Презентация по вычислительной математике на тему Решение дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта

Решение дифференциальных уравнений методом Ренге-Кутта Метод Рунге-куттаПусть необходимо найти численное решение уравнения y’=f(x, y), при условии, что y(x0)=y0 Идея метода состоит и в представлении разности Δy(x)=y(x+h)-y(x) (1.1)В виде суммы поправок kj с коэффициентами рj Δy=p1k1+ p2k2+…+ prkr , Метод Рунге-куттагде k1=f(x, y), k2=f(x+α2h, y=β21k1), …, kr=hf(x+αrh, y=βr1k1+ βr2k2+…+ βrr-1kr-1).Коэффициенты рj , αj , βji находят сравнением разложений Δy и ki по степеням h. Метод Рунге-куттаВ случае r=4 получают (1.2) (1.3) Метод Рунге-кутта При x=x0 с помощью формул (1.1)-(1.3) находим (1.4) Метод Рунге-куттаГде (1.5) (1.6) Метод Рунге-куттаПример. Методом Ренге-Кутта найти решение задачи Коши для уравнения y`=y-x2, y(1)=0, x [1, 2] в первых пяти точках, взяв h=0,1Решение. Поскольку в данном примере f(x, y)= y-x2 , и в силу условия x0 =1, y0 =0, то f(x0 , y0 )= y0- =0-1=-1. Метод Рунге-куттаПо формулам (1.6) находим По формуле (1.5) вычисляем Метод Рунге-куттаЗначение y1 вычисляем по формуле y1 = y0+Δy0 (см. формулу (1.4) при i=0). y1 = 0+(-0,1158)=-0,1158Таким образом, полученное приближенное значение y1 =-0,1158 при x1 =1,1 Метод Рунге-куттаC помощью формул (1.6) при i=1 найдём приближённое значение y2 при x2 =1,1, решив задачу Коши для того же уравнения y`=y-x2 , y(1,1)=-0,1158.Далее находим y3,y4,y5. Метод Рунге-кутта                                                                                                                                        По формуле (1.5) вычисляем ixiyipj0101-1-0,111,05-0,051,1025-1,1525-0,115321,05-0,05761,1025-1,1601-0,116021,1-0,1161,21-1,326-0,13261-0,695-0,1158 x1 = x0+h=1,1 y1 = y0+Δy0 =0+(-0,1158)=-0,115811,1-0,11581,21-1,3258-0,132611,15-0,18211,3225-1,5046-0,150521,15-0,1911,3225-1,5135-0,151421,2-0,26721,44-1,7072-0,17071-0,9071-0,1501 x2 = x0+2h=1,2 y2 = y1+Δy1 =-0,1158+(-0,1501)=-0,2659 Метод Рунге-кутта                                                                                                                                        По формуле (1.5) вычисляем ixiyipj21,2-0,26591,44-1,7059-0,170611,25-0,35121,5625-1,9137-0,191421,25-0,36161,5625-1,9241-0,192421,3-0,45831,69-2,1483-0,21481-1,115-0,1925 x3 = x0+3h=1,3 y3 = y2+Δy2 =-0,2659+(-0,1925)=-0,458431,3-0,45841,69-2,1484-0,214811,35-0,58581,8225-2,3883-0,238821,35-0,57781,8225-2,4003-0,240021,4-0,69841,96-2,6584-0,26581-1,4382-0,2397 x4 = x0+4h=1,4 y4 = y3+Δy3 =-0,4584+(-0,2397)=-0,6981 Метод Рунге-кутта                                                                                                                                        По формуле (1.5) вычисляем ixiyipj41,4-0,69811,96-2,6581-0,265811,45-0,8312,1025-2,9335-0,293421,45-0,84482,1025-2,9473-0,294721,5-0,99282,25-3,2428-0,32431-1,7663-0,2944 x5 = x0+5h=1,5 y5 = y4+Δy4 =-0,6981+(-0,2944)=-0,9925 Метод Рунге-куттаЗадание: Методом Рунге-Кутта, приняв h=0,1, найти приближённые решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие условиям:1.2.3.4.5.