Обобщающий урок по теме: «Геометрический и физический смысл производной»

Безниско В.В.
Обобщающий урок по теме:
«Геометрический и физический смысл производной»
Цели урока:
дидактические: обобщить теоретический материал по теме: «Геометрический и физический смысл производной. Применение производной», рассмотреть решения типичных задач;
развивающие: развивать умение анализировать и систематизировать имеющуюся информацию;
воспитательные: формировать умение оценивать свой уровень знаний и стремление его повышать.
Ход урока.
I этап урока – организационный момент
II этап урока - повторение основных теоретических знаний.
3 ученика выписывают на доске основные формулы
1-й: таблица производных основных функций
2-й: правила дифференцирования
3-й: уравнение касательной и формулы геометрического и физического смысла производной.
В это время с остальными учащимися проводится опрос:
Определение производной?
Уравнение прямой?
Угловой коэффициент прямой как тангенс угла наклона?
Тангенс в прямоугольном треугольнике?
Какой функцией является тангенс возрастающей или убывающей?
Условие параллельности двух прямых?
Условие параллельности прямой и оси ox?
III этап урока - геометрический и физический смысл производной. Решение типичных задач на примере прототипов ЕГЭ.
Прототип задания 7 (№ 119976)




Материальная точка движется прямолинейно по закону , где   расстояние от точки отсчета в метрах,   время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.
Решение:
Используя физический смысл производной, находим

·(t)=x'(t)=( 13 QUOTE 1415)'=13 QUOTE 1415
По условию t=6. Находим
·(6)

·(6)=13 QUOTE 1415 = 20 (м/с)
Ответ: 20


Прототип задания 7 (№ 119979)




Материальная точка движется прямолинейно по закону , где   расстояние от точки отсчета в метрах, время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Решение:
Используя физический смысл производной, находим

·(t)=x'(t)=( 13 QUOTE 1415)'=13 QUOTE 1415 По условию
·=2 м/с.
Решаем уравнение:


t1=7 t2=-1
t>0(время), значит t=7

Ответ: 7

Прототип задания 7 (№ 27486)




Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
Решение:
Используя геометрический смысл производной, находим
k = y'(x0) = (x3 + 7x2 + 7x – 6)' =3x2+14x + 7

По условию прямая y=-4x-11 является касательной. Значит k = -4.
Решаем уравнение:
3x2+14x + 7= -4
3x2+14x + 11 = 0
x1 = -1 , x2 = -11/3
Из полученных двух корней только точка с абсциссой -1 принадлежит и касательной и графику функции.
Ответ: -1

Прототип задания 7 (№ 27504)




На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .


Решение:
Используя геометрический смысл производной, находим
y'(x0) = k = tg
·=BC/AC = 0,25 (Из прямоугольного треугольника ABC)

Ответ: 0,25

Прототип задания 7 (№ 27487)




На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.



Решение:
Используя геометрический смысл производной
y'(x0) = k. В точках с абсциссами -2, -1, 5 и 6 касательная возрастает значит k>0
т.е. производная положительная в этих точках

Ответ: 4





IV этап урока - самостоятельная работа.
V этап урока - подведение итогов урока.
Рисунок 11Рисунок 3Рисунок 2Рисунок 1Рисунок 19Рисунок 111Рисунок 110Рисунок 109Рисунок 108Рисунок 1Рисунок 15(-6; 8)Рисунок 14(-6; 8)15