Урок з теми Розв’язування вправ на застосування тригонометричних формул, Аллебра 10 клас

Тема уроку: Розв’язування вправ на застосування тригонометричних формул.
Мета уроку: закріпити вміння й навички учнів виконувати перетворення тригонометричних виразів; ознайомити їх з деякими прийомами для перетворень тригонометричних виразів; розвивати логічне мислення; виконувати взаємодопомогу; формувати комунікативну компетентність.
Тип уроку: комбінований.
Хід уроку
1.Організаційний момент.
2.Контрольно-смисловий контроль модуль.
2.1Перевірка домашнього завдання.
Завдання середнього й достатнього рівнів учні коментують з місця, завдання високого рівня розглядається на дошці.
3.Змістовно-пошуковий модуль.
3.1Актулізація опорних знань
Запитання до класу
1. У чому полягає основна властивість дробу?
2. Сформулюйте алгоритм використання формул зведення?
3. Запишіть формули пониження степеня?
4. Чому дорівнює тригонометрична одиниця?
5. Запишіть формули подвійного аргументу; потрійного аргументу; половинного аргументу?
6. Чи завжди з рівності А2=В2 випливає, що А=В?
3.2 Доповнення знань учнів
Учитель пропонує учням на прикладах розглянути деякі прийоми перетворення виразів.
Використання основної властивості дробу
Якщо ми маємо добуток косинусів кутів, що утворюють геометричну прогресію зі знаменником 2, то для спрощення виразу його потрібно помножити й розділити на синус найменшого кута та застосувати формулу синуса подвійного кута.
Приклад 1.Обчислимо cos36°cos72°.
Піднесення до степеня
Іноді для спрощення виразу зручно обидві частини рівності піднести до степеня.
Приклад 2. Доведемо тотожність 1+sinα-1-sinα=2sinα2 , 0<α<π2.
Доведення
Обидві частини цієї рівності додатні. Піднесемо до квадрата обидві частини даної рівності: (1+sinα-1-sinα) 2=(2sinα2 )2;
1+sinα-21-(sinα)2+1-sinα=4(sinα2);
2-2cosα=4(sinα2)2; 2-2cosα=2(1-cosα)=2•2(sinα2)=4(sinα2)2.
Оскільки обидві частини вихідної рівності додатні, а їхні квадрати рівні, то ліва частина вихідної рівності рівні.
Арифметична прогресія аргументів
Учитель пропонує запам’ятати таке: якщо дано суму синусів або косинусів, аргументи яких складають арифметичну прогресію, необхідно помножити й розділити цю суму на 2sind2, де d-різниця прогресії, а потім скористатися формулами перетворення добутку на суму.
Приклад 3. Доведемо, що cos2π7+cos4π7+cos6π7=-12.
Доведення
cos2π7+cos4π7+cos6π7= 2sinπ7cos2π7+2sinπ7cos4π7+2sinπ7cos6π72sinπ7=
= -sinπ7+sin3π7-sin3π7+sin5π7-sin5π7+sin7π72sinπ7= -sinπ7+02sinπ7=-12, що й треба було довести.
4. Адоптивно - перетворювальний модуль
4. 1 Закріплення знань і вмінь учнів
Виконання письмових вправ
В. 1. Перевірте, чи виконується рівність 8cos4π9cos2π9cosπ9=1. Розв’язання
8cos4π9cos2π9cosπ9=4•2sinπ9cosπ9cos2π9cos4π9sinπ9=
=2∙2sin2π9cos2π9cos4π9sinπ9=2sin4π9cos4π9sinπ9=sin8π9sinπ9=sinπ9sinπ9=1.
Отже рівність є правильною.
2. Доведіть тотожність sin10°+sin20°+sin30°+sin40°+sin50°=12sin25°∙sin5°.
Доведення
sin10°+sin20°+sin30°+sin40°+sin50°==2sin5°sin10°+2sin5°sin20°+2sin5°sin30°+2sin5°sin40°+2sin5°sin50°2sin50°=
=12sin5°(cos5°-cos15°+cos15°-cos25°+cos25°-cos35°+cos35°-cos45°+cos45°-cos55°)=
=cos5°-cos55°2sin5° = -2sin(-25°)sin30°2sin5° = sin25°2sin5° = 12sin25°∙sin5°, що й треба було довести.
3.Відомо,що sinα+cosα=0,8 .Знайдіть sinαcosα.
Розв’язання
Піднесемо обидві частини даної рівності до квадрата, маємо: sinα+cosα=0,8 ; (sinα+cosα)2=0,82; ( sinα)2+2sinαcosα+(cosα)2=0,64; 1+2sinαcosα=0,64; 2sinαcosα=-0,36; sinαcosα=-0,18.Відповідь: -0,18.
5. Підбиття підсумків уроку.
Учитель просить учнів назвати розглянуті на уроці прийоми перетворення тригонометричних виразів і пояснити сутність кожного з них.
6. Домашнє завдання.
В. 1. Перевірте чи виконується рівність cosπ7+cos3π7+cos5π7=12.
2. Доведіть, що sin20°sin40°sin60°sin80°=316.
3. Відомо, що tanα+cotα=2,3. Знайдіть (tanα)2+(cotα)2.
4. Відомо,що cos2α=m. Знайдіть (cosα)8—(sinα)8.
5. Відомо, що cosφ+sinφ+α. Знайдіть (cosφ)3+(sinφ)3.