Методика решения логарифмических и показательных уравнений

Методика решения логарифмических
уравнений и неравенств.
Сатцаева Н.Е. МБОУ лицей г.Владикавказ
Решение простейших логарифмических уравнений связано с определением логарифма и основным логарифмическим тождеством вида:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
На основании определения логарифма решают задачи, в которых по данным основаниям и числу определяется логарифм, по данному логарифму и основанию определяется число и по данному числу и логарифму определяется основание. Приведу несколько примеров:

1. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EM
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· 13 EMBED Equation.3 1415.

Решения уравнений вышеприведённого характера обычно затруднений не вызывает, поэтому на их решениях останавливаться не будем.
В школе чаще всего встречаются уравнения, которые решаются либо непосредственным потенцированием, либо потенцированием с предварительным упрощением данного выражения, либо логарифмированием обеих частей уравнения.
Я хочу остановиться подробно на решение каждого из видов.
Первый вид
13 EMBED Equation.3 1415
Желательно, чтобы учащиеся, не приступая к решению, нашли там, где это возможно, область допустимых значений функции, стоящей в левой части уравнения.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
При наличии предварительного исследования проверку делать не обязательно. Если же исследование не проводится, то проверка решения необходима.
В данном примере 13 EMBED Equation.3 1415 является корнем уравнения.
В качестве упражнений можно предложить следующие задачи:

1. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

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Второй вид

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 является корнем данного уравнения. Проверка может быть проведена с целью обнаружить ошибку в ходе решения, если такая окажется.

Задачи для упражнений.
1. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equa
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·Третий вид
Эти уравнения решаются логарифмированием обеих частей.
Чаще всего этот способ применяется для уравнений, в которых показатель степени содержит логарифмы. Например: для решения уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, что сделать можно, так как x>0, ибо среди компонентов имеется lgx, который существует только при x>0.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 100.

Примерные упражнения.

Разобрав решения основных видов показательных и логарифмических уравнений, следует в порядке повторения рассмотреть уравнения с усложнёнными условиями. Например, такие:
1. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
сгруппировав члены и вынося за скобки общие множители, получим
13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
то 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 100.
2. 13 EMBED Equation.3 1415
Потенцируя обе части уравнения, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решая полученное уравнение и используя замену, получаем
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 2; 4.

3.13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 10; 13 EMBED Equation.3 1415

4. 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Заменяя 13 EMBED Equation.3 1415 и потенцируя, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
получаем 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Первый корень посторонний, так как 13 EMBED Equation.3 1415
Решением будет 13 EMBED Equation.3 1415

5. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
пусть 13 EMBED Equation.3 1415, имеем
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Используя замену, получим 13 EMBED Equation.3 1415 По свойству показательных функций равенство
13 EMBED Equation.3 1415 невозможно; 13 EMBED Equation.3 1415корень посторонний.
Ответ: 9.

6. 13 EMBED Equation.3 1415
На основании определения логарифма имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 313 EMBED Equation.3 1415

7. 13 EMBED Equation.3 1415
Заменяя 13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 1.

Решение логарифмических неравенств следует предлагать учащимся после выяснения свойств логарифмической функции, так как их решения часто основываются на свойстве монотонности логарифмической функции.
Разберём несколько примеров.

1. 13 EMBED Equation.3 1415
Так как обе части неравенства – числа положительные, то возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство.
13 EMBED Equation.3 1415
заменим 1 через 13 EMBED Equation.3 1415, получим систему неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415
Первое неравенство вытекает из определения логарифма, а второе – из свойств монотонного возрастания логарифмической функции при основании , большем единицы
( в нашем случае -2). Эта система равносильна системе
13 EMBED Equation.3 1415
а) Если 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 то
13 EMBED Equation.3 1415 Решения нет.
б) Если 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415, заменяем 13 EMBED Equation.3 1415,
получим систему неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415
что равносильно неравенству:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 при любом х, значит,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415 Приведя к общему знаменателю, после упрощения получим:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 при любом х, т.к.
D=1-4=-3<0; a=1>0. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415
т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415 Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

8. 13 EMBED Equation.3 1415 Это уравнение равносильно системам:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Рассмотрим решение более сложных неравенств.
1.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
3. Найти область определения функции:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

4. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

13PAGE 15

13PAGE 14115

13 EMBED Equation.3 1415

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native