Конспект урока: «Геометрический смысл производной»

Конспект урока по алгебре для учащихся 11 класса средних общеобразовательных учреждений.
Выполнила: Тельгаева Т. А.
Тема урока: «Геометрический смысл производной».
Цель:
- образовательная: закрепить знания по теме «Геометрический смысл производной»;
- развивающая: развитие умения правильно излагать свои мысли, умения анализировать, выделять главное, обобщать и делать выводы;
- воспитательная: воспитание внимания, аккуратности, дисциплинированности, добросовестного отношения к работе, интереса к предмету.
Тип урока: закрепления изученного материала.
Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный, индуктивно-репродуктивный.
Требования к знаниям, умениям, навыкам:
- учащиеся должны знать геометрический смысл производной, алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции;
- учащиеся должны уметь находить угол между осью Ох и касательной к графику функции, уравнение касательной графику функции.
Литература:
«Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» под ред. А. Б. Жижченко, М.: Просвещение, 2009 г., 341 с.;
«Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов», Б. Г. Зив, В. А. Гольдич, М: 2008 г., 216 с.;
Рабочая программа по алгебре. Учебник: Ю. М. Колягин.
План урока:
Организационный момент (2 мин.)
Актуализация знаний (7 мин.)
Решение задач (33 мин.)
Подведение итогов и домашнее задание (3мин.)
Ход урока
Организационный момент включает в себя приветствие учителем класса, проверку отсутствующих, готовность помещения к уроку.
Учитель: На прошлом уроке мы начали изучать новую тему «Геометрический смысл производной». Сегодня на уроке мы закрепим полученные знания решением задач.
Сначала давайте вспомним, в чем заключается геометрический смысл производной?
Ученик: Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции f(x) в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке (x0; f(x0)).
Учитель: Чему равен угловой коэффициент касательной?
Ученик: Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла между касательной и осью Ох, а также производной функции f(x).
Учитель: Каков алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции?
Ученик: 1) находим производную функции, 2) находим значение функции в данной точке, 3) находим значение производной в данной точке, 4) подставляем полученные значения в формулу y = f(x0) + f΄(x0)(x - x0).
Учитель: Записать на доске формулу производной суммы двух функций.
Ученик: (u + v)΄ = u΄ + v΄
Учитель: Записать на доске производную произведения двух функций.
Ученик: (uv)΄ = u΄v + uv΄
Учитель: Записать на доске производную частного двух функций.
Ученик: (uv)΄= u΄v- uv΄v2Учитель: Чему равно значение тангенса угла π4?
Ученик: tg π4 = 1.
Учитель: Чему равно значение тангенса угла π3?
Ученик: tg π6 = 13.
Учитель: Чему равно значение тангенса угла π3?
Ученик: tg π3 = 3.
Учитель: Переходим к решению задач. Выполним на доске и в тетрадях номер 92 (четн).
Ученик: №92. Найти угол между осью Ох и касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x0, если:
2) f(x) = 13x3, x0 = 1.
(Запись на доске и в тетрадях)
Решение:
f΄(x) = x2
f΄(x0) = 1
tg α = 1
α = arctg 1 = π4Ответ: α = π4Система вопросов к задаче:
1) Как найти угол между осью Ох и касательной к графику функции?
2) Чему равен тангенс угла между касательной к графику функции и осью Ох?
4) f(x) = 2x, x0 = 3
(Запись на доске и в тетрадях)
Решение:
f΄(x) = 1xf΄(x0) = 13tg α = 13α = arctg 13 = π6Ответ: α = π6Система вопросов к задаче:
1) Как найти угол между осью Ох и касательной к графику функции?
2) Чему равен тангенс угла между касательной к графику функции и осью Ох?
6) f(x) = x- 1x, x0 = 1
(Запись на доске и в тетрадях)
Решение:
f΄(x) = 12x+ 12xxf΄(x0) = 1
tg α = 1
α = arctg 1 = π4Ответ: α = π4Система вопросов к задаче:
1) Как найти угол между осью Ох и касательной к графику функции?
2) Чему равен тангенс угла между касательной к графику функции и осью Ох?
Учитель: Следующий номер №94 (четн).
Ученик: №94. Написать уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x0, если:
2) f(x) = 6x – 3x2, x0 = 2
(Запись на доске и в тетрадях)
Решение:
f΄(x) = 6 – 6x
f(x0) = 0
f΄(x0) = -6
y = 0 + (-6)(x – 2) = -6x + 12
Ответ: y = -6x + 12 Система вопросов к задаче:
1) Каков алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции?

f(x) = 1x2, x0 = -2
(Запись на доске и в тетрадях)
Решение:
f΄(x) = - 2x3f(x0) = 14f΄(x0) = 14y = 14 + 14 (x + 2) = 14x + 34Ответ: y = 14x + 34Система вопросов к задаче:
1) Каков алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции?
6)f(x) = ex
(Запись на доске и в тетрадях)
Решение:
f΄(x) = exf(x0) = 1
f΄(x0) = 1
y = 1 + 1 (x - 0) = x + 1
Ответ: y = x + 1 Система вопросов к задаче:
1) Каков алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции?

8) f(x) = x, x0 = 1
(Запись на доске и в тетрадях)
Решение:
f΄(x) = 12xf(x0) = 1
f΄(x0) = 12y = 1 + 12 (x - 1) = 12x + 12Ответ: y = 12x + 12Система вопросов к задаче:
1) Каков алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции?
Учитель: Следующий номер №95 (четн).
Ученик: №95. Написать уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х = 0, если:
2) f(x) = 3x+1(Запись на доске и в тетрадях)
Решение:
f΄(x) = 133(x+1)2f(x0) = 1
f΄(x0) = 13y = 1 + 13 (x - 0) = 13x + 1
Ответ: y = 13x + 1
Система вопросов к задаче:
1) Каков алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции?
4)f(x) = x + 1x+1(Запись на доске и в тетрадях)
Решение:
f΄(x) = 1 - 1x+1f(x0) = 1
f΄(x0) = 0
y = 1 + 0(x - 0) = 1
Ответ: y = 1
Система вопросов к задаче:
1) Каков алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции?
6)f(x) = sin2x – ln(x+1)
(Запись на доске и в тетрадях)
Решение:
f΄(x) = 2cos2x - 1x+1f(x0) = 0
f΄(x0) = 1
y = 0 + 1 (x - 0) = x
Ответ: y = x
Система вопросов к задаче:
1) Каков алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции?
Учитель: Итак, сегодня на уроке научились находить угол между осью Ох и касательной к графику функции, а также находить уравнение касательной к графику функции.
Давайте обобщим, как составить уравнение касательной к графику функции?
Ученик: составить уравнение касательной можно по алгоритму:
найти производную функции;
найти значение функции в данной точке;
найти значение производной в точке;
Подставить найденные значения в формулу:
y = f(x0) + f΄(x0)(x-x0).
Учитель: Как найти угол между осью Ох и касательной к графику функции?
Ученик: Чтобы найти угол между осью Ох и касательной, нужно найти угловой коэффициент, равный тангенсу угла между касательной и осью Ох, а затем найти сам угол.
Учитель: Домашнее задание: §8, №92 (неч), 94 (неч), 95 (неч).
Урок окончен!