Применение математических методов для решения практических задач в различных областях науки

Елена Чулкова
г.Стаханов
ГОУБ СОШ №32


Тема: "Применение математических методов
для решения практических задач
в различных областях науки"

Аннотация: В данной работе описано применение математических методов при решении практических задач в различных сферах науки и интеграция математики с физикой и географией, а также раскрыта актуальность темы

Ключевые слова: математика, физика, география, межпредметные связи.
 С развитием науки сложность материала, изучаемого в школе, возрастает; увеличивается объем информации. Поэтому всё более популярной в школе становится идея интеграции учебных дисциплин.
Применение интеграции особенно важно в преподавании математики, методы которой используются во многих областях знаний и человеческой деятельности. Интеграция уроков математики с другими учебными предметами позволяет многогранно рассмотреть многие важные явления, связать уроки математики с жизнью, показать богатство и сложность окружающего мира, дать детям заряд любознательности, творческой энергии.
Интегрированные уроки математики с другими предметами обладают ярко выраженной прикладной направленностью и вызывают познавательный интерес учащихся. В программах и учебниках усиливается математизация курсов физики, химии, географии. В школе целенаправленно применяется и развивается понятие вектора. В курсе физики при изучении механики после введения понятия о перемещении и векторе перемещения и усвоения действий над векторами и их проекциями приступают к формированию понятия скорости. Скорость равномерного прямолинейного движения рассматривается как величина векторная и равная изменению координаты тела в единицу времени, а ускорение - векторная величина, равная изменению скорости в единицу времени при равноускоренном движении.
В курсе математики при изучении производной уточняется понятие скорости как первой производной функции от координаты тела по времени, а ускорение как второй производной функции от координаты тела по времени. В физике успешно используются в разделе «Колебания и волны» математическое понятие производной, графики синуса и косинуса, производные тригонометрических функций. Физика относится к естественным наукам. Математику не относят к естественным наукам, она непосредственно не изучает окружающий мир. Но опора на математические понятия раскрывает новые аспекты физических, химических, биологических знаний, одновременно математические знания приобретают обобщённый смысл.
Математика даёт методы изучения другим наукам. Связи математики с другими предметами показывают возможные области применения функций, прямых и обратных пропорциональных зависимостей, их графиков, векторных величин и т.д.
При формировании математических понятий необходимо усиление интеграции с другими предметами. Так в курсе геометрии при изучении темы «Векторы» я использую сведения, полученные учащимися в курсе физики при рассмотрении вопросов «Сила – векторная величина», «Сложение сил». Использование физического материала содействует развитию навыков в применении математического аппарата, даёт возможность применять различные методы для решения прикладных задач, помогает формировать у учащихся представление о роли математики в изучении окружающего мира, видеть разницу между реальным и идеальным, между физическим явлением и его математической моделью, вызывает дополнительный интерес и мотивацию к учению.
Опора на математические методы в программах по химии позволяет количественно оценивать закономерности химических процессов, логически обосновать отдельные законы и теории. Большое познавательное значение имеет построение графиков, отражающих, например, зависимости: процентной концентрации раствора от массы растворённого вещества в данной массе раствора, теплового эффекта реакции от массы образовавшегося вещества, полноты окисления вещества от температурных условий, степени диссоциации вещества от концентрации его раствора и т.п. Такие графики важны для развития и конкретизации знаний учащихся о графиках и их свойствах. Они в наглядной и обобщённой форме выражают количественные зависимости химических процессов. Многие задачи по химии требуют умения решать пропорции, сокращать и грамотно вести подсчёты, а также округлять числа. При этом происходит обобщение математических и химических знаний и умений учащихся.
В курсе общей биологии при изучении статистических закономерностей модификационной изменчивости учебные программы позволяют ознакомить учащихся с приёмами биостатистики. Это приёмы вычисления средней арифметической величины варьирующего признака, построения вариационного ряда и вариационной кривой и др. Они обоснованы теорией вероятности и позволяют раскрыть учащимся закономерности изменчивости, возникающей у организмов с одной и той же наследственной основой под влиянием разных условий жизни. Важно подчеркнуть практическое значение математического описания варьирования количественных признаков у особей одного вида, одной породы или сорта при их выведении в разных природных климатических районах, а также значение использования биостатистики в систематике, генетике, селекции, медицине. Математические методы применяются к изучению генетики – это в основном методы комбинаторики и теории вероятности.
Изучение темы «Подобие» позволяет опираться на сведения из курса географии, полученные учащимся в темах «Измерение расстояний на местности», «Изображение направлений и расстояний на чертеже», «Составление схематического плана участка местности способом полярной съёмки». Такие связи способствуют осмыслению математических действий в измерительных умениях географического значения. В курсе математики VI класса предусмотрено изучение темы «Масштаб». В этой теме рассматриваются задания, где необходимо определить по плану или карте расстояния между двумя пунктами. На уроках изучения этой темы я использую географические карты. Совместно с учителем географии учитель математики может разработать и использовать на уроках математики и географии целый ряд интересных заданий с географическим содержанием. В качестве примеров приведу некоторые задания, используемые мною на практике.
1. Определить длину дуги экватора (или меридиана) в 15°, 30°, 45° на глобусе масштаба 1:50000000.
2. Определить на глобусе того же масштаба длину дуги параллелей в 15°, 30°, 45° на широте 50°, 60°, 70°.
Подобные задания даю на первых уроках повторения в конце 6 класса и на уроках повторения геометрии в 9 классе. Одним из распространённых и удобных средств для определения площадей земельных участков по планам и картам является способ палетки. Чтобы определить площадь участка на местности, надо знать цену клеток палетки в масштабе данной карты, то есть значение площади на местности, которому соответствует площадь одной клетки. Например, если площадь клетки 1 кв. см, то её цена для карты в масштабе 1:5000 (1см – 50 м) 2500 кв.м. Учащиеся знакомятся с подобным применением палетки (используем любые доступные учащимся карты, в частности, карты атласов, которые заранее приносят на урок).
Примерные задания:
1. Для карты с масштабом 1:25000 построить палетку с квадратами, соответствующими по площади 5 га.
2. Определить площадь участка в кв.м, га и кв. км на местности, если на карте 1 : 10000 он составляет 13,4 кв. см.
3. Определить площадь участка в кв. см на плане 1:3000, если на местности он составляет 18 га.
4. Каков линейный масштаб площади карты, если местность в 360 га занимает на ней 10 кв. см карты.
Данные типы заданий уместно проводить при повторении темы «Площадь многоугольника». При ознакомлении учащихся с ортогональными проекциями в курсе геометрии (а также и в курсе черчения) полезно рассмотреть учебную топографическую карту. Учащиеся усваивают, что все изображённые на ней контуры и линии есть ортогональные проекции действительных контуров и линий местности, которые уменьшены в масштабе данной карты. Линии местности, как наклонные, в общем случае будут длиннее своих проекций.
При изучении курса стереометрии использую имеющиеся у учащихся знания о земном шаре. При рассмотрении окружности большого круга, проведённой через две точки шаровой поверхности, подчёркиваю, что на шаровой поверхности линия кратчайшего расстояния между точками идёт всегда по дуге большого круга. На земной поверхности такие линии называют ортодромами. Они имеют большое практическое значение в морской и воздушной навигации: ведь выгоднее всегда двигаться по направлению кратчайшего расстояния.
При изучении темы «Площадь сферы» использую задачи, опирающиеся на географические знания учащихся. Например: Определить поверхность земного шара в кв. км и школьных глобусов в кв. см (R= 6370 км; масштабы глобусов 1 : 50000000, 1 : 83000000). С применением тригонометрии можно достаточно точно определить поверхности тепловых поясов.
Общей задачей преподавания математики и географии является выработка у учащихся практических умений и навыков, связанных с математическими вычислениями по карте и измерительными работами на местности. При работе на местности использую и закрепляю навыки учащихся в провешивании прямой, измерении и глазомерной оценке расстояний на местности, определении расстояния до недоступной точки. Это даёт возможность учителю географии при изучении приёмов съёмки плана пути не повторять этих вопросов, а обратить внимание учащихся на овладение приёмами ориентирования планшета, визирования и проведения отрезков на плане соответственно избранному масштабу.
Программный материал по географии представляет больше возможности для формирования у учащихся понятия рационального числа. По существу с понятием об отрицательных числах учащиеся знакомятся в процессе изучения форм земной поверхности и явлений погоды на уроках географии. Ознакомление учащихся на уроках математики с градусными измерениями углов и приёмами построения различных диаграмм предшествует по времени изучению ими темы «Градусная сеть» курса географии. При изучении меры измерения углов на уроках математики учащимся разъясняю различие между дуговым и угловым градусом. Это различие иллюстрирую на примере окружностей с различными радиусами, на модели шара с параллельными сечениями; это подчёркиваю и в процессе ознакомления учащихся с приёмами построения секторных диаграмм.
Наблюдения на уроках географии показали, что эта работа оказывает учащимся большую помощь в усвоении ими понятия о параллелях земного шара и причины различия в их длинах. Кроме того, она служит надёжной основой и для определения учащимися расстояний между заданными пунктами, расположенными на одной и той же параллели, и географических координат данной местности.
Изучение темы «Масштаб» в 6 классе проходило на интегрированном уроке, где были рассмотрены понятия числового и линейного масштаба, учащиеся ознакомились с приёмами перевода числового масштаба географических карт в линейный и наоборот. Попутно учащимся были предложены задачи и упражнения по географии. Практическое применение числового масштаба было проиллюстрировано на примерах определения расстояния между двумя пунктами, изображёнными на топографических картах с разными масштабами; длины отрезка, необходимого для изображения расстояния между пунктами по карте по заданному истинному расстоянию между ними и числовому масштабу карты; числового масштаба карты по расстоянию между заданными пунктами на карте и истинному расстоянию между ними. Кроме того, было указано на применение числового масштаба при составлении технических чертежей, при выполнении самими учащимися практических работ в учебных мастерских школы. Уроки математики могут помочь ученикам усвоить понятие масштаба в географии, а при изучении темы «Углы» провожу практическую работу с компасом. Задаю следующие вопросы: - каков угол между направлениями: север и северо-восток, север и восток, север и юго-восток? - южный ветер сменился на юго-западный. Найти угол поворота ветра.
При изучении темы «Треугольники» даю задачи с географическим содержанием. Например: Три населённых пункта А, В и С расположены так, что пункт В находится в 2 км к северу и С – в 3 км к северу – западу от А. D, E, F – три других населённых пункта, причём пункт Е расположен в 2 км к северу – востоку, а F – в 3 км к востоку от пункта D. Сделать чертёж и доказать, что расстояние между пунктами В и С такое же, как между пунктами Е и F. Наблюдая за температурой воздуха, учащиеся строят графики температур. По материалам наблюдений за состоянием погоды, выпадением осадков учащиеся вычерчивают круговые и столбчатые диаграммы.
На географии вычисляют расход воды в реке, а на математике при изучении графиков составляют график расхода воды в реке. При вычислении объёма цилиндра решается задача, данные для которой берутся из непосредственных наблюдений за погодой. Например: когда после дождя вылили воду из дождемера в мензурку, то получили объём, равный 212 куб. см . Какой толщины слой (до 0,1 см) воды выпал во время дождя в этом месте? Давая учащимися понятие о вычислении длины окружности, о градусе, о радиане и вычислении длины дуги, приношу в класс глобус и на нём мы упражняемся в вычислении длины дуги земного экватора в 1градус. При изучении способов вычисления площади шарового пояса, шарового сегмента мы вычисляем по глобусу площади климатических поясов земного шара.
Одна из форм интеграции - дидактический синтез (изучение одной темы на основе двух или нескольких предметов). Например, в 6-м классе видна взаимосвязь программы географии, математики, физики по теме «Атмосфера». Данная тема включает в себя такие понятия, как: температура, атмосферное давление, водяной пар, облака, осадки, ветер. С физическими понятиями температуры, давления учащиеся знакомятся в курсе физики 7-го класса, но в курсе географии 6-го класса эти величины уже рассматриваются. Поэтому целесообразно эти понятия уже ввести в 6-м классе с наглядными демонстрациями опытов и объяснениями этим явлениям. В курсе математики 6-го класса рассматриваются столбчатые и круговые диаграммы, вычисляют среднее арифметическое, читают графики.
Всё это необходимо для нахождения амплитуды годового хода температур, определения преобладающего направления ветра по графику розы ветров. Чтобы увидеть наглядное представление о количестве осадков в течение года и по месяцам, строят столбчатые и круговые диаграммы. Таким образом, учащиеся убеждаются, что используя математические методы, которыми обрабатывают результаты наблюдения, ученые делают выводы, составляют прогнозы, выявляют закономерности. Сама специфика физики и математики на их современном уровне побуждает к комплексному подходу в обучении школьников этим предметам, т. е. логика данных наук ведёт к их объединению, интеграции.
Методика интегрированного обучения в настоящее время переживает сложный период. Изменились цели общего среднего образования, разрабатываются новые учебные планы и новые подходы в изучении дисциплин через интегрированные образовательные системы. Создаются новые концепции образования, которые основаны на деятельностном подходе.
Методика интегрированного обучения имеет цели помочь учащимся: - научиться познавать -научиться делать -научиться жить вместе -научиться жить в ладу с самим собой. Сейчас, когда время требует от нас и наших детей все чаще интересных и нестандартных решений, чтобы не потеряться в этом мире, но найти свое место в жизни, критическое мышление помогает как никакое другое.
Интеграция как средство обучения должна дать ученику те знания, которые отражают связанность отдельных частей мира как системы, научить ребёнка с первых шагов воспринимать мир как единое целое, в котором все элементы взаимосвязаны.
15