Исследовательский материал Как научиться быстро считать

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа №12
Как быстро считать
Естественнонаучное отделение
Секция математики
2015 Оглавление
Аннотация__________________________________________________3
Введение___________________________________________________4
Глава 1. Обзор литературы.
1.1 Без устного счета не обойтись____________________________5
1.2 Общие приемы быстрого счета___________________________6
1.3 Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел_6
1.4 Способы быстрого умножения и деления натуральных чисел__7
1.5 «Развивайте свое мышление и воображение»________________9
Глава 2. Материалы и методы исследований
2.1 Анкетирование учащихся_______________________________10
2.2 Опрос людей разных профессий_________________________10
2.3 Эксперимент. Правильность счета. Скорость счета__________12
Глава 3. Результаты исследований.
3.1 Результаты анкеты________________________________________12
3.2 Результаты опроса________________________________________13
3.3 Результаты эксперимента__________________________________13
Выводы____________________________________________________18
Литература_________________________________________________19
Аннотация
Что такое устный счет? Это математические вычисления, проведенные в голове человека без использования дополнительных устройств – калькулятор, компьютер, счеты, и разных приспособлений – карандаш, бумага, ручка…
Некоторые думают: «Зачем считать устно, если для этого есть калькулятор?» Но, во-первых, он не всегда оказывается под рукой. Во-вторых, значение определенных математических закономерностей иногда позволяет опередить умную машину. Умение считать в уме остается полезным навыком для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него.
В своей работе я хочу показать, что если знать приемы рационального счета, то не нужно быть гением, чтобы выполнять вычисления без калькулятора и даже без карандаша и бумаги. Для этого я изучила рациональные приемы устного счета, провела опрос, эксперимент на скорость счета, анкетирование, сделала обобщение и выводы.
При выполнении работы были использованы следующие приемы и методы:
Поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также сети Интернет.
Практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета.
Опрос, анкетирование и эксперимент, анализ и статистическая обработка полученных в ходе исследования данных.
Овладение приемами устного счета позволит повысить качество и скорость вычислений пятиклассников и шестиклассников.
Введение
Когда многие современные родители сами учились в школе, калькуляторами на уроках тогда не пользовались. И даже самый нерадивый ученик без проблем мог в уме умножить 8 на 14. Сейчас же в школах дети при необходимости каких-то вычислений сразу же достают мобильные телефоны и начинают считать.
Актуальность моего исследования состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и все большее количество учеников не может считать устно. А ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания
сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека.
К тому же большинство учащихся имеют недостаточно знаний о нестандартных приемах формирования вычислительных навыков. Наконец, устный счет развивает память, быстроту реакции, вырабатывает умение сосредоточиться.
Цель исследования: изучение приемов быстрого счета и исследование причин необходимости его применения в различных ситуациях.
Задачи:
выявить причины отказа современных учеников от устного счета;
рассмотреть некоторые приемы устных вычислений и на конкретных примерах показать преимущества их использования;
исследовать, часто ли мы используем правила счета в жизненных ситуациях.
Чтобы исследовать данную проблему, мне пришлось посетить библиотеку, проконсультироваться с учителями нашей школы, родителями, провести анкетирование с последующей обработкой результатов, опросы, эксперимент, искать информацию в сети Интернет.
Глава 1. Обзор литературы
1.1 Без устного счета не обойтись
Современные люди привыкли пользоваться калькуляторами и почти разучились считать устно. По мнению японских ученых, массовое использование в повседневной жизни калькуляторов привело к появлению тенденции снижения умственных способностей у современного поколения.
Многие забыли, что основные приемы устных вычислений способны активизировать мыслительную деятельность, развивать способность воспринимать на слух сказанное, тренировать память, речь, повышать внимание и быстроту реакции. Да и стыдно как-то не посчитать, сколько сдачи должны дать в магазине, или прикинуть в уме, сколько кафельной плитки нужно купить в ванную или сколько набрать петель, чтобы связать варежку.
Все люди пользуются счётом. Дети считают конфеты, ученики считают примеры, взрослые считают деньги, прибыль, приход, расход, пенсионеры считают прибавку к пенсии и так далее. В общем: без устного счёта не обойтись! А чтобы считать быстро, нужно знать правила.
Как научиться, быстро считать в уме? По мнению известного советского ученого Бугулова Е.А. для этого вовсе не надо быть математическим гением. Об этом он говорит в своей книге «Приемы быстрого счета». Рассмотрим несложные правила и методы счета в уме, чтобы значительно увеличить скорость вычислений.

Способы быстрых вычислений.
1.2 Общие приемы быстрого счета.
Сложение чисел по частям:
67 + 24 = 67 + 3 + 21 = 91.
Сложение по разрядам:
54 + 35 = (50 + 30) + (4 + 5) = 80 + 9 = 89.
Перестановка сомножителей:
125 · 13 · 8 = 125 · 8 · 13 = 1000 · 13 = 13000.
Умножение по разрядам:
235 · 5 = 200 · 5 + 30 · 5 + 5 · 5 = 1000 + 150 + 25 = 1175.
Дополнение до круглого числа:
98 · 15 = (100 -  2) · 15 = 100 · 15 – 2 · 15 = 1500 – 30 = 1470.
Округление вычитаемого или уменьшаемого:
574 – 289 = 574 – 300 + 11 = 285.
1.3 Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел
Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы нужно вычесть столько же единиц.
Пример.
364 + 592 = 364 + (592 + 8) – 8 = 364 + 600 – 8 = 956.
Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.
Пример.
997 + 856 = (997 + 3) + (856 – 3) = 1000 + 853 =1853.
Если вычитаемое увеличить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится.
Пример.
1351 – 994 = (1351 + 6) – (994 + 6) = 1357 – 1000 = 357.
Если от суммы двух чисел отнять разность тех же чисел, то получится удвоенное меньшее число, т.е. (а + в) — (а — в) = 2в.
Пример.
( 57 + 23) - (57 - 23)  = 2∙23 = 46.
       
Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то получится удвоенное большее число, т.е. (а + в) + (а - в) = 2а
Пример.
(57 + 28) + (57 — 28) = 2 ∙ 57 = 114.
1.4 Способы быстрого умножения и деления натуральных чисел
Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания.
Пример.  
8 ∙ 318 = 8 ∙ ( 310 + 8 ) = 2480 + 64 = 2544
 Пример.
 7 ∙ 196 = 7 ∙ ( 200 — 4 ) = 1400 — 28 = 1372.
Умножение методом Ферроля. Для получения единиц произведения перемножают единицы множителей, для получения десятков умножают десятки одного на единицы другого множителя и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки.
Методом Ферроля легко перемножать устно двузначные числа от 10 до 20.
Пример.
12 ∙ 14 = 168. Умножаем так:
а) 1 ∙ 1 = 1; б) 1 ∙ 2 + 1 ∙ 4 = 6; в) 2 · 4 = 8.
Умножение на 11. Записать последнюю цифру числа (цифру из разряда единиц), затем последовательно, справа налево записать суммы соседних двух цифр множимого и, наконец, первую цифру множимого.
Пример.
54 ∙ 11 = 594           а) пишем 4; б) 4 + 5 = 9, пишем 9;  в) пишем 5.
Умножение на 5, 25, 125. Разделить число соответственно на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100 или 1000.
Пример.
48 ∙ 5 = 48 : 2 ∙ 10 = 240.
Пример.
56 ∙ 25 =  56 : 4 ∙100 = 1400
Пример.
32 ∙ 125 = 32 : 8 ∙ 1000 = 40000
Если множитель не делится на 2, 4, 8, то деление производить с остатком, затем частное умножить на 10, 100, 1000, а остаток — на 5, 25, 125.
Пример.
53 ∙ 5 = 26 ∙ 10 + 1 ∙ 5 =265 (53 : 2 = 26 и 1 в остатке);
Пример.
43 ∙ 25 =  10 ∙ 100 + 3 ∙ 25 = 1075 (43 : 4 = 10 и 3 в остатке);
Пример.
66 ∙ 125 = 8 ∙ 1000 + 2 ∙ 125 = 8250 (66 : 8 = 8 и 2 в остатке).
Деление на 5, 25, 125. Умножить на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000.
Пример.
220 : 5 = 220 ∙ 2 : 10 = 440 : 10 = 44.
Пример.
1300 : 25 = 1300 ∙ 4 : 100= 52
Пример.
9250 : 125 = 9250 ∙ 8 : 1000 = 74.
Иногда удобнее сначала делить, а потом умножать.
Пример.
1300 : 100 ∙ 4 = 52.
Умножение на 9, 99, 999. К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, а затем вычесть первый множитель.
Пример.
286 ∙ 9 = 2860 — 286 = 2574.
Пример.
23 ∙ 99 = 2300 — 23 = 2277.
Пример.
18 ∙ 999 = 18000 — 18 = 17972.
1.5 «Развивайте свое мышление и воображение».
Известный психолог и доктор педагогических наук, Лев Моисеевич Фридман считает, что некоторые задачи полезно решать в уме, для того, чтобы развить свое воображение. В окружающем нас мире нет чисел, нет уравнений, нет формул, но имеются предметы, их количество и свойства. Но чтобы сделать эти предметы математическими объектами, потребовалась огромная работа человеческого разума.
Поэтому овладение математикой требует развитого воображения и мышления. Фридман приводит много задач, решение которых поможет развить эти качества. Рассмотрим некоторые из них.
1. После того как пешеход прошел 1 км и половину оставшегося пути, ему осталось пройти треть всего пути и 1 км. Как велик весь путь?
Решение. Половина оставшегося пути будет равна трети всего пути и 1 км. Если весь путь принять за х км, то можем составить выражение:
1 км + (13 х + 1км) + (13 х + 1 км). Откуда легко догадаться, что третья часть пути равна 3, км. 3 ∙ 3 = 9 (км).
2. Две мухи соревнуются между собой. Они бегут от пола к потолку, а затем обратно. Первая муха бежит и вверх и вниз с одинаковой скоростью. Вторая муха бежит вниз вдвое быстрее, чем первая. А вверх она бежит вдвое медленнее. Какая из мух прибежит первой?
Решение. На первый взгляд, кажется, что мухи прибегут одновременно, но на самом деле все не так. Для правильного решения достаточно понять, что произойдет на первом этапе соревнования - от пола к потолку. Первая муха достигнет потолка, а вторая будет только на половине пути к потолку. И первая уже достигнет пола, когда вторая только достигнет потолка. Следовательно, первая муха прибежит первой.Конец формы
Глава 2. Материалы и методы исследований
2.1 Анкетирование учащихся.
Для того чтобы определить, знают ли современные школьники нестандартные формы вычисления было проведено анкетирование учащихся 5-х, 6 -х классов нашей школы. В анкетировании приняли участие 42 человека. Задавала ребятам простые вопросы.
Зачем современному человеку нужно уметь считать устно?
При изучении каких школьных предметов ты применял устный счет?
Считаешь ли ты, что от устного счета нужно отказаться и считать только с помощью калькулятора?
Применяешь ли ты при устных вычислениях приемы быстрого счета или предпочитаешь калькулятор?
Хотели бы вы узнать новые приемы устного счета?
2.2 Опрос людей разных профессий.
Кроме школьников я провела опрос взрослых людей: нужен ли устный счет им на работе? Вот что они ответили.
Продавец: от умения правильно и быстро посчитать и отдать сдачу, зависит репутация и денежное благополучие продавца. Чем хуже продавец считает, тем чаще ошибается. Ошибаясь в свою пользу, продавец вызывает недоверие покупателей, а в обратном случае возникает недостача.
Приведу пример: берем 1000 рублей у покупателя и кладем её перед собой. Из кассы набираем сдачу, всегда начиная с мелочи. Отсчитываем путем прибавления - сумма покупки равна 325 +5 до 330, дальше 330+20 до 350, 350+ 50 до 400, 400+100 до 500 и наконец, 500+500 до тысячи. На деле этот расчет совершенно не требует усилий и доходит до автоматизма через несколько дней с начала использования. Набрав деньги из кассы повторяем весь этот расчет выкладывая сдачу покупателю и заодно перепроверяем себя.
Так считают сдачу настоящие продавцы. Этот метод подсчета практически исключает возможность ошибиться на сдаче.
Врач: Математика всем нужна… и врачам тоже. В медицине постоянно приходится делать математические расчеты. Врач должен уметь вычислять проценты, концентрацию растворов, решать пропорции, использовать статистические данные, рассчитывать прибавку массы и роста ребенка т.д.. Смешно видеть если человек не может в уме решить такую задачу: «Сто ампул по пять штук в коробке – это сколько коробок будет?»
Повар: для приготовления любого блюда должен соблюдаться рецепт т.е. взять продукты в определенной пропорции. Для этого нужно уметь переводить одни единицы массы в другие. То же и со временем приготовления блюд. Повару нужна хорошая и продолжительная память, для того, чтобы свободно ориентироваться в свойствах продуктов и содержании калорий в них, а также запоминать рецепты различных блюд. Вы можете представить человека, стоящего у плиты с калькулятором в руках? При приготовлении различного объема блюд приходится делать пересчет количества ингредиентов и повар делает это в уме. От этого зависит вкус и качество блюда.
Электрик: Иногда требуется рассчитать сечение кабеля, ток и напряжение. Без навыков быстро считать в уме работа может замедлиться.
Ученица музыкальной школы: в музыке приходится делать расчет интервалов (прима, секунда, терция, кварта, квинта и т.д.) длительность нот(половинные, четвертные и т.д.), темп.
2.3 Эксперимент. Правильность счета. Скорость счета.
Изучив в литературных источниках приемы устного счета, я отобрала самые распространенные и общедоступные. По согласованию с учителем математики, я составила небольшую самостоятельную работу, опираясь на данные свойства. На уроке, с разрешения учителя, я провела письменный опрос на устный счет в 5А и 6А классах. Главное условие – все вычисления ребята должны проводить в уме, а записывать только результат. Его результаты приведены ниже. Затем я показала одноклассникам те приемы, которые можно было применить, и через некоторое время вновь провела опрос. Также я провела эксперимент на скорость счета.
Глава 3. Результаты исследований.
3.1 Результаты анкеты.
Анкетирование показало такие ответы на вопросы (некоторые учащиеся перечисляли несколько ответов):
1. Зачем нужно уметь считать?
а) чтобы хорошо учиться в школе - 43%
б) пригодится в жизни - 29%
в) чтобы быстро решать примеры и задачи - 33%
г) пригодится в будущей профессии - 60%
д) чтобы быть умным – 12%
2. Перечисли, при изучении каких школьных предметов тебе приходилось считать?
Математика - 100%
Технология -  74%  
Музыка -   19% 
Физическая культура - 57%   
ОБЖ - 29%   
Информатика – 69%    
 Русский язык – 31%  
Литература – 19%
3. Считаешь ли ты, что от устного счета нужно отказаться и считать только на калькуляторе?
Нет – 93%
Да – 7%
4. Применяешь ли ты при вычислениях приемы быстрого счета или предпочитаешь калькулятор?
Да, применяю устный счет часто, особенно на уроках математики – 76%
Да, применяю устный счет, но неохотно – 17%
Нет – 7%
5. Хотели бы вы узнать приемы быстрого счета, чтобы быстро считать?
Да – 83%
Нет – 2%
Да, но для этого нужно время – 15%
3.2 Результаты опроса.
Все опрашиваемые подтвердили предположение, что для многих профессий умение считать в уме имеет большое значение.
3.3 Результаты эксперимента.
Правильность счета.
1. Результаты опроса в 5А классе. Участие приняли 20 человек из 25.
№ Количество правильных ответов при первом опросе Количество правильных ответов при повторном опросе
1 9 12
2 7 9
3 15 17
4 10 13
5 8 11
6 15 16
7 8 10
Сравнение в 5А классе

2. Результаты опроса в 6А классе.
№ Количество правильных ответов при первом опросе Количество правильных ответов при повторном опросе
1 15 18
2 11 16
3 13 16
4 9 19
5 9 20
6 16 16
7 15 17
Сравнение в 6А классе

Скорость счета.
1. Скорость счета в (сек.) в 6А классе при первой проверке. Участие принимали 7 человек.
№ Примеры Кирилл Никита Дима Ульяна Алёна Алина Соня
1 221 + 427 + 373 4:18 2:42 3:82 16:00 15:19 14:82 24:78
2 (6112 + 1596) - 496 8:25 3:22 25:90 29:01 31:95 32:49 13:83
3 483 ∙ 2 ∙ 5 3:55 5:68 4:53 5:03 8:60 10:58 20:70
4 154 ∙ 8 8:54 10:09 17:24 12:57 6:96 19:10 9:59
5 125 ∙ 23 ∙ 8 10:02 12:37 15:58 16:25 14:08 16:00 14:01
6 84 : 6 3:79 1:46 10:00 13:62 12:68 9:44 15:83
7 216 : 12 11:07 13:12 15:21 12:31 11:81 14:22 16:87
2. Скорость счета в (сек.) в 6А классе при повторной проверке.
№ Примеры Кирилл Никита Дима Ульяна Алёна Алина Соня
1 221 + 427 + 373 3:42 2:31 3:29 15:78 13:96 13:16 21:53
2 (6112 + 1596) - 496 6:13 3:03 23:54 25:27 28:31 19:57 12:76
3 483 ∙ 2 ∙ 5 3:21 4:67 4:61 5:00 8:38 9:63 14:23
4 154 ∙ 8 7:42 8:49 8:29 6:85 5:83 7:68 7:18
5 125 ∙ 23 ∙ 8 3:14 5:72 8:71 10:48 12:27 8:24 9:87
6 84 : 6 1:89 1:53 8:12 12:68 11:76 10:61 14:03
7 216 : 12 8:36 11:45 14:65 11:89 11:95 13:69 13:91
Найдем среднее арифметическое для каждого примера.
№ Примеры Проверка №1 Проверка №2
1 221 + 427 + 373 11 : 6 10 : 49
2 (6112 + 1596) - 496 20 : 66 16 : 94
3 483 ∙ 2 ∙ 5 8 : 38 7 : 10
4 154 ∙ 8 12 : 01 7 : 39
5 125 ∙ 23 ∙ 8 14 : 04 8 : 35
6 84 : 6 9 : 54 8 : 66
7 216 : 12 13 : 52 12 : 27
Сравним результаты на диаграмме

Выводы
Обобщение литературного материала и результаты наблюдений показали, что:
1. Существует множество способов быстрых вычислений и в некоторых случаях человек со средними способностями может выполнять вычисления без калькулятора и вычислений в столбик. Умение считать в уме остается полезным навыком для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него.
2. Большинство учащихся понимают, что устный счет пригодится в школе, при изучении разных предметов, в будущей профессии. При решении сложных и больших вычислений без калькулятора не обойтись, но несложные примеры можно решать устно. Дети хотят узнать новые приемы быстрых вычислений, но некоторые не хотят тратить на это время.
3. Люди разных профессий используют устный счет в своей работе. Если не заниматься физическим спортом, то наступает опасная для здоровья болезнь-гиподинамия, когда же не тренируется повседневного память, то наступает гиподинамия ума. В заключение хочется сказать: нужное и полезное занятие – считать устно! Тренируйте память, активизируйте мыслительную деятельность, складывайте, умножайте в уме! Нашему мозгу тоже нужна гимнастика, а вычисления в уме – лучшие упражнения для этого.
Литература
1. Бугулов Е.А. Приемы быстрого счета: Пособие для учителя. Ордженикидзе: Северо – осетинское кн. Издательство 1964.
2. Билл Хэндли  «Считайте в уме как компьютер»,  Минск, Попурри, 2009г.
3.Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.
4. Фридман Л.М. Изучаем математику: Кн. Для учащихся 5 – 6 кл. общеобразоват. Учреждений. – М.: Просвещение, 1995.
5. http://skolkobudet.ru/publ/4-1-0-36. http://www.smekalka.pp.ru/node/16797. http://ru.wikipedia.org/