Разработка тестовых заданий с решением по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме Функция, её производная. Область определения и множество значений функции.и

Выполнение тестовых заданий 1 –8
(область определения, область значений функции)

Задание 1(А). Найдите область определения функции
x
y = log5 15 – 3x

А). (-
·; 0) U (5; +
·); В). (0; 5); С). [0; 5); D). (0; 3).

Решение: выражение под знаком логарифма строго больше нуля => х (15-3х) > 0.

Определяем нули х1=0 и х2 = 5. Отмечаем нули на координатной прямой, т.е. решаем
- + -
методом интервалов. 0 5 х

Ответ: вариант В. (0; 5).


Задание 2(А). Укажите область определения функции

8
y =
·3 – log4 x
А). ( 0; +
·); В). (-
·; 64 ]; С). (0; 1]; D). (0; 64 ].

Решение: 3 – log4 x
· 0; – log4 x
· -3; log4 x
· 3; log4 x
· log4 64; х
· 64, но х > 0.

Ответ: вариант В. (-
·; 64];

Задание 3(В). Найдите наибольшее целое значение функции
2 2
у = 4 · 5 2 sin х. + 5 cоs х – 3

А). 25; В). 20; С). 100; D). 75.

Решение: т.к. данная показательная функция является возрастающей, то наибольшее значение функция принимает при наибольшем значении аргумента.

2 sin2 х. + 5 cоs2 х – 3 = 2(1 – cоs2 х) + 5 cоs2 х – 3 = 3 cоs2 х -1 наибольшее значение выражения равно 2. Отсюда получаем:
у = 4 · 52 = 4
· 25 = 100. Ответ: вариант С.

Задание 4(А). Какое из следующих чисел входит во множество значений функции 1 х
у =
· 2?
8

А) - 6; В). -1; С). - 2; D). -3 .

Решение: 1 х
> 0 => Е(у) = ( -2; +
· ). Ответ: вариант В.
8

Задание 5(А). Найдите множество значений функции

y = 2 + sin х.

А). [ -1; 1 ]; В). [ 0; 2 ]; С). [ 1; 3 ]; D). [ 2; 3 ] .

Решение: т.к. -1
· sin х
· 1, то Е(у) = [ 2 + (- 1); 2+1]; [ 1; 3 ]. Ответ: вариант С.


Задание 6(А). Укажите функцию, область значений которой – промежуток

( 0; +
·).
1
А). у = ; В). у =
·х; С). у = log3 х; D). у = 2х2 .
х2

Решение: Ответ: вариант А.

Задание 7(А). Найдите нули функции
3

·2х - 16
у = .
х + 2

А) - 8; В). 2; С). - 2; D). 8 .


Решение: 2х – 16 = 0, х = 8.
х
· -2. Ответ: вариант D.

Задание 8(В). Сколько целых чисел содержится в области определения функции


· 16 – х4
у = ?
х2 + 2х + 1

А) 5; В). 4; С). 2; D). 1.

Решение: 16 – х4
· 0; (4 – х2)(4 + х2)
· 0; (2 – х)(2 + х)
· 0;
х2 + 2х + 1
· 0; (х + 1)2
· 0; х
· -1;

-2
· х
· 2;
х
· -1; Ответ: целых чисел содержится -2; 0; 1; 2 , вариант В.


·
·. Тестовые задания по теме: Исследование функции с помощью производной. Геометрический смысл производной.


Задание 1(А). Найдите производную функции у = ех + 3х2.

А) у' = хех-1 + 6х; В). у' = ех + х3; С). у' = ех + 5х2; D). у' = ех + 6х.

Решение: у' = (ех + 3х2) ' = ех + 6х. Ответ: вариант D.


Задание 2(А). Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
в точке с абсциссой х0 = 6.

у = 3 ln х + 5,2.

А) 0,5; В). 5,7; С). 18; D). 23,2.

Решение: k = у' (х0). у'(х) = (3 ln х + 5,2) ' = 3/х; у' (х0) = 3/6 = 0,5; Ответ: вариант А.


Задание 3 (А). Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции
у =
· (х) в точке (2; 5), равен 3. Найдите
·' (2).

А) 2,5; В). 2; С). 3; D). 5.

Ответ: вариант С.

Задание 4(А). Чему равен угол наклона касательной к графику функции

у =
·
·3 cos х в точке х0 =
· /2 ?

А) 30є; В). 45є; С). 60є; D). 75є.

Решение: tg
· = у' (х0); tg
· = (
·
·3 cos х) ' =
·
·3 ( - sin х ) =
·3 sin х =
·3;
tg
· =
·3;
· = 60є; Ответ: вариант С.

Задание 5(А). Материальная точка движется по прямой так, что её координата в момент времени t равна

х(t) = t 2 + е 2 – t.
Найдите скорость точки в момент времени t = 2.

А) 5; В). 3; С). 2; D). 4.

Решение: v(t) = х' (t) = (t 2 + е 2 – t) ' = 2 t – е 2 – t; v(2) = 2
· 2 – е 2 – 2= 4 – е0 = 3;
Ответ: вариант В.

Задание 6(А). Материальная точка движется по прямой так, что её скорость в момент времени t равна
v(t) = t2 + sin2t.
Найдите ускорение точки в момент времени t =
· / 6.

А)
· / 3 + 1; В).
· / 3 + 0,5; С).
· / 3 +
·3; D).
· / 3 +
·3 / 2

Решение: а(t) = v(t) = (t2 + sin2t) ' = 2t + 2 cos2t;
а(
·/6) = 2
·
·/6 + 2 cos2
·
·/6 =
·/3 + 2 cos
·/3 =
·/3 + 2
· Ѕ =
·/3 + 1;
Ответ: вариант А.

Задание 7(С). Найдите абсциссу точки на графике функции

у = х2 – 7х + 2,
касательная в которой параллельна прямой у = 5х + 3.

А) 3; В). 6; С). 1; D). 4.

Решение: т.к. касательная параллельна прямой у = 5х + 3 => k = 5, т.е. у' = 5;
у' = (х2 – 7х + 2)' = 2х – 7; 2х – 7 = 5; х = 6; Ответ: вариант В.

Задание 8(В). Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции

у = ctg x
2 в точке с абсциссой х 0=
· / 4?
3
·
А)
·/4; В). –arctg 2; С). arctg 2; D).
4 ;
ctg x 1 - 1
Решение: tg
· = у' (х0); у(х) = 2 = - ; у(х0) =
2 sin2х 2 sin2
·/4

у = - 1 = -1; tg
· = -1;
· =
· –
·/4 = 3
·/4; Ответ: вариант D.
2 (
·2/2)2

Задание 9(В). Написать уравнение касательной к графику функции

х3 - 1

·(х) = в точке его пересечения с осью Ох.
3

А) у = х - 1; В). у= х + 3; С). у = х - 2; D). у = х + 2.

Решение: у =
·(х0) +
· (х0)(х – х0); у = 0, если х3 – 1 = 0 => х = х0 = 1;


·(х) =
· 3х2 = х2;
·(х0) = 1;
·(х0) = 0 = > у = х – 1; Ответ: вариант А.








Теоретические вопросы для 11 класса:

Дать определение функции.

Правило, при котором каждому значению х из множества Х соответствует одно единственное значение у из множества У, называется функцией.

Множество значений независимой переменной, при которых функция
·(х) имеет смысл, называется областью определения функции.

Множество значений переменной у называется множеством значений функции.

Функция является возрастающей на множестве Х, если для любых
х1 < х2 выполняется неравенство
·(х1) <
·(х2).

Функция является убывающей на множестве Х, если для любых х1 < х2 выполняется неравенство
·(х1) >
·(х2).

Значения независимой переменной х, при которых значение функции равно нулю, называется нулями функции.

1. Что такое производная функции в точке х0?
Ответ: это есть число, к которому стремится разностное отношение

·
· к
·x при
·x0.
Какая функция называется дифференцируемой в точке?
Ответ: Если в точке х0 функция имеет производную, то функция

·(х )называется дифференцируемой в этой точке.
Назвать формулу производной функции
y = хn; y =
·х, logax, ax, lnx, sin х, cоs х.
Ответ: y
·= nхn-1, y
· = 13 EMBED Equation.3 1415; (logax)
·= 13 EMBED Equation.3 1415; (lnx)
·= 13 EMBED Equation.3 1415; (sin х)
·= cоs х;
(cоs х)
·= - sin х;
4. Что такое угловой коэффициент прямой?
Ответ: k =
·'(х0), т.е. производная функции
· в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке х=х0.
5. В чём состоит геометрический смысл производной?
Ответ: Равенствами
·'(х0)= k или
·'(х0) = tg
· определяется геометрический смысл производной.

6. Назвать уравнение касательной к графику функции
·(х) в точке с абсциссой х0.
Ответ: у =
·(х0 ) +
·'(х0)(х – х0)

7. Указать условие, при котором касательная образует с осью Ох острый угол. Ответ: касательная образует с осью Ох острый угол, если
·'(х0)>0.

8. Указать условие, при котором касательная образует с осью Ох тупой угол. Ответ: касательная образует с осью Ох тупой угол, если
·'(х0)<0.

9. Указать условие, при котором касательная параллельна оси Ох.
Ответ: касательная параллельна оси Ох, если
·'(х0)=0.

И конечно, нужно упомянуть о связи между характером монотонности функции (убывает она или возрастает) и знаком её производной на некотором промежутке.

10. Назвать достаточное условие возрастания (убывания) функции:
Ответ: Если в каждой точке х интервала (а;b) выполнено условие
·'(х)>0,
то функция является возрастающей в этом интервале.
Если в каждой точке х интервала (а;b) выполнено условие
·'(х)<0,
то функция является убывающей в этом интервале.

11. Какие правила необходимо соблюдать при определении экстремума функции:
Ответ:
Найти критические точки, т.е. те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует.
Исследовать знаки производной в окрестности критических точек;
Если знак производной в точке х0 меняется с «+» на «-», точка х0 – точка максимума;
Если знак производной в точке х0 меняется с «-» на «+», точка х0 – точка минимума;









13PAGE 15


13PAGE 14115




Root Entry