Урок на тему: Похідна функції її геометричний та фізичний зміст

3
Тема уроку « Похідна функції її геометричний та фізичний зміст»
Мета уроку:
домогтися засвоєння означення похідної;
сформувати значення похідної під час обґрунтування формул для обчислення похідних деяких функцій;
сформувати поняття похідної в точці, операція диференціювання
загальна схема знаходження похідної в заданій точці;
сформувати геометричний та фізичний зміст похідної;
сформувати вміння знаходити кутовий коефіцієнт і кут нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці,знайти швидкість зміни величини в точці.
розвивати логічне мислення ; навички контролю, самоконтролю та взаємоконтролю; спонукати до творчої діяльності.
виховувати любов до рідної мови та предмету; працьовитість, відчуття колективізму та відповідальності; вміння самостійно приймати рішення.
Тип уроку : засвоєння нових знань і вмінь
Методи навчання : пізнавально-практичні
Предметні зв’язки: геометрія, фізика, астрономія.
Матеріальне забезпечення уроку:
- таблиці, комп`ютер, мультимедійний проектор;
- картки-завдання ;
- додатки до теми «похідна та її застосування»

Хід уроку
І. Організаційний момент.
а) Перевірка відсутніх.
б) Перевірка готовності до уроку.
ІІ. Перевірка домашнього завдання.
Вибірково перевіряємо виконання домашнього завдання в учнів які потребують додаткової педагогічної уваги за матеріалом вивчених тем проводимо тестування
№ 2
13 EMBED Equation.3 1415=
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

№ 9
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.

ІІ. Актуалізація опорних знань.
Фронтальне опитування:
1.Дайте означення границі функції в точці.
2. Дайте означення функції неперервної на проміжку?
3. Сформулюйте властивості границі функції.
4. Сформулюйте означення дотичної до кола.
5.Запишіть рівняння прямої.
6.Що таке кутовий коефіцієнт прямої? Чому дорівнює кутовий коефіцієнт прямої:
а) яка є бісектрисою І і ІІІ координатних кутів;
б) яка є бісектрисою ІІ і ІV координатних кутів;
в) паралельна осі абсцис?
ІІІ. Мотивація навчальної діяльності на уроці повідомлення теми мети уроку
ІV.Вивчення нового матеріалу.
План вивчення теми
Означення похідної функції в точці хо .
Яка функція називається диференційованою в точці? на проміжку?
Схема знаходження похідної функції f(x) за означенням .
Використання означення під час обґрунтування формул для обчислення похідних деяких функцій.
Зв'язок між диференційованістю та неперервністю функцій.
Геометричний зміст похідної. Кутовий коефіцієнт і кут нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці
Фізичний зміст похідної. Швидкість та прискорення прямолінійного руху.
Пояснення нового матеріалу: Конспект учня.
Означення похідної


Похідною функції у=f(x) у точці хо називають границю відношення приросту функції в точці хо до приросту аргументу, коли приріст прямує до нуля . Операцію знаходження похідної називають диференціюванням.

Запис неперервності функції через прирости аргументу і функції

Функція f(x)буде неперервною в точці хо тоді і тільки тоді, коли малій зміні аргументу в точці хо відповідають малі зміни значень функції ,тобто : функція f(x)неперервна в точці хо13 QUOTE 1415 при х0 13 QUOTE 1415 f0

Функцію, яка має похідну в точці хо, називають диференційованою в цій точці.
Функцію, яка має похідну в кожній точці деякого проміжку, називають диференційованою на цьому проміжку. Операція знаходження похідної називається диференціюванням
Для знаходження похідної функції у=f(x) за означенням можна користуватися схемою
1 . Знайти приріст функції який відповідає приросту аргумента
2.Знайти відношення
3. Зясувати ,до якої границі прямує відношенняпри13 QUOTE 1415х0. Це і буде похідна.



Сприймання і усвідомлення геометричного змісту похідної, рівняння дотичної.
На попередньому уроці ми розглядали задачу про знаходження кутового коефіцієнта дотичної. Порівнюючи одержані результати з означенням похідної, можна зробити висновок: значення похідної функції у = f(x) в точці xo дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою xo : f'(xo) = k = tg
· (рис. 27)
Розглянемо функцію у = f(x). Її графік зображено на рис. 27.
У точці М(xo;yo) проведено дотичну до кривої у=f(x). Складемо рівняння дотичної AM, знаючи координати точки М(xo;yo) дотику і рівняння у = f(x) кривої. Дотична це пряма. Рівняння будь-якої прямої має вигляд:
у = kx + b. Оскільки k = f'(xo), тому рівняння дотичної має вигляд:
у = f'(xo)x + b.
(1)
Знайдемо b, виходячи з того, що дотична проходить через точку М(xo;yo) і тому її координати задовольняють рівнянню дотичної:
уо = f '(хo)
· хo + b, звідси b = уo – f '(xo) · xo.
Тепер підставимо значення b в рівняння (1) дотичної і одержимо:
у = f '(xo) ·x + уо – f '(xo) · xo y – yо = f '(xо )(x – xo)·
Отже, рівняння дотичної до кривої у = f(x) в точці М(xo; уo) має вигляд:
y – yо = f '(xo)(x – xo).
(2)
Рівняння дотичної до кривої у = f(x) у заданій точці xo можна знаходити за таким планом (схемою):

1. Записуємо рівняння дотичної: y – yо = f '(xo)(x – xo).
2. Знаходимо уo = f(xo)·
3. Знаходимо значення f '(x) у точці xo: f '(xo).
4. Підставляємо значення xo, yo і f '(xo) y рівняння y
· yо = f '(xo)(x – xo). .

Сприймання і усвідомлення механічного змісту похідної.
На попередньому уроці ми розглядали задачу про знаходження миттєвої швидкості прямолінійного руху матеріальної точки. Порівнюючи одержані результати з означенням похідної, можна зробити висновок: якщо матеріальна точка рухається прямолінійно і її координата змінюється по закону s = s(t), то швидкість її руху v(t) в момент часу t дорівнює похідній s'(t):
v(t) = s'(t).

V. Формування вмінь та навичок при розв’язуванні задач по вивченому матеріалу.

Приклад 1. Знайдіть похідну функції f(x) = Зх2 + 2 в точці хо.
Розв'язання
Знайдемо приріст функції:

·f = f(хо +
·x) – f(xo) = 3(хо +
·x)2 + 2 - 313 EMBED Equation.3 1415 - 2 =
= 313 EMBED Equation.3 1415 + бхо
·x+ 3
·x2 + 2 - 313 EMBED Equation.3 1415 - 2 = 6хо
·х+ 3
·x2 =
·x(6x
· + 3
·x).
Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:
13 EMBED Equation.3 1415.
Знайдемо похідну даної функції в точці х0:
f '(хo) = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415= 6хо + 3 · 0 = 6хо.
Відповідь: 6хо.

Приклад 2. Знайдіть похідну функції f(x) = kx + b (k і b постійні) у точці xo.
Розв'язання
Знайдемо приріст функції:

·f = f(хо +
·x) – f(xo) = k(xo +
·x) + b - kxo - b = kxo + k
·x - kxo = k
·x.

Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:
13 EMBED Equation.3 1415
Отже, f '(хo) = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415= k, або (kx + b)' = k.
Відповідь: k.

Приклад 3. Розглянемо функцію у == хn, де n 13 EMBED Equation.3 1415 N.
Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргументу х. і надамо йому приросту 13 EMBED Equation.3 1415x, тоді:
1) 13 EMBED Equation.3 1415y = (xo+13 EMBED Equation.3 1415x)n - 13 EMBED Equation.3 1415,
2) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415.
(Скористалися формулою
13 EMBED Equation.3 1415.
3) f'(xo) 13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415++13 EMBED Equation.3 1415.
Звідси (xn)' =nxn - 1, де n 13 EMBED Equation.3 1415 N .

а) Розв’язування задач:
№ 1. Користуючись означенням похідної, знайдіть похідну функції f, якщо:
а) f(x) = х2 + 1 в точці 1; б) f(x) = х3 в точці 1;
в) f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 1; г) f(x) =13 EMBED Equation.3 1415 в точці 1.
Відповідь: а) 2; б) 3; в) -1; г) 13 EMBED Equation.3 1415.
№ 2. Користуючись означенням похідної, знайдіть f'(x), якщо:
a) f(x) = 2х + 3; б) f(x) = х2 + х;
в) f(x) = 5х2 + 6х; г) f(x) = 3х2 + 5х + 6.
Відповідь: а) 2; б) 2х + 1; в) 10х + 6; г) 6х + 5.

№ 3. За допомогою формули (kx + b)' = k, знайдіть похідні функції:
a) f(x) = 3х + 4; б) f(x) = 6х - 1;
в) f(x) = 10; г) f(x) = 5х.
Відповідь: а) 3; б) 6; в) 0; г) 5.

№ 4. Точка рухається по закону s(t) = 1 + 2t2 (м). Знайдіть швидкість руху точки в момент часу t = 1 с.
Відповідь: 4 13 EMBED Equation.3 1415.
№ 5. Знайдіть миттєву швидкість руху точки, якщо:
a) s(t) = 3t + 1; б) s(t) = 3 – 2t; в) s(t)=13 EMBED Equation.3 1415t2·, г)s(t) = 3t2.
Відповідь: а) 3; б) -2; в) 5t; г) 6t.
№6. Точка рухається прямолінійно за законом s(t) = 2t3 3t (s шлях в метрах, t час в секундах). Обчисліть швидкість руху точки:
а) в момент часу t; б) в момент t = 2 с.
Відповідь: а) (6t2 – 3)13 EMBED Equation.3 1415; б) 2113 EMBED Equation.3 1415.
№7. Рух точки відбувається за законом s(t) = t2 – 4t + 6. У який момент часу швидкість руху дорівнює: а) 0; б) 10?
Відповідь: а) t = 2; б) t = 7.
№8. Складіть рівняння дотичної до графіка функції у = х2 - 4х в точці xo = 1. Виконайте схематичний рисунок.
Розв'язання

y - yо = f '(xo)(x – xo) рівняння шуканої дотичної.
уo= 12 – 4
·1 = 1 – 4 = - 3.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.

4. Підставляємо значення xo = 1, yo = –3, f'(xo) = –2 у рівняння дотичної: y + 3 = –2(x – 1), або у = – 3 – 2x + 2, або y = –1 – 2х (рис. 28).

№ 9. Який кут (гострий чи тупий) утворює з додатним напрямом осі ОХ дотична до графіка функції: а) у = х2 + 2х в точці x = 1; б) у = х2 + 2х в точці x = -27
Відповідь: а) гострий; б) тупий.
№ 10. Запишіть рівняння дотичної до параболи у = 3х2 - 2 у точці:
а) xo = -2; б) xo = 0; в) xo = 1.
Відповіді: а) у = - 12х - 14; б) у = -2; в) у = 6х - 5.

Історична довідка
Знак
·х запровадив 1755 року Л.Ейлер. Цей знак утворено з грецької букви « дельта», оскільки латиною слово differentia – різниця , відмінність,починається з букви d.
Термін « похідна» (французьке derive`e) увів 1797 року французький математик Ж.Лагранж (1736-1813). Він запровадив символ f І(x). Інакше позначення для похідної dx запропонував в 1675 році Г.Лейбніц, якого справедливо вважають творцем сучасної символіки математичного
аналізу
VІ. Підведення підсумків уроку.
а) Дайте відповіді на запитання
1. Що називається похідною функції в точці хо .
2.Яка функція називається диференційованою в точці? на проміжку?
3.Схема знаходження похідної функції f(x) за означенням .
4.Геометричний зміст похідної. Кутовий коефіцієнт і кут нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці
5.Фізичний зміст похідної. Швидкість та прискорення прямолінійного руху.
б)Коментування діяльності учнів на уроці, виставляння оцінок

VІІ. Домашнє завдання.
Розділ 2. п.7 вивчити конспект
Самостійна робота с.77














Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 55Рисунок 67Рисунок 70Рисунок 73Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native