Исследовательский проект Магия кос (8 класс)

Портфолио проекта
I. Паспорт проекта
Проект: Магия кос
Разработчик: Дандерфер Лилия
Класс: 8
Название, номер учебного учреждения, где выполнялся проект: муниципальное автономное общеобразовательное учреждение города Новосибирска «Гимназия № 10», Центральный округ
Предметная область: математика
Время разработки: сентябрь 2014г - февраль 2015г
Проблема проекта: плетение кос – разве это математика?
Цель проекта: установить взаимосвязь между плетением кос и математикой.
Задачи:
- изучить теорию кос.
- рассмотреть приложения кос.
- познакомить одноклассников с «магией» кос.
Тип проекта (по виду деятельности): исследовательский
Используемые технологии: мультимедиа.
Форма продукта проекта: презентация, буклет, игра «Танглоид»
Содержание: посмотрим на плетение кос с точки зрения математика. В чем заключается алгебраизация теории кос?
Исследование:
- коса – объект математика.
Область применения результата проекта:
- внеклассная работа (кружковая работа, элективный курс).
Результативность: проведена презентация темы в классе, изготовлена игра «Танглоид»
Описание работы над проектом
Введение
Практически каждый человек умеет заплетать косу из трех прядей волос, но и не подозревает, что это ещё и математический объект.
Цель нашей работы: установить взаимосвязь между плетением кос и математикой.
Задачи исследования:
Изучить теорию кос.
Рассмотреть приложения кос.
Познакомить одноклассников с «магией» кос.
Методы исследования:
- эксперимент;
- наблюдение;
- изучение литературы.
Планирование работы над проектом
Постановка проблемы: плетение кос – разве это математика?
Изучение литературы по теме теория кос
Выдвижение гипотез
Проверка гипотез
Доказательство или опровержение гипотез.
1. Теория кос
Теория кос – это реальная и живая наука, возникшая в 20-ых годах прошлого века тогда еще молодым немецким алгебраистом Э. Артином по заказу ткацкой фабрики: он выполнял, как бы сказали сегодня, хоздоговорную работу для этого предприятия.
Приведем примеры кос (рис. 1).
К1 К2 К3 К4
-6540563817500 -4635537084000 444548133000
«Девичья коса» Тривиальная коса Крашеная коса Циклическая коса
Диаграммы – проекция косы на плоскость
382905869951
2
3
2
3
1
001
2
3
2
3
1
10248901897380007150101897380005143503257550081534032575500103886030162500-14160553594000443230190690500 511810175006000429895311151
2
3
2
3
1
001
2
3
2
3
1
10210801740535007550151740535001021080245110007550152451100051181024511000-7493059055000 51879519348452
002
29972019354801
001
104838519304004
004
78549519348453
003
1048385260354
004
518795304802
002
785495304803
003
299720311151
001
1119505189230000900430189230000604520189230000380365189738000113411024511000885825245110006000752451100038036524511000-6540560007500 82677018446753
003
67437018446751
001
45529518542004
004
30289518542002
002
893445406404
004
683895406403
003
493395311152
002
312420311151
001
898525180149500746125180149500546100180149500393700180657500579755244475009893302451100077470024511000393700245110006286562039500
Рис. 1. Примеры кос из трех и четырех нитей
Косу можно себе представлять так: в верхний и нижний край вертикальной доски вбито по n гвоздиков (n может равняться 1, 2, 3, …) – каждый из гвоздиков верхнего основания соединен нитью с одним из гвоздиков нижнего; нити попарно не пересекаются и все время должны опускаться вниз (нить не имеет права, повернувшись, начать подниматься вверх: фигуры на рисунке 2, например, косами не являются).
146812072580500108204094043500 10153651054735001624965108331000
Рис. 2. Эти фигуры не являются косами: их нити имеют восходящий характер
Две косы считаются эквивалентными (т. е. одинаковыми), если одну можно превратить в точную копию другой, двигая нити (без разрывов и склеиваний) так, чтобы каждая точка каждой нити перемещалась только в горизонтальной плоскости. Такое движение показано на рисунке 3.
132016590297000386715912495006248401226820001082040122682000 8280407029450071374056959500
Рис. 3. Геометрическое доказательство тривиальности косы
Коса К тривиальна, ибо она легко превращается (см. рис. 3) в косу из четырех вертикальных нитей).
На рисунке 1 вверху у начала каждой нити указан ее порядковый номер. Внизу снова указан номер каждой нити – но здесь номера не обязаны идти по порядку: каждой косе соответствует перестановка номеров ее нитей. Так, косами К1, К3, К4 на рисунке 1 отвечают перестановки:
1223 3 1, 1212 34 34, 12 24 34 13. Среди кос на рисунке 1 выделяется крашеная коса К3: так она называется вовсе не потому, что нарисовали ее нити разными цветами: крашеной называется любая коса, которой отвечает тождественная перестановка 1212 3…n 3…n, т. е. коса, сохраняющая порядок номеров нитей.
Тривиальная коса, все нити которой вертикальные прямые является частным случаем крашеной косы.
Среди кос следует выделить, кроме крашеных, в известном смысле противоположные им - циклические косы: это косы, переставляющие все номера нитей по единому циклу, как это делает коса К4: 12 4 3 1.

2. Алгебра кос
Косы - один из простейших геометрических объектов, легко поддающийся «алгебраизации»: косы с одинаковым числом нитей можно умножать. Делается это совсем просто (см. рис. 4): нужно приложить одну косу к другой, склеив соответствующие нити, и удалить ставшие ненужными гвоздики (нижние гвозди первой косы верхние – второй).
-44704097663000-62293597663000-82296097663000-44704028575000-62293528575000-91376528575000-10706109766300040005063500 11658601009650008426451005205005899151005205001156335857250098488585725007518408572500504190857250047688510414000 -389255184340500-704215184340500-956310184340500-44196028575000-61341028575000-9277352857500041783094424500-133223097663000448945-698500
К L M = K L
Рис. 4. Умножение кос
Такое умножение обладает рядом свойств обычного умножения чисел: выполняется ассоциативный закон
К1(К2К3)=(К1К2)К3,
есть аналог единицы – тривиальная коса К2 = 1, для которой
1 К=К 1=К. Есть и аналог деления: у каждой косы К имеется обратная коса К-1: для нее
К-1 К=К К-1=1.
Рассмотрим данную операцию на рисунке 5.
934720298450007531102984500046228029845000272415103187500294005000 853440172720000638810172720000362585172720000212725103695500 -7740651031875008159751736725001068705173672500132207017272000013220702076450010693402076450081597520764500-440690172720000-607060172720000-883920172720000-44069045085000-60706045085000-88392045085000-110680511366500014179555505450031115115570000-387985147002500-78359013176250058420105600500-241300015240000
К К-1 К К-1 = 1
3. Применение кос
У теории кос существуют вполне серьезные приложения, например к комплексному анализу, механике и физике элементарных частиц, а так же идея кодирования химической информации в маленьких узелках (и косах!) при изучении ДНК.
Теория кос имеет много приложений, как в математике, так и за пределами ее. Рассмотрим одно из них – приложение к теории узлов.
Узел (на физическом уровне строгости) – это тонкая веревка, концы которой склеены.

Тривиальный узел Нетривиальный узел – трилистник
Узел (математическое определение) — это замкнутая пространственная кривая (ломаная), не имеющая точек самопересечения. Примеры узлов (рис. 6)
Тривиальный узел Трилистник Восьмерка Узел 51

Рис. 6. Примеры узлов
Возьмем косу, изогнем ее дугой и склеим конец с началом (рис. 7) получится узел. Всегда ли такое замыкание косы дает узел?
-1016043180000
-1270040195500 -1968539814500 -6540537147500
Проведем эксперимент 1. Нарисуем замыкание кос К1, К3.
Гипотеза: замыканием данных кос будет являться одна кривая, т.е. узел.
-25590535496500
Вывод: действительно замыкание косы К1 является кривая, т.е. узел.

Вывод: замыкание косы К3 является 4 замкнутых кривых.
Проведем эксперимент 2. Найдем косу, замыкание которой является узел:

-27940121920000-62230000 -444520002500 -6540559055000
Замечательный математик Дж. Александер доказал, что любой узел является замыканием некоторой косы.
4. Магия кос
Теория кос также лежит в основе необычной игры, изобретенной датским поэтом, писателем и математиком Питом Хейном – танглоид.
Сначала изготовим подвеску в форме геральдического щита. Две стороны подвески должны быть легко различимы, поэтому отметим одну сторону буквой Х. Проделаем в верхней части три отверстия, пропустим в каждое из них по отрезку гибкого шнура длиной около 60 см и завяжем шнурки узлом. Вторые концы шнурков привяжем к какому-либо неподвижному предмету. Экспериментируя с полученным устройством, мы обнаружили, что подвеска может совершать обороты шестью разными способами. Ее можно поворачивать на 360 вправо, можно поворачивать вокруг прямого края вперед или назад, продевая между шнурками А и В, также ее можно поворачивать вокруг прямого края вперед или назад, продевая между шнурками В и С. Таким образом можно получить шесть различных кос.
Теорема (для кос с любым числом прядей больше двух) Все косы, полученные четным числом вращений подвески (причем допустимы вращения в любых направлениях) можно расплести. Косы, полученные нечетным числом полных оборотов, расплести нельзя.
42157652546350022917152546350061531525654000Выполним три задачи на расплетание кос.
Задача 1. Коса А
Эта коса заплетается двумя оборотами подвески вокруг себя направо на 360.

Расплетание косы А:1. Пропустить подвеску под всеми шнурами слева направо. У нас должно получится вот ЭТО:

Переворачиваем на 360 градусов влево. Наша коса расплетена.
Задача 2. Коса Б

Коса Б заплетается, продев подвеску между синим шнуром и фиолетовым шнуром в направлении от себя. А затем, продев подвеску между белым шнуром и фиолетовым шнуром в обратном направлении (на себя).

Наша коса должна выглядеть вот так. Теперь пропустим подвеску под серединой фиолетового шнура (там, где показано на фото).

Это должно выглядеть вот так. Движение выполняется слева направо. Коса должна выглядеть так:
Расплетается она пропусканием подвески между белым и фиолетовым шнуром от себя.
Задача 3. Коса В

Эту косу получили, дважды пропустив подвеску между синим и фиолетовым шнурами (в направлении от себя). Она должна выглядеть вот так

Что бы расплести эту косу, сначала надо пропустить подвеску под синим шнуром справа налево. У нас получится это.

Потом следует пропустить подвеску под белым и фиолетовым шнуром слева направо. Наша коса расплетена.
Плетение кос – занятие очень интересное и увлекательное.
Заключение
Теория кос – эта теория находится на стыке алгебры, геометрии и топологии, являясь между тем красивой и наглядной. Что такое коса в математике? Грубо говоря, это формальная модель того, что понимается под словом «коса» или «сплетение». В обычной жизни это девичья коса, собачий поводок, сплетенный из кожаных полос, классический канат из переплетенных жил и т.д., т.е. множество нитей, запутанных определенным образом. В работе мы рассмотрели алгебраизацию кос, а также замечательную связь между красивыми топологическими объектами: косами и узлами. С основными теоремами и приложениями теории кос познакомили одноклассников (приложение 1, 2). Изготовили Танглоид и провели интересное и увлекательное занятие, посвященное плетению кос (приложение 2).
Закончить я хочу словами немецкого математика Феликса Клейна «Математика является отнюдь не только делом рассудка, но и существенным образом – делом фантазии».
Список использованных источников и литературы
1. Сосинский А.Б. Узлы и косы. М.: МЦНМО, 2001
2. Сосинский А.Б. Узлы. Хронология одной математической теории. – М.: МЦНМО, 2005
3. Сосинский А.Б. Косы и узлы. – Квант №4, 1973
4. Цикл лекций Сосинского А.Б. в Летней школе «Современная математика» (http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=220)
Приложения
ПРИЛОЖЕНИЕ № 1
Презентация темы одноклассникам

112014012509500
ПРИЛОЖЕНИЕ № 3
Магия кос


Содержание
Паспорт проекта
Описание работы над проектом
Введение
Теория кос
Алгебра кос
Применение кос
Магия кос
Заключение
Список используемых источников и литературы
Приложения
Приложение № 1 «Презентация темы одноклассникам»
Приложение № 2 «Магия кос»