Методика изучения показательной функции в школьном курсе математики
Методика изучения показательной функции в школьном курсе математики
Изучение показательной функции в школе начинается с того, что рассматриваются процессы из жизни, приводящие к понятию показательной функции. Рассмотрим некоторые из них:
Рост числа бактерий в идеальных условиях происходит по такой зависимости:
N=5t , где t – время размножения, N – число колоний бактерий
радиоактивный распад веществ : если при радиоактивном распаде количество вещества за сутки уменьшается в двое, то тогда мо истечению x суток масса будет М=М0(12)x.
Рост древесины происходит по законуA- изменение количества древесины во времени;A0- начальное количество древесины; t-время, к, а- некоторые постоянные.
Давление воздуха убывает с высотой по закону: P- давление на высоте h,P0 - давление на уровне моря,а- некоторая постоянная.
После рассмотрения примеров мы должны выйти на определение показательной функции. Задаем вопрос учащимся: «Что общего определяет эти процессы?» Таким образом, выходим на определение.
Определение: Функция вида y=ax при a>0, a≠1 называется показательной функцией.
Следующим этапом в схеме изучения любой функции является исследование ее свойств. Изучение свойств будет проходить на фокус - примерах: y=2x и y=(12)x.
Сначала будем рассматривать функции y=2x План исследования функции.
Область определения функции;
Нули функции;
Четность (нечетность);
Промежутки возрастания и убывания функции;
Построение графика.
Часть свойств изучается аналитически, часть считывается с графика, принимая без доказательств.
Область определения функции (аналитически)
Неизвестная величина, или аргумент стоит в показателе степени, следовательно, при любом значении х мы можем всегда найти у, следовательно, D(у)= множество R чисел.
Нули функции (аналитически)
если x=0, то у=1; случая, когда у=0 быть не может, так как не существует такого значения х, чтобы при возведении в степень было равным 0. Переведем полученный результат на графический язык: график функции у=2х пересекает ось ординат в точке (0;1), но не пересекает ось абсцисс. Делаем вывод о том, что график функции располагается выше оси ОХ и эта ось является горизонтальной асимптотой.
Четность (аналитически)
Проверяем, выполняются ли условия четности и нечетности для функции у=2х .
F(-x)=y(-x)=(12)-x=2x, то есть данная функция ни четная ни нечетная.
Проиллюстрируем это свойство на примере : x=-1 и x=1, соответственно у=2 и у = 12.
Делаем вывод о том, что график функции не симметричен относительно оси ОУ.
Построение графика функции (по точкам).
Строить график будем по выбранным значения х будем находить значения у.
В качестве х возьмем точки: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
Построим в системе координат точечный график, опираясь на выше исследованные свойства.
Необходимо доступно объяснить, что построенные точки мы имеем право соединить плавной линией. Это устанавливается при помощи приближенного вычисления.
Если аргументу х придать рациональное значение, то в принципе 2хвычислить можно. А если аргументу х придать иррациональное значение? Как, например, вычислить 23 ?Математики нашли выход из положения; вот как они рассуждали.
Известно, что 3 = 1,7320508... Рассмотрим последовательность
рациональных чисел — десятичных приближений числа 3 по не-
недостатку:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;...
Ясно, что 1,732 = 1,7320, а 1,732050 = 1,73205. Во избежание
подобных повторов отбросим те члены последовательности, которые заканчиваются цифрой 0. Тогда получим возрастающую последовательность:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .
Соответственно возрастает и последовательность
21, 21,7,21,78, 21,782, 21,782,21,78205,21,7820508,… Все члены этой последовательности — положительные числа, меньшие, чем 22, т.е. эта последовательность — ограниченная. А по теореме Вейерштрасса, если последовательность возрастает и ограничена, то она сходится. Кроме того, нам известно, что если последовательность сходится, то только к одному пределу. Этот единственный предел договорились считать значением числового выражения 23 . И неважно, что найти даже приближенное значение числового выражения 23 очень трудно; важно, что это — конкретное число.
Итак, мы выяснили, какой смысл вкладывают математики в символ 23 . Аналогично можно определить, что такое 3-47, 2,5π и т.д.
Теперь мы можем говорить не только о степенях с произвольными рациональными показателями, но и о степенях с произвольными действительными показателями. Но самое главное, что теперь мы можем говорить о функции
у=ах, определенной на множестве всех действительных чисел.
Вернемся к функции у = 2х, теперь мы уверенно можем соединить построенные точки плавной линией.
Осталось исследовать еще одно свойство, возрастания и убывания функции. Это свойство считаем с графика и докажем его аналитически:
Функция возрастает на всей числовой прямой, т.е. большему значению аргумента из ее области определения соответствует большее значение функции, или если x2>x12x2 и 2x1Рассмотрим разность двух выражений:
2x2-2x1=2x1(2x2-x1-1)>0, 2x1>0, x2-x1>0,2x2-x1 >1, следовательно разность в скобках больше 1.
Функция у =2х возрастает на промежутке (-∞;+∞), так как на всем промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции (значения функции растут при движении слева на право).
Данный результат можно записать так: x2>x1, то a2x>a1xПутем вычислений значений функции у =2х , докажем, что она возрастает неограниченно.
232<264<277<…На графике увидим, что равным значениям аргумента соответствуют неравные приращения функции
∆x1=∆x2=∆x3=…∆xn∆у1<∆у2<∆у3…<∆уn∆x1≠∆y1,…
Итак, запишем все основные свойства показательной функции у=2х:
Д(у)=R; Е(у)=(0;+∞)
Нули функции: х=0,у=1;
Функция является ни четной ни нечетной;
Возрастающая на всей области определения;
Если x<0, у <1,
х>0, y>1.
Аналогичная работа строится для исследования функции у =,
Итак, запишем все основные свойства показательной функции у=12x:
Д(у)=R; Е(у)=(0;+∞);
Нули функции: х=0,у=1;
Функция является ни четной ни нечетной;
Убывающая на всей области определения;
Если x<0, у >1,
х>0, y<1.
После полученных исследований замечаем, что все свойства одинаковы, кроме возрастания и промежутков знакопостоянства. Это основной вывод, который должны усвоить дети.
Дальше обобщаем полученные выводы:
Если основание 0<a<0, то показательная функция y=ax монотонно убывает на всей области определения;
Если a>0, то показательная функция y=ax монотонно возрастает на всей области определения.
Дальнейшее изучение показательных функций сводится к решению показательных уравнений и неравенств.