Урок: Умно¬же¬ние мно¬го¬чле¬на на од¬но¬член. Ти¬по¬вые за¬да¬чи

Урок: Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи
 1. Теоретические основы для выполнения умножения многочлена на одночлен - формулировкаОперация умножения многочлена на одночлен является основой для рассмотрения операции умножения многочлена на многочлен и нужно сначала научиться умножать многочлен на одночлен, чтобы разобраться в умножении многочленов.
Основой данной операции является распределительный закон умножения. Напомним его:
;
По существу, мы видим правило умножения многочлена, в данном случае двучлена, на одночлен и это правило можно сформулировать так: чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен. Сложить алгебраически полученные произведения, после чего произвести над многочленом необходимые действия – а именно привести его к стандартному виду.
 2. Правило умножения многочлена на одночлен, решение примеровРассмотрим пример:

Комментарий: данный пример решается, точно следуя правилу: каждый член многочлена умножается на одночлен. Для того, чтобы хорошо понять и усвоить распределительный закон, в данном примере члены многочлена были заменены на х и у соответственно, а одночлен на с, после этого выполнено элементарное действие в соответствии с распределительным законом и выполнена подстановка исходных значений. Следует быть внимательными со знаками и правильно выполнить умножение на минус единицу.
Рассмотрим пример умножения трехчлена на одночлен и убедимся, что оно ничем не отличается от такой же операции с двучленом:

Перейдем к решению примеров:
Пример 1:

Комментарий: данный пример решается согласно распределительному закону и аналогично предыдущему примеру - каждый член многочлена умножается на одночлен, полученный многочлен уже записан в стандартном виде, поэтому упростить его нельзя.
Пример 2 – выполнить действия и получить многочлен в стандартном виде:
;
Комментарий: для решения данного примера сначала произведем умножение для первого и второго двучленов согласно распределительному закону, после этого приведем полученный многочлен к стандартному виду - приведем подобные члены.
Теперь сформулируем основные задачи, связанные с операцией умножения многочлена на одночлен, и приведем примеры их решения.
 3. Решение первой типовой задачи – на упрощение выраженийЗадача1 – упростить выражение:
;
Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, а именно вначале производится умножение многочленов на соответствующие одночлены, после этого приведение подобных.
 4. Решение второй типовой задачи – вычислительнойЗадача 2 – упростить и вычислить:
Пример 1:; 
;
;
Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, с тем лишь дополнением, что после приведения подобных членов нужно вместо переменной подставить ее конкретное значение и вычислить значение многочлена. Напомним, чтобы легко умножить десятичную дробь на десять, нужно переместить запятую на один разряд вправо.
Пример 2: 
Найти значение многочлена при 
;
 5. Решение третьей типовой задачи – уравнениеЗадача 3 – решить уравнение:
Пример 1: ;
;
;
.
Комментарий: для решения данного уравнения упростим левую его часть: произведем умножение многочленов на соответствующие им одночлены, а свободный член перенесем в правую часть. После приведения подобных остается решить элементарное уравнение.
Пример 2: 
;
;
;
Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему.
 6. Формулировка типичных ошибокХотелось бы обратить внимание на типовые ошибки во избежание таковых в дальнейшем:
 – неверно! так как ;
 – неверно! так как ;
Вывод: в данном уроке была изучена операция умножения многочлена на одночлен и рассмотрены различные примеры. Кроме того, были сформулированы и решены основные типовые задачи, касающиеся данной операции.