Практическая работа по теории вероятностей и математической статистике по теме: «Вычисление вероятностей по формуле Бернулли»
Учебная дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика»
специальность среднего профессионального образования
230401 Информационные системы (по отраслям)
Курс -3
Практическая работа
Тема: «Вычисление вероятностей по формуле Бернулли»
Методические указания и теоретические сведения к практической работе
Цель: 1) Расширение и углубление знаний о вероятности события при независимых испытаниях.
2) Формирование умений решать задачи на нахождение вероятности с использованием формулы Бернулли
3) Формированию ОК 2,3,4
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна p, то вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях m раз, выражается формулой Бернулли
Pn(m) = Cnk·pm·qn-m, где q = 1-p.
Число m0 называется наивероятнейшим числом наступлений события А в n испытаниях и равно целой части числа (n+1)p, а при целом (n+1)p наибольшее значение достигается при двух числах: m1=(n+1)p-1 и m2=(n+1)p. Если р≠0 и р≠1, то число m0 можно определить из двойного неравенства
np-q ≤ m0 ≤ np+p.
Задача 1.В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?Решение. Вероятность извлечения белого шара p=20/30=2/3 можно считать одной и той же во всех испытаниях; q=1-p=1/3. Используя формулу Бернулли, получаем
P4(2) = C42·p2·q2=(12/2)·(2/3)2·(1/3)2 = 8/27
Задача 2. Игральную кость бросили 10 раз. Какова вероятность, что число 3 выпадет два раза?
Решение. При одном броске вероятность выпадения тройки равна р = 1/6, а вероятность не выпадения равна 1-р = 5/6.
Каждый бросок - независимое испытание. Применим ф-лу Бернулли.
Рn(m)=Сnm pm(1-p)n-m, где n=10, m=2
Р= С102 ·(1/6)2 ·(5/6)8 = 10!/ (8!*2!)* 58/610 = 45*58/610 ≈0,29
Задача 3.Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трех раз?Решение. Здесь p=0,4, q=0,6. Имеем:
P10(0) = q10, P10(1) = 10pq9, P10(2) = 45p2q8, P10(3) = 120p3q7.
Вероятность того, что событие А появится не больше трех раз, равна
Р = P10(0) + P10(1) + P10(2) + P10(3) = q10+10pq9+45p2q8+120p3q7≈ 0,38 .
Задача 4.Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.Решение. Здесь n=25, p=0,7, q=0,3. Следовательно,
25·0,7-0,3 ≤ m0 ≤ 25·0,7 + 0,7, т.е. 17,2 ≤ m0 ≤ 18,2.
Так как m - целое число, то m0=18.
Содержание практической работы
Решите задачу:
Задача 1. Монету бросают 10 раз. Найдите вероятность, что герб выпадет:
1) 4 раза;
2) не менее 4 раз.
Решение.
1) Вероятность выпадения герба при одном броске равна 1/2, вероятность выпадения решки также равна 1/2.
Испытания Бернулли.
Р = С104 *(1/2)4*(1-1/2)10-4 = 10!/(4!*6!) * (1/2)10 = 10*9*8*7/(2*3*4) /210 = 210/1024 =
= 0,205078125≈ 0,205
2) Пусть Событие А = "Герб выпадет не менее 4-х раз".
Проще найти вероятность противоположного события (не А): "Герб выпадет менее 4-х раз". Т.е. 3 или 2 или 1 раз или ни разу. Обозначим Р(k) - вероятность того, что при 10 бросках герб выпадет k раз.
Р(3) = С103 *(1/2)10 = 10*9*8/6 /1024 = 120/1024
Р(2) = С102 *(1/2)10 = 10*9/2 /1024 = 45/1024
Р(1) = 10*(1/2)10 = 10/1024
Р(0) = 1*(1/2)10 = 1/1024
Р(не А) = Р(0)+Р(1)+Р(2)+Р(3) = (120+45+10+1)/1024 = 176/1024= 0,171875
Р(А) = 1 - Р(не А) = 1 - 0,171875 = 0,828125
Задача 2. Игральная кость бросается 6 раз. Какова вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза?
Решение.
Вероятность выпадения шестерки равна 1/6, а не выпадения 5/6. Имеем испытания Бернулли.
Р= С64*(1/4)2(5/6)6-2 = 6!/(4!*2!)* 1/16 * (5/6)4 = 15/16* 625/1296≈ 0,452
Задача 3. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных.
Решение. Вероятность изготовить стандартную деталь равна 1-0,11=0,89
По формуле Бернулли
Р=С54*0,894*0,111 = 5!/(4!*1!) *0,894*0,11= 5*0,6274*0,11=0,3451
Задача 4. Произведено 46 бросков одной игральной кости, каково наивероятнейшее количество выпадений шестерки?
Решение. Событие А - выпадение шестерки при одном испытании. Количество испытанийn=46.
При одном испытании вероятность наступления события А равна р=1/6, q=1-p = 5/6 - вероятность не наступления события А (выпадение не 6).
Число m называется наивероятнейшим числом наступления события А в серии из n независимых испытаний Бернулли (с вероятностью наступления события А, равной р в одном испытании) и определяется соотношением
np-q ≤ m ≤ np+p46*1/6 -5/6 ≤ m ≤ 46*1/6 +1/6
41/6 ≤ m ≤ 47/6
6,8 ≤ m ≤ 7,8
Ответ: 7.
Задача 5. Игральная кость бросается 21раз. Каково наиболее вероятное количество испытаний, в которых выпадет менее 4-х очков?
Решение. Событие А - выпадение 1, 2 или 3 при одном испытании. Количество испытанийn=21.
При одном испытании вероятность наступления события А равна 3/6=1/2.
р=1/2, q=1-p = 1/2 - вероятность не наступления события А (выпадение 4, 5 или 6).
Число m называется наивероятнейшим числом наступления события А в серии из nнезависимых испытаний Бернулли (с вероятностью наступления события А, равной рв одном испытании) и определяется соотношением
np-q ≤ m ≤ np+p21*0,5 -0,5 ≤ m ≤ 21*0,5 +0,5
10 ≤ m ≤ 11
Ответ: 10; 11.
Задача 6. Игральная кость бросается 16 раз. Найти наивероятнейшее число появления числа очков кратного трем.
Решение. Событие А - выпадение 3 или 6 при одном испытании. Количество испытаний 16.
При одном испытании вероятность наступления события А равна р=2/6=1/3, а вероятность не наступления равна q=1 -1/3 =2/3
np-q ≤ m ≤ np+p m-наивероятнейшее число наступления события А.
n=16 p=1/3 q=2/3
16*1/3 - 2/3 ≤ m ≤ 16*1/3 + 1/3
14/3 ≤ m ≤ 17/3
4,7 ≤ m ≤ 5,6 m=5
Ответ: 5
Задача 7. Вероятность изготовления изделия высшего сорта равна 0,87. Чему равно наиболее вероятное число изделий высшего сорта в партии из 100
изделий.
Решение. Событие А - изготовлено изделие высшего сорта, вероятность наступления события А р=0,87, вероятность не наступления события А q=1-0,87=0,13.
n=100 - количество испытаний Бернулли (количество изготовленных изделий).
m - наивероятнейшее число изделий высшего сорта
np-q ≤ m ≤ np+p100*0,87 - 0,13 ≤ m ≤ 100*0,87 + 0,87
87-0,13 ≤ m ≤ 87 +0,87
m=87
Задача 8. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.
Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности, . По формуле Бернулли требуемая вероятность равна .
Задача 9. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.
Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - «появление нестандартной детали», его вероятность , тогда . Отсюда по формуле Бернулли находим.
Задача 10. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.
Решение. Вычисляем по формуле Бернулли:
Задача 11. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника три партии из четырех или пять партий из восьми (ничьи в отдельных партиях исключены)?
Решение. Пусть p - вероятность выигрыша, а q HYPERLINK "http://mytwims.narod.ru/wh/zh.htm" \l "14" \t "Help" = 1 - p - вероятность проигрыша одной партии, тогда по формуле Бернулли
Pn(m) = HYPERLINK "http://mytwims.narod.ru/wh/dh.htm" \l "ChSo" \t "Help" Cnmpmqn-mесть вероятность ровно m выигрышей в турнире из n партий. По условию задачи p = 1/2. Для такого значения p требуется сравнить вероятности P4(3) и P8(5). Имеем:
P4(3)
P8(5) = C43(1/2)3(1/2)
C85(1/2)5(1/2)3 = 24 C43
C85 = 8 / 7 > 1.
Следовательно, P4(3) > P8(5).
Итак, у равносильного противника легче выиграть три партии из четырех, чем пять партий из восьми.