Текст работы к презентации Приемы быстрого счета

СОДЕРЖАНИЕ
TOC \o "1-3" \h \z \u ВВЕДЕНИЕ PAGEREF _Toc346544359 \h 31. ИСТОРИЯ СЧЁТА PAGEREF _Toc346544360 \h 61.1. КАК ВОЗНИКЛИ ЧИСЛА PAGEREF _Toc346544361 \h 61.2 «ЧУДО-СЧЁТЧИКИ» PAGEREF _Toc346544362 \h 92. СТАРИННЫЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ PAGEREF _Toc346544363 \h 132.1. РУССКИЙ КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ PAGEREF _Toc346544364 \h 132.2. МЕТОД «РЕШЕТКИ» PAGEREF _Toc346544365 \h 132.3 Индийский способ умножения PAGEREF _Toc346544366 \h 152.4. Египетский способ умножения PAGEREF _Toc346544368 \h 162.5. Умножение "пирамидой" PAGEREF _Toc346544369 \h 162.6. УМНОЖЕНИЕ НА ПАЛЬЦАХ PAGEREF _Toc346544370 \h 173. УСТНЫЙ СЧЕТ – ГИМНАСТИКА УМА PAGEREF _Toc346544371 \h 193.1. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ PAGEREF _Toc346544372 \h 193.2. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ PAGEREF _Toc346544373 \h 203.3. ИГРЫ PAGEREF _Toc346544374 \h 21ЗАКЛЮЧЕНИЕ PAGEREF _Toc346544375 \h 23СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ PAGEREF _Toc346544376 \h 24 ПРИЛОЖЕНИЕ ……………………………………………………………..24
ВВЕДЕНИЕМожно ли представить себе мир без чисел? Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие технические достижения?! Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах.
Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. В моей работе предпочтение отдано стихии чисел и действий с ними.
Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя счетом в уме. Поэтому в данной работе показано, что сам процесс выполнения действия может быть не только важным, но и интересным занятием.
Объектом исследования являются алгоритмы счета.
Предметом исследования выступает процесс вычисления.
Гипотеза: в старину говорили: «Умножение – мое мученье». Значит, раньше было сложно и трудно умножать. Просты ли наши современные способы различных вычислений, а не только умножения?
Цель работы: изучить нестандартные приемы вычислений и экспериментальным путем выявить причину отказа от использования этих способов при обучении математике современных школьников.
Задачи:
раскрыть историю возникновения счета;
описать старинные способы вычислений и опытно–экспериментальным путем выявить трудности в их использовании;
рассмотреть некоторые приемы устных вычислений и на конкретных примерах показать преимущества их использования.
При работе использовались следующие методы:
поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;
анализ полученных в ходе исследования данных.
Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес обучающихся к математике и содействует развитию математических способностей.
За простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления скрываются тайны истории математики. Случайно услышанные слова «умножение решеткой», «шахматным способом» заинтриговали. Захотелось узнать эти и другие способы вычислений, а также сравнить их с сегодняшними.
Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен тестовый опрос (см. Приложение). Всего опрошено 90 обучающихся 5–7 классов нашей школы.
Результаты анкетирования:
Вопрос 5-7 классы
Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку? 63501905
Умеете ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить «уголком»?
00
Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий? 00
А хотели бы узнать? 00
По результатам опроса можно сделать вывод, что в большинстве случаев современные школьники не знают других способов выполнения действий кроме таких как умножение, сложение, вычитание столбиком и деление «уголком», так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.
1. ИСТОРИЯ СЧЁТА1.1. КАК ВОЗНИКЛИ ЧИСЛАПодсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т.д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.
Рисунок 1
Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо 529590385445было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.
И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки – по одному на каждую овцу (рис. 1). Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы – он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось сделать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.
Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали составными числительными: 3= «петчевал–энэа», 4 «петчевал–петчевал» и т. д. Ещё одно австралийское племя – камилороев имело простые числительные мал (1), булан (2), гулиба (3) . И здесь другие числа получались сложением меньших: 4=«булан–булан», 5=«булан–гулиба», 6=«гулиба–гулиба» и т.д.
У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число 10 называли «боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли «каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине у берегах Амура нивхи. Ещё в XIX веке одно и то же число они называли разными словами, если считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки.
Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.
С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.
Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части собственного тела. Вот как известный русский учёный Н.Н. Миклуха–Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе…». Досчитав до пяти, он говорит: «Ибон–бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя «бе, бе…», пока не дойдёт до «ибон–али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба–бе» (одна нога) и «самба–али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого – нибудь другого».
Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.
До сих пор речь шла об устном счёте. А как записывали числа? Поначалу, ещё до возникновения письменности, использовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в Дольни–Вестонице (Чехословакия), имела 55 насечек, сделанных более 25 000 лет назад.
Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы ацтеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .
В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Лишь одна вавилонская шестидесятеричная нумерация была позиционной. Но и в ней долго не было нуля, а также запятой, отделяющей целую часть от дробной. Поэтому одна и та же цифра могла означать и 1, и 60, и 3600. Угадывать значение числа приходилось по смыслу задачи.
За несколько столетий до новой эры изобрели новый способ записи чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфавита. Первые 9 букв обозначали числа десятки 10, 20,…, 90, а ещё 9 букв обозначали сотни. Такой алфавитной нумерацией пользовались до 17 в. Чтобы отличить «настоящие» буквы от чисел, над буквами–числами ставили чёрточку (на Руси эта чёрточка называлась «титло»).
Во всех этих нумерациях было очень трудно выполнить арифметические действия. Поэтому изобретение в VI веке индийцами десятичной позиционной нумерации по праву считается одним из крупнейших достижений человечества. Индийская нумерация и индийские цифры стали известны в Европе от арабов, и обычно их называют арабскими.
При записи дробей ещё долгое время целую часть записывали в новой десятичной нумерации, а дробную – в шестидесятеричной. Но в начале XV в. самаркандский математик и астроном аль–Каши стал употреблять в вычислениях десятичные дроби.
Но, оказывается, что это не все числа, которые используют в математике и других науках. И узнать о них можно не дожидаясь старшей школы, а гораздо раньше, если изучать историю возникновения чисел в математике.
1.2 «ЧУДО-СЧЁТЧИКИ»«Он все понимает с полуслова и тут же формулирует вывод, к которому обычный человек, может быть, придет путем долгих и тягостных раздумий. Книги он поглощает с невероятной скоростью, а на первом месте в его шорт–листе бестселлеров — учебник по занимательной математике. В момент решения самых трудных и необычных задач в его глазах горит огонь вдохновения. Просьбы сходить в магазин или помыть посуду остаются без внимания либо выполняются с большим недовольством. Самая лучшая награда — это поход в лекторий, а самый ценный подарок — книга. Он максимально практичен и в своих поступках в основном подчиняется рассудку и логике. Он холодно относится к окружающим его людям и предпочтет катанию на роликах шахматную партию с компьютером. Будучи ребенком, он не по годам осознает собственные недостатки, отличается повышенной эмоциональной устойчивостью и приспособляемостью к внешним обстоятельствам».
Именно так, по мнению психологов, выглядит человек–калькулятор, индивидуум, обладающий уникальными математическими способностями, позволяющими ему в мгновение ока производить в уме самые сложные подсчеты.
За порогом сознания чудо–счетоводы, способные без калькулятора совершать невообразимо сложные арифметические действия, обладают уникальными особенностями памяти, отличающей их от других людей. Как правило, кроме огромных линеек формул и вычислений, эти люди (ученые их называют мнемониками — от греческого слова mnemonika, означающего "искусство запоминания") держат в голове списки адресов не только друзей, но и случайных знакомых, а также многочисленных организаций, где им когда-то приходилось бывать.
В лаборатории НИИ психотехнологий, где решили исследовать феномен, провели такой эксперимент. Пригласили уникума — сотрудника Центрального государственного архива Санкт-Петербурга Александра Н. Ему предлагали для запоминания различные слова и цифры. Он должен был их повторять. Всего за пару минут он мог зафиксировать в памяти до семидесяти элементов. Десятки слов и цифр буквально "загрузили" в память Александра. Когда количество элементов перевалило за две сотни, решили проверить его возможности. К удивлению участников эксперимента, МЕГАпамять не дала ни одного сбоя. С секунду пошевелив губами, он с поразительной точностью, словно читая, начал воспроизводить весь ряд элементов.
Еще, например, один учёный – исследователь провёл эксперимент с мадмуазель Осака. Испытуемую попросили возвести в квадрат 97, получить десятую степень того числа. Она это сделала моментально.
Рисунок 2
4587240278130В Ванском районе западной Грузии живет Арон Чикашвили (рис. 2). Он быстро и точно производит в уме сложнейшие вычисления. Как–то друзья решили проверить возможности «чудо–счётчика». Задание было сложным: сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй тайм футбольного матча «Спартак» (Москва) – «Динамо» (Тбилиси). Одновременно был включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал последнее слово: 17427 букв , 1835 слов. На проверку ушло ….5 часов. Ответ оказался правильным.
Рассказывают, что отец Гаусса обычно платил своим рабочим в конце недели, прибавляя к каждому дневному заработку за сверхурочные часы. Однажды после того, как Гаусс–отец закончил расчеты, следивший за операциями отца ребёнок, которому было три года, воскликнул: «Папа, подсчёт не верен! Вот такая должна быть сумма». Вычисления повторили и с удивлением убедились, что малыш указал правильную сумму.
Интересно, что многие «чудо–счётчики» не имеют понятия вообще, как они считают. «Считаем, и всё! А как считаем, Бог его знает». Некоторые «счётчики» были совсем необразованными людьми. Англичанин Бакстон, «счётчик–виртуоз», так никогда и не научился читать; американский «негр– счётчик» Томас Фаллер умер неграмотным в возрасте 80–ти лет.
Проводились соревнования в институте кибернетики Украинской академии наук. В соревновании участвовали молодой «счётчик–феномен» Игорь Шелушков и ЭВМ «Мир». Машина за несколько секунд сделала множество сложных математических операций. Победителем в этом соревновании вышел Игорь Шелушков.
В Сиднейском университете в Индии тоже проходили соревнования человека и машины. Шакунтала Деви тоже несколько опередила ЭВМ.
Рисунок 3
-381017780В 2007 году Марк Вишня (рис. 3), которому тогда было 2,5 года, поразил всю страну своими интеллектуальными способностями. Юный участник шоу «Минута славы» без труда считал в уме многозначные числа, опережая при вычислениях родителей и жюри, которые пользовались калькуляторами. Уже в два года он освоил таблицу косинусов и синусов, а также некоторые логарифмы.
Большинство таких людей обладает прекрасной памятью и имеют дарование. Но некоторые из них никакими способностями к математике не обладают. Они знают секрет! А секрет этот в том, что они хорошо усвоили приемы быстрого счёта, запомнили несколько специальных формул. Однако бельгийский служащий, который за 30 секунд по предложенному ему многозначному числу, полученному от умножения некоторого числа само на себя 47 раз, называет это число (извлекает корень 47–ой степени из многозначного числа), добился таких потрясающих успехов в счёте в результате многолетней тренировки.Итак, многие «счётчики–феномены» пользуются особыми приемами быстрого счёта и специальными формулами. Значит, мы тоже можем пользоваться некоторыми из этих приёмов.
2. СТАРИННЫЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ2.1. РУССКИЙ КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯВ России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название КРЕСТЬЯНСКИЙ (существует мнение, что он берет начало от египетского).
3720465254635Пример: умножим 47 на 35. Для этого:
запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
деление заканчивается, когда слева появится единица;
вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
Рисунок 4
далее оставшиеся справа числа складываем – это результат (см. рис. 4).
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645
2.2. МЕТОД «РЕШЕТКИ»Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми жил и работал в Багдаде. Учёный работал в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.
Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль – Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.
2 5 1 1
2 3
0 6
5 0
6 1
5 3
7 5 В своей «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «МЕТОДОМ РЕШЁТКИ». Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.
Пример: умножим 25 и 63.
Рисунок 5
Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо на рис. 5).
Здесь рассмотрен простой пример, однако,
этим способом можно умножать любые
многозначные числа.
Рассмотрим еще один пример: перемножим 987 и 12 (рис. 6):
рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);
затем квадратные клетки делим по диагонали;
вверху таблицы записываем число 987;
слева таблицы число 12;
теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки ниже диагонали, единицы выше;
после заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали справой стороны;
результат читаем по стрелке.
Рисунок 6

Этот алгоритм умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.
Неудобство этого способа нам хотелось бы отметить в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.
2.3 Индийский способ умножениях23 12
276
Вы видите: очень быстро получен ответ. Но как он получен?
Первый шаг: х23 «2 х 3 = 6»
12
…6
Второй шаг:х23 « 2 х 2 + 1 х 3 = 7»
12
.76
Третий шаг: х23 «1 х 2 = 2».
12 пишу 2 левее цифры 7
276 получаем 276.
х528х24х15х18х317
123 30 13 19 12
64944 670 195 342 3804
На Руси этот способ был известен как способ умножения крестиком.
2.4. Египетский способ умноженияПример:
34 ∙ 5=34∙ (1 + 4) = 34∙ (1 + 2 ∙ 2) = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.
451104073025Т.к. 5 = 4 + 1, то 136 + 34 = 170 (см. рис. 7).
Рисунок 7
2.5. Умножение "пирамидой"Этот способ иногда называют также общим способом сокращенного умножения. Пример: 351 * 248.
Умножаем цифры, стоящие друг под другом, выделяя под каждой результат по 2 знака.
Умножаем накрест соседние цифры. Итог пишем со сдвигом на 1 знак влево под результатом 1-го шага.
"Раздвигаем" шаг креста на одну позицию. Под него попадают только крайние цифры. Записываем их произведение под результатом предыдущего шага со сдвигом на 1 знак влево (см. схему 1):
681990367030 Схема 1
На практике промежуточные итоги, разумеется, суммируются, не дожидаясь окончания вычислений после каждого шага. Для чисел большей значности схема выглядит аналогично:
Схема 2


2.6. УМНОЖЕНИЕ НА ПАЛЬЦАХРисунок 8
-133351501140Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название ПАЛЬЦЕВОГО СЧЕТА).
Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя (см. рис. 8). Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.
Пример: 8 ∙ 9 = 72
Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000.
Движение пальца – это еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения (убедитесь в этом самостоятельно).Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.
Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.
3. УСТНЫЙ СЧЕТ – ГИМНАСТИКА УМА3.1. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯСЛОЖЕНИЕ
Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:
Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д. Например:
56+8=56+10-2=64;
65+9=65+10-1=74.
СЛОЖЕНИЕ В УМЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Если цифра единиц в прибавляемом числе больше5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:
34+48=34+50-2=82;
27+31=27+30+1=58.
СЛОЖЕНИЕ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы. Например:
359+523= 300+500+50+20+9+3=882;
456+298=400+200+50+90+6+8=754.
ВЫЧИТАНИЕ
Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.
56-9=56-10+1=47;
436-87=436-100+13=349.
ВЫЧИТАНИЕ ЧИСЛА МЕНЬШЕ 100 ИЗ ЧИСЛА БОЛЬШЕ 100
Если вычитаемое меньше 100, а уменьшаемое больше 100, но меньше 200, есть простой способ вычислить разность в уме.
134-76=58
76 на 24меньше 100. 134 на 34 больше 100. Прибавим 24 к 34 и получим ответ: 58.
152-88=64
88 на 12 меньше 100,а 152 больше 100 на 52, значит
152-88=12+52=64
3.2. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯУМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НА 4
Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:
214∙4=214∙2∙2=428∙2=856;
537∙4=537∙2∙2=1074∙2=2148.
Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2. Например:
124:4=124:2:2=62:2=31;
2648:4=2648:2:2=1324:2=662.
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НА 5
Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 102 QUOTE , то есть умножить на 10 и разделить на 2. Например:
138∙5=138∙10:2=1380:2=690;
548∙5=548∙10:2=5480:2=2740.
Чтобы число разделить на 5, нужно умножить его на 0,2, то есть в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру. Например:
345:5=345∙0,2=69,0=69;
51:5=51∙0,2=10,2.
УМНОЖЕНИЕ НА 25
Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на1004, то есть умножить на 100 и разделить на 4. Например:
348∙25=348∙100:4=34800:2:2=17400:2=8700.
УМНОЖЕНИЕ НА 1,5
Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину. Например:
26∙1,5=26+13=39;
228∙1,5=228+114=342.
УМНОЖЕНИЕ НА 9
Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Например:
241∙9=2410-241=2169;
847∙9=8470-847=7623.
УМНОЖЕНИЕ НА 11
1 способ. Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:
47∙11=470+47=547;
243∙11=2430+243=2673.
2 способ. Если хочешь умножить число на 11, то поступай так: запиши число, которое нужно умножить на 11, а между цифрами исходного числа вставь сумму этих цифр. Если сумма получается двузначное число, то 1 прибавляем к первой цифре исходного числа. Например:
45∙11=495 87∙11=967 4 4+5 5 8 8+7 7«Краешки сложи, в серединку положи» - эти слова помогут легко запомнить данный способ умножения на 11.
Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.
3.3. ИГРЫОтгадывание полученного числа
Задумайте какое-нибудь число. Прибавьте к нему 11; умножьте полученную сумму на 2; от этого произведения отнимите 20; умножьте полученную разность на 5 и от нового произведения отнимите число, в 10 раз больше задуманного вами числа. Я отгадываю: вы получили 10. Верно?
Задумайте число. Утрой его. Вычти из полученного 1. Полученное умножьте на 5. К полученному прибавьте 20. Разделите полученное на 15. Из полученного результата вычтите задуманное. У вас получилось 1.
Задумайте число. Умножьте его на 6. Вычтите 3. Умножьте на 2. Прибавьте 26. Вычтите удвоенное задуманное. Разделите на 10. Вычтите задуманное. У вас получилось 2.
Задумайте число. Утройте его. Вычтите 2. Умножьте на 5. Прибавьте 5. Разделите на 5. Прибавьте 1. Разделите на задуманное. У вас получилось 3.
Задумайте число, удвойте его. Прибавьте 3. Умножьте на 4. Вычтите 12. Разделите на задуманное. У вас получилось 8.
Угадывание задуманных чисел
Предложите своим друзьям задумать любые числа. Пусть каждый прибавит к своему задуманному числу 5.
Полученную сумму пусть умножит на 3.
От произведения пусть отнимет 7.
Из полученного результата пусть вычтет ещё 8.
Листок с окончательным результатом пусть каждый отдаст вам. Глядя на листок, вы тут же говорите каждому, какое число он задумал.
(Чтобы угадать задуманное число, результат, написанный на бумажке или сказанный вам устно, разделить на 3).
ЗАКЛЮЧЕНИЕМы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, «экономическую ситуацию» в стране, погоду на «завтра», описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в IV веке д.н.э. – Пифагора – «Всё есть число!».
Согласно философскому воззрению этого учёного и его последователей, числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса.
Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, мы попыталась показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.
Изучение старинных способов вычислений показало, что это арифметические действия были трудными и сложными из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.
Современные способы вычислений просты и доступны всем.
При знакомстве с научной литературой обнаружили более быстрые и надежные способы вычислений.
Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫВиленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварбурд С.И. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2007. 288 с.
Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: книга для обучающихся. М.: Просвещение, 1986. 116 с.
Минских Е.М. От игры к знаниям. М.: Просвещение, 1982. 35с.
Свечников А.А. Числа, фигуры, задачи. М.: Просвещение, 1977. 226 с.
Билл Хэндли Считайте в уме как компьютер. Минск: Попурри, 2009. 98 с.

Приложение
Анкетирование
Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?
Да Нет Не знаю
а) Умеете ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить «уголком»?
Да Нет Не знаю
б) Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий
Да Нет Не знаю
А хотели бы узнать?
Да Нет Не знаю