Презентация по математике на тему Общее и частное решение дифференциальных уравнений первого порядка

Общее и частное решение дифференциальных уравнений первого порядка.
Цель урока:Формирование представлений об общем и частном решении дифференциальных уравнений первого порядка.Формирование умений находить общее и частное решение дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнение вида:где f(x) и g(x) – функции от x, называется линейным ДУ первого порядка.В частном случае f(x) и g(x) могут быть постоянными величинами.Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y=uz, где u и z – новые функции от x.


Пример 1. Найти общее решение уравнения: Это линейное уравнение. Положим y=uz и продифференцируем это равенство по x: Подставив теперь выражения для y и dy/dx в данное уравнение, получим:



Так как одну из вспомогательных функций u или z можно выбрать произвольно, то в качестве u возьмем одно из частных решений уравнения:Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя, получим:Произвольную постоянную C принимаем равной нулю, т.к. находим одно из частных решений.(*)




Подставим теперь выражение для u в уравнение (*). Тогда получим уравнение:Зная теперь u и z, получаем общее решение данного уравнения:



Пример 2. Найти частное решение уравнения: если y=1 при x=0.Разделим все члены данного уравнения на cosxdx:Получили линейное уравнение. Положим: y=uz. Тогда:



Для отыскания u получаем уравнение:




Следовательно, общее решение данного уравнения:Используя начальные условия y=1, x=0, имеем: 1=sin0+cos0,откуда C=1.Таким образом, искомое частное решение имеет вид:y=sinx+cosx.