называются решения, получающиеся из общих при частных значениях произвольных постоянных.Особыми решениями дифференциальных уравнений называются решения, которые вообще не содержатся в общих решениях, т.е. не получаются из них при частных значениях произвольных постоянных. Решения дифференциальных уравнений в частных производных содержат произвольные функции.Частное решение получается надлежащим выбором произвольных функций.Примеры решения дифференциальных уравнений.Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:Решение:– дифференциальное уравнение с разделяющимися переменнымиРазделим переменные: Проинтегрируем выражение:Ответ:Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения: Решение:Следовательно, исходное уравнение является однородным.ПустьПроизведём замену в исходном уравнении: - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменнымиРазделим переменные:Проинтегрируем а затем пропотенцируем выражение: HoОтвет: Глава II. Применение дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественно - научного цикла.Дифференциальные уравнения являются одним из самых популярных и мощных средств математического решения практических задач. Особенно широко они используются для решения задач естественно - научного цикла: теоретической механики, физики, химии и биологии. Во многих задачах геометрической оптики, геодезии, картографии и других областей естествознания возникает необходимость нахождения кривых по заданным свойствам проведенных к ним касательным. Обычно такие (геометрические) задачи решаются так же с помощью дифференциальных уравнений.Математическое моделирование. В математическое исследование любой задачи реального мира можно выделить три основных этапа:построение математической модели явления;изучение этой математической модели и получение решения соответствующей математической задачи;приложение полученных результатов к практическому вопросу, из разрешения которого возникла данная математическая модель, и отыскание других вопросов, к которым она приложима. При построении математической модели явления или процесса необходимы его идеализация и формализация. При идеализации явления отделяются условия, существенно влияющие на него, от условий, не оказывающих существенного влияния.Классическим примером идеализированной модели является схема изучения движения маятника - математический маятник. В этом случае пренебрегают размерами и формой груза, сопротивлением воздуха, трением в точке подвеса, гибкостью нити и пр. Исследование этой идеализированной схемы можно уже формализовать, составив дифференциальное уравнение.Затем, необходимо исследовать, в каких границах допустимы сделанные приближения, как будет меняться условие при учёте отброшенных факторов и т. д.Следует выяснить, какие ещё явления описываются той же самой формализованной математической моделью. Решение физических задач с помощью дифференциальных уравнений. Решение физической задачи реальной жизни должно последовательно проходить в три этапа:составление дифференциального уравнения;решение этого уравнения;исследование полученного решения.При этом рекомендуется следующая последовательность действий:Установить величины, изменяющиеся в данном явлении, и выявить физические законы, связывающие их.Выбрать независимую переменную и функцию этой искомой переменной. Исходя из условий задачи, определить начальные или краевые условия.Выразить все фигурирующие в условии задачи величины через независимую переменную, искомую функцию и производные этой функции.Исходя из условий задачи и физического закона, которому подчиняется данное явление, составить дифференциальное уравнение.Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.По начальным или краевым условиям найти частное решение.Исследовать полученное решение. Во многих случаях составление дифференциального уравнения основывается на так называемой "линейности процесса в малом", т. е. на дифференцируемости функций, выражающих зависимость величин. Как правило, можно считать, что все участвующие в том или ином процессе величины в течение малого промежутка времени изменяются с постоянной скоростью. Это позволяет применить известные из физики законы, описывающие равномерно протекающие явления, для составления соотношения между значениями t, t + Δt, т. е. между величинами, участвующими в процессе, и их приращениями. Получающееся равенство имеет лишь приближённый характер, поскольку величины меняются даже за короткий промежуток времени, вообще говоря, неравномерно.. Но, если разделить обе части получившегося равенства на Δt и перейти к пределу, когда Δt → 0, получится точное равенство. Оно содержит время t, меняющиеся с течением времени физические величины и их производные, т. е. является дифференциальным уравнением, описывающим данное явление. То же самое уравнение в дифференциальной форме можно получить, заменив приращение Δt на дифференциал dt, а приращение функций - соответствующими дифференциаламиТаким образом, при составлении дифференциального уравнения мы делаем как бы "мгновенный снимок" процесса в данный момент времени, а при решении уравнения по мгновенным снимкам восстанавливаем течение процесса. Общая идея замены функций на малых промежутках аргумента линейными функциями, лежащая в основе решения физических задач с помощью дифференциальных уравнений, называется линеаризацией. И хотя встречаются процессы, для которых линеаризация невозможна (например, броуновское движение), описываемый метод в подавляющем большинстве случаев действует безотказно. Задача №1. В дне цилиндрического сосуда, наполненного водой и имеющего высоту Н и радиус основания R, сделано небольшое отверстие площади S (рис.1). За какой промежуток времени через отверстие вытечет вся вода, если треть воды вытекает за t1 секунд?Решение. Если бы истечение воды происходило равномерно, то решение задачи было бы тривиальным: вся вода вытечет за время 3t1 c. Но, реально, сначала вода вытекает быстро, а по мере снижения уровня воды в сосуде скорость её истечения уменьшается. Таким образом, необходимо учесть зависимость между скоростью истечения v и высотой h столба жидкости над отверстием.𝑣=𝑘2𝑞h  Опыты Торричелли показали, что скорость приближённо выражается формулой , где q – ускорение свободного падения и k – «безразмерный» коэффициент, зависящий от вязкости среды и формы отверстия (для воды в случае круглого отверстия k = 6). Сделаем «мгновенный снимок» процесса истечения жидкости за промежуток времени [t, t + Δt]. Пусть в начале этого промежутка высота жидкости над отверстием равнялась h, а в конце его она понизилась и стала h + Δh, где Δh – «приращение» высоты (которое, очевидно, отрицательно). Тогда объём жидкости, вытекшей из сосуда, равен объёму цилиндра с высотой |Δh| = - Δh и площадью основания рR2 Δh. Эта жидкость вылилась в виде цилиндрической струйки, имеющей площадь основания S. Её высота равна пути, пройденному вытекающей из сосуда жидкостью за промежуток времени [t, t + Δt]. 𝑣=𝑘2𝑞h В начале этого промежутка времени скорость истечения равнялась по закону Торричелли 𝑣=𝑘2𝑞(h+∆h а в конце его она равняласьlim∆𝑡→0𝛼=0 т.е.𝑉=𝑘2𝑞h+𝛼𝑆∆𝑡−(𝑘2𝑞h+𝛼)∆h  Если Δt весьма мало, то и Δh тоже очень мало и потому полученные выражения для скорости практически одинаковы, а путь, пройденный за промежуток времени [t, t + Δt], выражается формулой: где объём вылившейся из сосуда за промежуток времени[t, t + Δt] жидкости. Приравнивая два выражения для объёма жидкости, вылившейся из сосуда за промежуток времени [t, t + Δt], получаем уравнение:Недостатком уравнения (1) является то, что нам не известно выражение для б. Для устранения этого недостатка, разделим обе части уравнения (1) на Δt и перейдём к пределу при Δt → 0. Учитывая, что Получаем дифференциальное уравнение:Для решения уравнения (2), разделим переменные и обозначим для краткости дробь через А: Мы получили зависимость между t и h, в которую входят две постоянные А и С. Постоянная А зависит от размеров и формы отверстия, вязкости жидкости и других физических параметров, а постоянная С возникла в ходе решения задачи. Их значения нам не известны, но их можно найти, учтя не использованные ещё условия задачи. Для нахождения С используем начальные условия: в начале истечения жидкости сосуд был наполнен, т. е. при t = 0 высота h = H.Подставляя в формулу (3) t = 0, h = H, получаем: Равенство (3) можно переписать в виде:Для нахождения А, учтём, что за первые t1 минут вытекла треть всей жидкости. Этому соответствует понижение уровня жидкости на H/3. Иными словами, при t = t1 имеем: h = H - H/3 = 2H/3. Отсюда находим, что:и потому Заметим, что хотя последнее значение t примерно в 1,82 раз больше значения 3·t1, которое получилось в предположении, что жидкость вытекает равномерно, оно не является безукоризненно точным, так как мы пренебрегли, например, явлениями капиллярности (существенными при малом диаметре отверстия), завихрениями жидкости, пограничным слоем жидкости и многими иными факторами. Ясно, что, чем больше значения R и H (размеры сосуда), тем дольше будет вытекать из него жидкость, как это и следует из полученного ответа. Чем больше площадь отверстия S, тем быстрее вытечет жидкость из сосуда. В том же направлении действует и увеличение ускорения q, а так же коэффициента k (чем больше k, тем больше скорость истечения жидкости в формуле Бернулли). Таким образом, формула выдержала "испытание на здравый смысл", что в совокупности с испытанием на размерность: подтверждает, что задача решена верно.Ответ. Вся вода вытечет через отверстие за промежуток времени Во многих случаях составление дифференциальных уравнений по условию задачи облегчается тем, что соответствующий закон физики связывает между собой значение некоторой величины и скорости её изменения, либо связывает друг с другом значения величины, скорости её изменения и ускорения. Заключение.Изучение большого круга задач естествознания, техники и механики, биологии, медицины и других отраслей научных знаний показывает, что решение многих из них сводится к математическому моделированию процессов в виде формулы, т.е. в виде функциональной зависимости. Так, например, некоторые процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью уравнений, в которых кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, содержатся производные неизвестных функций (или их дифференциалы). Такие уравнения называются дифференциальными. Вот почему возможности применения дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественно – научного цикла довольно широки.В представленной работе: - описаны теоретические основы дифференциальных уравнений; - рассмотрены некоторые приёмы решения задач с помощью дифференциальных уравнений по физике, геометрии, биологии и химии.В ходе работы, возникла необходимость более полного, чем предполагалось, изучения основ моделирования реальных объектов. Практическая ценность метода математического моделирования заключается в следующем:правильно составленная и всесторонне использованная математическая модель позволяет оптимизировать изучение реальной системы по времени;математическая модель позволяет облегчить прогнозирование хода и результатов экспериментов, проводимых в реальных системах. Литература. Баврин И. И. Высшая математика: Учебное пособие для студентов хим.-биол. фак. пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1980.Виленкин Н. Я. и др. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие для студентов-заочников IV курса физ.-мат. фак. - М.: Просвещение, 1984.Владимиров Ю. А. и др. Биофизика: Учебник. - М.: Медицина, 1983.Глинка Н. Л. Общая химия: Учебное пособие для вузов. - М.: Химия, 1985.Зайцев И. А. Высшая математика: учебник для неинж. спец. с.-х. вузов. - М.: высшая школа, 1991.Лапчик М. П. Вычисления. Алгоритмизация. Программирование: Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1988.Маковецкий П. В. Смотри в корень!: Сборник любопытных задач и вопросов. - М.: Наука, 1979.Роджерс Эрик Физика для любознательных, том 3. - М. "Мир", 1973. Справочник машиностроителя, том 1. - М.: МАШГИЗ, 1956. Хомченко Г. П. Химия для поступающих в вузы: Учебное пособие. - М.: Высшая школа, 1993. Шипачев В. С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2001. Штейнгауз Гуго Задачи и размышления. - М.: "Мир", 1972.