Исследовательская работа по теме ОБЩИЕ МЕХАНИЗМЫ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ САМООРГАНИЗУЮЩИХ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ГУО «Брагинская средняя общеобразовательная школа»













ОБЩИЕ МЕХАНИЗМЫ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ САМООРГАНИЗУЮЩИХ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ














Руководитель
учитель физики и математики _______________ Позняк Татьяна Михайловна

Составитель
исследовательской работы
учащиеся 11 «А» класса ___________________Зайцев Владимир Викторович
__________________ Кобов Дмитрий Владимирович
учащийся 11 «Б» класса _____________Кузьменок Владислав Владимирович





Брагин 2011
РЕФЕРАТ

Исследовательская работа: 29 страниц, 8 рисунков, 16 литературных источников
Ключевые слова: теория хаоса, самоорганизация, синергетика, флуктуация, фрактал, точка бифуркации, ячейки Бенара.
Объект исследования: ячейки Бенара.
Предмет исследования: исследовать возникновение упорядоченности в виде конвективных ячеек в форме цилиндрических валов или правильных шестигранных структур в слое вязкой жидкости равномерно подогреваемой снизу.
Цель работы: изучение особенностей самоорганизации физических систем и их экспериментальная проверка.
Выводы: при определенной температуре между слоями масла неравновесная система сменяется устойчивым состоянием, характеризующимся образованием ячеек.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Глава 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ САМООРГАНИЗАЦИИ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Глава 2 ОБЪЕКТ, ПРОГРАММА И МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. . . . .16
Глава 3 ОПЫТ ПО ФОРМИРОВАНИЮ УПОРЯДОЧЕННЫХ СТРУКТУР В НАГРЕТОЙ ЖИДКОСТИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


ВВЕДЕНИЕ
Наш мир и всё что доступно в нём наблюдению, претерпевает непрерывные изменения – мы наблюдаем его непрекращающуюся эволюцию. Мир непрерывно развивается, и в этом изменении просматривается определённая закономерность: сильнонеравновесная физическая система, как правило, стремится к состоянию, отличному от состояния равновесия.
Синергетика представляет собой новую обобщающую науку, изучающую основные законы самоорганизации сложных систем. В нее входят такие области как нелинейная динамика, хаос, фракталы, катастрофы, бифуркации, волны, солитоны, полевые эффекты и т.д. В наши дни острый интерес к синергетике объясняется тем, что она становится языком междисциплинарного общения, на котором могут друг друга понять математики, физики, химики, биологи, психологи и др., несмотря на то, что каждый понимает синергетические модели по-своему. Трудно или даже невозможно назвать область знания, в которой сегодня не проводились бы исследования под рубрикой синергетики.
Сегодня, когда синергетика приобрела значения движущего начала в научных исследованиях, возникает вопрос о необходимости преподавания основ синергетики в школе.
Следует отметить, что общие механизмы и закономерности самоорганизации физических систем представляют большой познавательный интерес для школьников. Однако, насколько нам известно, в школах недостаточно доступной и наглядной учебной литературы, пригодной для использования учителями при проведении занятий и кружков, на которых изучаются основы синергетики. Кроме того, в литературе недостаточно представлены сведения об экспериментах, иллюстрирующих основные закономерности самоорганизации физических систем, выполнение которых на базе школьной физической лаборатории не представляет затруднений.
При изучении нелинейных явлений центральным является раздел, посвященный вопросам самоорганизации.
Идеи самоорганизации обладают большой ценностью для учащихся, так как они формируют мировоззренческие представления учащихся, составляют картину мира, определяют стиль мышления. Такие фундаментальные идеи самоорганизации, как творческая роль хаоса в процессе эволюции сложноорганизованных систем (без хаоса нет и порядка), конструктивная роль случайности, многовариантность эволюции, взаимодействие и развитие наук разной природы на современном этапе должны стать элементами нового мировидения еще в школе. Однако, сложность научного материала и недоступность пониманию среднего школьника или студента, создали определенную проблему в области методики преподавания вопросов самоорганизации.
Цель работы: Изучение особенностей самоорганизации физических систем и их экспериментальная проверка.
Актуальность и новизна роботы: Синергетика, как наука, изучающая основные механизмы и закономерности самоорганизации физических систем, стала очевидной в течение последних 20 лет. К концу 90-х принципы и методы синергетики стали применяться при решении круга задач в области физики. Поэтому актуальность и новизна данной работы заключается в исследованиях общих механизмов и закономерностей самоорганизующихся систем.
Практическое значение. В практической части планируется представить описание и результаты вычисления демонстрации по самоорганизации – ячеек Бенара. Актуальность разработки этой демонстрации вызвана повышенным интересом к изучению вопросов синергетики в области физики. Описана методика демонстрации, которая позволяет показать организацию пространственных структур, условия их стабильного существования и перехода к хаосу. Несмотря на то, что ранее это явления рассматривалось в теоретических и практических курсах, новая демонстрация и ее трактовка доступны как студентам младших курсов, так и учащимся школ.
Глава 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ САМООРГАНИЗАЦИИ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Синергетика – это новое мировоззрение,
отличное от ньютоновского классицизма.
М.В.Волькенштейн, советский биофизик,
член-корр. АН СССР,
сентябрь 1982
Около 50 лет назад в результате развития термодинамики возникла новая дисциплина – синергетика. Являясь наукой о самоорганизации самых различных систем – физических, химических, биологических и социальных – синергетика показывает возможность хотя бы частичного снятия междисциплинных барьеров не только внутри естественно научной отросли знания, но также и между естественно научной и гуманитарной культурами.
Термин ''синергетика'' был введен Г. Хакеном для обозначения междисциплинарного направления, в котором результаты исследований по теории лазеров и неравновесным фазовым переходам смогли дать идейную основу для плодотворного взаимосотрудничества исследователей из различных областей знания. Синергетика Г. Хакена в нестрогом смысле имеет предшественников: Ч. Шеррингтон, называвший синергетическим согласованное действие нервной системы при управлении мышечными движениями; Улам, говоривший о синергии, в форме непрерывного сотрудничества между компьютером и оператором; И. Забуский, пришедший к выводу о необходимости единого синтетического подхода к нелинейным математическим и физическим задачам. Однако, притом, что имеется неформальная связь явлений, названных ''синергетика'', по существу содержания предшественники Г. Хакена говорили лишь о частных примерах.
Вопрос о возникновении из простого сложного считается в науке одним из самых сложных. Лишь во второй половине XX в. наука стала осваивать сложные системы теоретически, в связи с чем появилась особая наука, синергетика, теория самоорганизации сложных систем. Само понятие самоорганизации остается условным и недостаточно осмысленным. В этом отношении более гибкую позицию занял Г. Хакен, когда во введении к своей работе дал обоснование термину «синергетика»: «Я назвал новую дисциплину «синергетикой» не только потому, что в ней исследуется совместное действие многих элементов систем, но и потому, что для нахождения общих принципов, управляющих самоорганизацией, необходимо кооперирование многих различных дисциплин» [1].
Синергетика представляет собой новую обобщающую науку, изучающую основные законы самоорганизации сложных систем. В нее входят такие области как нелинейная динамика, хаос, фракталы, катастрофы, бифуркации, волны, солитоны, полевые эффекты и т.д. Растущая в наше дни популярность синергетики объясняется тем, что она становится языком междисциплинарного общения, на котором могут друг друга понять математики, физики, химик, биологи, психологи и др., несмотря на то, что каждый понимает синергетические модели по-своему.
В синергетике к настоящему времени сложилось уже несколько научных школ. Эти школы окрашены в те тона, которые привносят их сторонники, идущие к осмыслению идей синергетики с позиции своей исходной дисциплинарной области, будь то математика, физика, биология или даже обществознание.
Среди российских ученых следует упомянуть академика А. А. Самарского и члена – корреспондента РАН С. П. Курдюмова. Их школа разрабатывает теорию самоорганизации на базе математических моделей и вычислительного эксперимента на дисплеях компьютеров. Эта школа выдвинула ряд оригинальных идей для понимания механизмов возникновения и эволюции относительно устойчивых структур в открытых (нелинейных) средах (системах).
Широко известны также работы академика Н. Н. Моисеева, разрабатывающего идеи универсального эволюционизма и коэволюции человека и природы, работы биофизиков, членов-корреспондентов РАН М. В. Волькенштейна и Д. С. Чернавского.
Такое разнообразие научных школ, направлений, идей свидетельствует о том, что синергетика представляет собой скорее парадигму, чем теорию. Это значит, что она олицетворяет определенные достаточно общие концептуальные рамки, немногочисленные фундаментальные идеи, общепринятые в научном сообществе, и методы (образцы) научного исследования.
Итак, что такое синергетика? Ответ на данный вопрос можно рассмотреть в нескольких вариантах. Во-первых, в буквальном смысле, речь идет о явлениях, которые возникают от совместного действия нескольких разных факторов, в то время как каждый фактор в отдельности к этому явлению не приводит, во-вторых, синергетику часто определяют как науку о самоорганизации. Последнее означает самопроизвольное усложнение формы, или в более общем случае структуры системы при медленном и плавном изменении ее параметров (диссипативные структуры). Можно дать третье определение: синергетика – наука о неожиданных явлениях. Это определение не противоречит, а скорее дополняет предыдущие. Действительно, все перечисленные явления на первый взгляд неожиданны. Достаточно вспомнить ячейки Бенара: при низкой температуре подогрева ячеек Бенара не было, а при увеличении ее структура «вдруг» появилась, однако при более детальном анализе выясняется, что ничего неожиданного в этом нет. Причиной неожиданного, как правило, оказывается неустойчивость. Анализ, вскрывающий причину неожиданного явления, и составляет предмет синергетики. Метод (или математический аппарат), который используется в синергетике, – это теория динамических систем [8].
Синергетика – единственная из всех наук, призванная вести исследования в пограничных областях знаний, направленных на выявление закономерностей самопроизвольного образования и разрушения упорядоченных пространственно-временных структур. Это общепризнанно. Но есть еще одна не менее важная, ее научная задача – синергетику с полным правом можно отнести к науке телеологической направленности исследований [2], науке, изучающей процессы целесообразной самоорганизации структур, а также выяснение законов построения организации, возникновения упорядоченности. Здесь акцент делается на принципах построения организации, ее возникновении, развитии и самоусложнении.
Рассмотрим особенность синергетики как науки. В отличие от большинства новых наук синергетика возникает, опираясь не на граничные, а на внутренние точки различных наук, с которыми она имеет ненулевые пересечения: в изучаемых синергетикой системах, режимах и состояниях физик, биолог, химик и математик видят свой материал, и каждый из них, применяя методы своей науки, обогащает общий запас идей и методов данной науки. Эту особенность синергетики подробно охарактеризовал Хакен: «Данная конференция, как и все предыдущие, показала, что между поведением совершенно различных систем, изучаемых различными науками, существуют поистине удивительные аналоги. С этой точки зрения данная конференция служит еще одним примером существования новой области науки – синергетики. Разумеется, синергетика существует не сама по себе, а связана с другими науками, по крайней мере, двояко. Во-первых, изучаемые синергетикой системы относятся к компетенции различных наук. Во-вторых, другие науки привносят в синергетику свои идеи» [6].
Итак, синергетика как наука делает первые шаги, и существует сразу не в одном, а в нескольких вариантах, отличающихся не только названиями, но и степенью общности и акцентами в интересах.
Когда Г. Хакена как одного из основателей синергетики попросили назвать ключевые положения синергетики, то он перечислил их в следующем порядке:
Исследуемые системы состоят из нескольких или многих одинаковых или разнородных частей, которые находятся во взаимодействии друг с другом.
Эти системы являются нелинейными.
При рассмотрении физических, химических и биологических систем речь идет об открытых системах, далеких от теплового равновесия.
Эти системы подвержены внутренним и внешним колебаниям.
Системы могут стать нестабильными.
Происходят качественные изменения.
В этих системах обнаруживаются эмерджентные (т.е. вновь возникшие) новые качества.
Возникают пространственные, временные, пространственно-временные или функциональные структуры.
Структуры могут быть упорядоченными или хаотичными.
Во многих случаях возможна математизация [5].
В приведенных выше десяти положениях Хакену действительно удалось в весьма лаконичной форме выразить основное содержание синергетики. Для полноты картины рассмотрим это содержание.
Хакен прежде всего подчеркивает, что части систем взаимодействуют друг с другом. Он выделяет истоки, которые приводят к образованию новых систем. Обычно рассуждают так: сложное возникает из простого, но ведь это непостижимо. Хаос есть хаос, он никак не может превратиться в порядок. Логика Хакена идет в другом направлении. Основополагающий системный фактор состоит не в хаотичности, а во взаимодействии, в динамике. Динамика не чужда даже хаосу. А раз так, то вполне возможно, что в хаосе рождается порядок, упорядоченность.
Синергетика, как правило, имеет дело с открытыми системами, далекими от равновесия. Открытые системы – это такие системы, которые поддерживаются в определенном состоянии за счет непрерывного притока извне и (или) стока вовне вещества, энергии или информации. Причем приток и сток обычно носят объемный характер, т.е. происходят в каждой точке данной системы. Постоянный приток вещества, энергии или информации является необходимым условием существования неравновесных, неустойчивых состояний в противоположность замкнутым системам, неизбежно стремящимся к однородному равновесному состоянию. Если отклонение открытой системы от состояния равновесия невелико, то неравновесное состояние можно описать теми же параметрами (температура, химический потенциал и другие), что и равновесное. Однако отклонение параметров от равновесных значений вызывают потоки вещества и энергии в системе. Такие процессы переноса приводят к производству энтропии. Примерами открытых систем являются: биологические системы, включая клетку, системы обработки информации в кибернетике, системы энергоснабжения и другие. Для поддержания жизни в системах от клетки до человека необходим постоянный обмен энергией и веществом с окружающей средой. Следовательно, живые организмы являются системами открытыми, аналогично и с другими приведенными параметрами. Пригожиным в 1945 году был сформулирован расширенный вариант термодинамики.
В открытой системе изменение энтропии можно разбить на сумму двух вкладов:
dS = dSe + dSi, (1.1)
где dSe – поток энтропии, обусловленный обменом энергией и веществом с окружающей средой, dSi – производство энтропии внутри системы (рис. 1.1).
Рисунок 1.1 Схематическое представление открытых систем: производство и поток энтропии, где Х – набор характеристик, c – состав системы и внешней среды, Т – температура, p – давление

Итак, открытая система отличается от изолированной наличием члена в выражении для изменения энтропии, соответствующего обмену. При этом знак члена dSe может быть любым в отличии от dSi.
«Открытые системы – это системы необратимые; в них важным оказывается фактор времени» [9].
В открытых системах ключевую роль могут играть случайные факторы, флуктуационные процессы. «Иногда флуктуация может стать настолько сильной, что существовавшая организация разрушается» [10].
Итак, мы имеем систему, открытую для протока энергии или иного достаточно интенсивного воздействия извне. Система понимается как сложная, то есть содержащая очень большое, иногда с трудом исчислимое множество и поэтому процессы в системе строятся как массовые кооперативные процессы. Вместе с тем сложность или простота системы – понятия относительные. Прибегать к ним как к определяющим показателям кажется нам не очень продуктивным. Синергетика способна рассматривать всякую систему одновременно и на макроуровне – как целостность, описываемую достаточно просто немногими параметрами порядка, и на микроуровне – как сложное взаимодействие множества элементов.
Открытость – необходимое, но не достаточное условие для самоорганизации системы. Система должна быть еще и нелинейной.
Синергетика – это наука о самоорганизации в нелинейной среде. Нелинейность среды задается нелинейностью изменения ее параметров в пространстве.
Нелинейность – это фундаментальный концептуальный узел новой парадигмы. С математической точки зрения нелинейность означает особый тип математических уравнений, описывающих не плавный, а существенно неравномерный рост функции и имеющих несколько качественно различных решений [11]. Отсюда ясен и физический смысл нелинейности: определенному набору решений нелинейного уравнения соответствует множество путей эволюции системы, описываемой этим уравнением, а переход в то или иное относительно устойчивое состояние системы или русло эволюции происходит скачкообразно, соответственно особым точкам графической кривой. Нелинейные уравнения могут иметь несколько качественно различных решений, которым соответствует множество путей эволюции системы.
В мировоззренческом плане идея нелинейности приводит к многовариантности путей эволюции, выбору, темпу эволюции, необратимости эволюции.
Таким образом, важнейшим концептом синергетики является нелинейность. «Линейность абсолютизирует поступательность, безальтернативность, торжество постоянства» [13].
Неравновесность, неустойчивость открытых систем порождается постоянной борьбой двух тенденций. Первая – это порождение и укрепление неоднородностей, структурирования, локализации элементов открытой системы. И вторая – рассеивание неоднородностей, «размывание» их, диффузия, деструктурализация системы. Если побеждает первая тенденция, то открытая система становится самоорганизующейся системой, а если доминирует вторая – открытая система рассеивается, превращаясь в хаос. А когда эти тенденции примерно равны друг другу, тогда в открытых системах ключевую роль – наряду с закономерным и необходимым – могут играть случайные факторы, флуктуационные процессы. Иногда флуктуация может стать настолько сильной, что существовавшая организация разрушается.
Процессы, происходящие в нелинейных системах, часто носят пороговый характер – при плавном изменении внешних условий поведение системы меняется скачком. Другими словами, в состояниях, далеких от равновесия, очень слабые возмущения могут усиливаться до гигантских волн, разрушающих сложившуюся структуру и способствующих ее радикальному качественному изменению.
«Нелинейные системы, являясь неравновесными и открытыми, сами создают и поддерживают неоднородности в среде» [15]. В таких условиях между системой и средой могут иногда создаваться отношения обратной положительной связи, т.е. система влияет на свою среду таким образом, что в среде вырабатываются некоторые условия, которые в свою очередь обуславливают изменения в самой этой системе. «Последствия такого рода взаимодействия открытой системы и ее среды могут быть самыми неожиданными и необычными» [4].
Нелинейность фиксирует непостоянство, многообразие, неустойчивость, отход от положений равновесия, случайности, точки ветвления процессов, бифуркации.
Итак, если нелинейная система открыта и ее внутренние флуктуации или внешние воздействия превысят некое пороговое значение, то она может скачком перейти в новое макроскопическое состояние. Но что это за состояние? И какие состояния вообще возможны?
Мы подходим здесь к одному из центральных тезисов синергетики. Это дискретность возможных состояний, в которые может переходить система в процессе эволюции, а также заданность, ограниченность их числа. Иначе говоря, спектр возможных структур-аттракторов эволюции, то есть структур, на которые выходят эволюционные процессы в этой системе, не является сплошным. В процессе эволюции система может перейти или в то, или в это состояние, но не во что-то среднее между ними. Только определенный набор эволюционных путей разрешен, ибо только этот набор соответствует внутренним свойствам рассматриваемой системы [3].
Синергетика изучает два типа структур: диссипативные и нестационарные (эволюционирующие).
Диссипативные структуры – структуры, возникающие в процессе самоорганизации, для осуществления которых необходим рассеивающий (диссипативный) фактор. Новая структура всегда является результатом раскрытия неустойчивости в результате флуктуаций. Флуктуации – движения элементов микроуровня, обычно расцениваемые как случайные и не составляющие интереса для исследователя. В зависимости от своей силы флуктуации, воздействующие на систему, могут привести ее к различным вариантам дальнейшего существования. Выбор вариантов происходит в точке бифуркации. Точка бифуркации представляет собой переломный, критический момент в развитии системы, в котором она осуществляет выбор пути; иначе говоря, это точка ветвления вариантов развития, точка, в которой происходит катастрофа.
Нестационарные (эволюционирующие) структуры возникают за счет активности нелинейных источников энергии. Здесь структура – это локализованный в определенных участках среды процесс, имеющий определенную геометрическую форму и способный развиваться, трансформироваться или же переноситься в среде с сохранением формы.
Синергетика, как правило, имеет дело с открытыми системами, далекими от равновесия. Открытость системы означает наличие в ней источников и стоков, например, вещества, энергии и информации.
Чтобы система образовалась, необходим соответствующий динамический источник, который как раз и выступает организующим началом. Без подвода вещества и энергии организмы вымирают, без подвода газа не горит пламя в газовой горелке; безжизненной оказывается любая социальная система, обесточенная в информационном отношении. Там, где наступает равновесие, самоорганизация прекращается.
Имея дело с открытыми (имеющими источники и стоки энергии) нелинейными системами, синергетика утверждает, что мир возникает в результате самопроизвольных и самоорганизующихся механизмов. В их основе лежит единая симметрия форм в живой и неживой природе. Например, спирали Галактики и циклона подобны спирали раковины улитки, рогов животных. Есть общность структуры Вселенной и живой природы, урбанизации и географического распределения населения и т.п.
Синергетика объясняет, почему образуются именно эти структуры. Она обосновывает положение, согласно которому подобные структуры являются структурами эволюционными. Функциональная общность процессов самоорганизации систем, их устойчивость поддерживается законами ритма (день – ночь, подъем – спад в творческой активности человека и т.п.).
Случайность оказывается необходимым элементом мира: порядок (закон) и беспорядок (хаос) включают в себя друг друга [17]. Более того, случайность играет роль творческого начала в процессе самоорганизации. Чем дальше от состояния равновесия, тем быстрее растет число решений, состояний сложной системы. Иначе говоря, система в состоянии равновесия «слепа», а в неравновесных условиях она «воспринимает» различия внешнего мира и «учитывает» их в своем функционировании. Срабатывает эффект бумеранга, который ускоряет протекание процессов.
В процессе самоорганизации возникает множество новых свойств и состояний. Очень важно, что обычно соотношения, связывающие аттракторы (отрезок эволюционного пути от точки бифуркации до необходимого финала), намного проще, чем математические модели, детально описывающие всю новую систему.
В переломный момент самоорганизации принципиально неизвестно, в каком направлении будет происходить дальнейшее развитие: станет ли состояние системы хаотическим или она перейдет на новый, более высокий уровень упорядоченности и организации. В точке бифуркации система как бы колеблется перед выбором того или иного пути организации, пути развития. В таком состоянии небольшая флуктуация может послужить началом эволюции системы в некотором определенном направлении, одновременно отсекая при этом возможности развития в других направлениях.
Метод (или математический аппарат), который используется в синергетике, – это теория динамических систем. Математический метод синергетики, то есть теория динамических систем, основан на дифференциальных уравнениях вида:
13 QUOTE 1415, i=1, 2, , n, (1.2)
где 13 QUOTE 1415 – динамические переменные, например концентрация реагирующих веществ, 13 QUOTE 1415 – функции (в общем случае нелинейные), описывающие их (в смысле динамических переменных) взаимодействие в данной точке пространства, 13 QUOTE 1415 – характерные времена изменения переменных 13 QUOTE 1415. Член 13 QUOTE 1415 описывает распространение динамических переменных 13 QUOTE 1415 в пространстве, в частности их диффузию (13 QUOTE 1415 – коэффициенты диффузии).
Уравнение (1.2) является динамическими, т.е. его решение, вообще говоря, однозначно определяется начальными и граничными условиями и, разумеется, свойствами и параметрами самого уравнения. Казалось бы, в такой ситуации ничего неожиданного быть не должно. Тем не менее, характерные для синергетики неожиданности здесь возникают в случае, когда решения динамических уравнений теряют устойчивость.
Переход от хаоса к порядку вполне поддается математическому моделированию [12]. Более того, в природе существует не так уж много универсальных моделей такого перехода. Качественные переходы в самых разных сферах действительности подчиняются подчас одному и тому же математическому сценарию. Синергетика убедительно показывает, что даже в неорганической природе существуют классы систем, способных к самоорганизации. История развития природы это история образования все более и более сложных нелинейных систем. Такие системы и обеспечивают всеобщую эволюцию природы на всех уровнях ее организации – от низших и простейших к высшим и сложнейшим.
Синергетика заметно отличается от традиционной научной дисциплины: она не сложилась пока как единая наука, а существует как бы в нескольких вариантах, отличающихся не только названиями, но также степенью общности и полноты результатов и непосредственным предметом исследований. Синергетическими по существу теориями являются математическая теория бифуркаций, теория хаоса, теория нелинейных колебаний и волн, нелинейная динамика, теория фазовых переходов и некоторые другие.
Таким образом, можно сказать, что сейчас синергетика – это круг общих идей о принципах самоорганизации и вместе с тем сумма общих математических методов для ее описания. Предпринимаются все более активные попытки использования этих идей и методов в экологии, социологии и экономике.
Проблематика, содержание, методы исследований и результаты, относимые к синергетике характеризуются неоднозначными оценками и неопределенностью. Вместе с тем, синергетика как научное направление исследований является востребованной обществом. Значительное количество результатов исследований в разных областях знания соотносится исследователями с синергетикой [14]. Контекст синергетики дает возможность плодотворно взаимодействовать ученым разных специализаций на языке системного осмысления и поиска новых решений. Приведенные определения синергетики, полученные преемственным образом, могут конструктивно применяться при решении конкретных задач. Можно предположить, что в связи с существующими и грядущими результатами в кинетической химии, нейробиологии, транспьютерном нейрокомпьютинге и в других областях сформируется более определенный теоретический и аксиоматический базис синергетики, благодаря чему, в частности, и критика в ее адрес станет более конструктивной и продуктивной. Несомненно, при всем том, что синергетика полноценно «работает» сегодня как категория научного знания.
Глава 2 ОБЪЕКТ, ПРОГРАММА И МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ
Объектом исследования являются ячейки Бенара.
Предмет исследования: исследовать возникновение упорядоченности в виде конвективных ячеек в форме цилиндрических валов или правильных шестигранных структур в слое вязкой жидкости равномерно подогреваемой снизу.
Программа исследования включала в себя следующие вопросы:
1. Обзор и анализ литературы по самоорганизации физических систем.
2. Демонстрация опыта по формированию упорядоченных структур.
Методика исследования.
Для того чтобы экспериментально изучить структуры, достаточно иметь круглую металлическую кювету с внешним диаметром порядка 10 см., либо обычную сковороду, немного масла и какой - нибудь мелкий порошок (обычно берут алюминиевую пудру), чтобы было заметно движение жидкости.
Нальем в кювету слой масла толщиной 1,5 - 2 мм., с размешанным в нем порошком, и будем подогревать ее снизу на электрической плитке (рис. 2.1).
Если дно сковороды плоское и нагреваем мы ее равномерно, то можно считать, что у дна и на поверхности поддерживаются постоянные температуры, снизу – Т1 , сверху – Т2. Пока разность температуры (Т = Т1 – Т2 невелика, частички порошка неподвижны, а следовательно, неподвижна и жидкость (рис. 2.2).
Будем плавно увеличивать температуру Т1. С ростом разности температур до значения (Ткр наблюдается все та же картина (рис. 2.3).
Когда разность температур между верхним и нижним слоями 20-30 С°, т.е. (Т ( (Ткр, вся среда разбивается на правильные шестигранные ячейки как показано на рисунке 3.6, в центре каждой из которых жидкость движется вверх, по кроям вниз. Это и есть ячейки Бенара (рис. 2.4).
Слегка наклоняя емкость, можно продемонстрировать пропорциональность размеров ячеек Бенара толщине слоя жидкости. Там, где толщина слоя жидкости невелика, ячейки будут маленькими.
С помощью описанного прибора можно также продемонстрировать способность ячеек Бенара к самоорганизации. Если разрушить имеющуюся структуру – например, активно перемешивая жидкость палочкой, то через некоторое время после окончания перемешивания ячейки вновь восстанавливаются.
Глава 3 РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Опыт Бенара состоит в следующем. Горизонтальный слой вязкой жидкости заключают между двумя параллельными поверхностями, причем нижнюю поверхность нагревают. Сначала жидкость находится в покое. Но за счет подогрева снизу создается разница температур. Из-за силы тяжести и выталкивающей силы Архимеда, тяжелые верхние слои и легкие нижние слои стремятся поменяться местами. До какого-то момента все внутренние движения гасятся силами вязкости. Но при достижении критической разности температур возникают конвекционные потоки, и слой жидкости вдруг скачком разделяется на шестиугольные ячейки, похожие на пчелиные соты (рис. 3.1).
Рисунок 3.1 Ячейки Бенара:
а) общий вид структуры;
б) отдельная ячейка

Эта структура образовалась в масле, налитом в плоский широкий сосуд, подогреваемый снизу, после того как температурный градиент превысил некоторое критическое значение. Весь слой масла распадался на одинаковые вертикальные шестигранные призмы с определенным соотношением между стороной и высотой. В центральной области призмы жидкость поднимается, а вблизи вертикальных граней – опускается. Возникает разность температур Т между нижней и верхней поверхностью (Т = Т2 - Т1 ( 0. Для малых до критических разностей (Т ( (Ткр жидкость остается в покое, тепло снизу вверх передается путем теплопроводности. При достижении температуры подогрева критического значения Т2 = Ткр (соответственно (Т = (Ткр) начинается конвекция. При достижении критического значения параметра Т, рождается, таким образом, пространственная диссипативная структура. При равновесии температуры равны Т2 =Т1, (Т = 0. При кратковременном подогреве (подводе тепла) нижней плоскости, то есть при кратковременном внешнем возмущении температура быстро станет однородной и равной ее первоначальному значению. Возмущение затухает, а состояние – асимптотически устойчиво. При длительном, но до критическом подогреве ((Т ( (Ткр) в системе снова установится простое и единственное состояние, в котором происходит перенос к верхней поверхности и передачи его во внешнюю среду (теплопроводность), рис. 3.2, участок а. Отличие этого состояния от равновесного состояния состоит в том, что температура, плотность, давление станут неоднородными. Они будут приблизительно линейно изменяться от теплой области к холодной.

Рисунок 3.2 Поток тепла в тонком слое жидкости

Увеличение разности температур (Т, то есть дальнейшее отклонение системы от равновесия, приводит к тому, что состояние неподвижной теплопроводящей жидкости становится неустойчивым участок б на рисунке 3.2. Это состояние сменяется устойчивым состоянием (участок в на рис. 3.2), характеризующимся образованием ячеек. При больших разностях температур покоящаяся жидкость не обеспечивает большой перенос тепла, жидкость «вынуждена» двигаться, причем кооперативным коллективным согласованным образом.
В данной системе управляющим параметром служит градиент температуры. При малых значениях градиента температуры с жидкостью ничего не происходит, т. е. система находится в непосредственной близости от термодинамического равновесия. Подводимое тепло извне отводится посредствам диффузии. При постоянном нагревании мы уводим систему все дальше и дальше от термодинамического равновесия. Тепловой диффузии становится все труднее обеспечивать рассеяние подводимой энергии. Это происходит до тех пор. Пока внезапно не откроется конвективный канал отвода энергии, и в точке неустойчивости не возникнет макроскопическое коллективное движение жидкости. Более нагретые участки жидкости, находящиеся ближе к источнику тепла, расширяются и, подчиняясь подъемной силе Архимеда, поднимаются вверх. Здесь они охлаждаются и вновь опускаются вниз. Подъемной силе противостоят сопротивление внутреннего трения и тепловая диффузия, которые стремятся выровнять температуру и плотность нагретого участка жидкости с температурой и плотностью окружающей среды. Таким образом, устанавливается процесс конвективного переноса тепла, обусловленный коллективным движением жидкости. Это коллективное движение производится за счет кинетической энергии – работы сил, вызывающих «всплывание» более теплых масс жидкости при наличии обратного градиента температуры, поддерживаемого односторонним нагревом.
В непосредственной близости от точки неустойчивости подводимое к системе тепло превращается в неупорядоченную энергию теплового возбуждения: в случайно возникающие и сразу же распадающиеся флуктуации, порожденные скорреллированными микро-движениями относительно небольших групп молекул жидкости, которые служат первым признаком перехода к конвективному движению. За точкой неустойчивости флуктуации, порождаемые источником порядка, отождествляемым с отклонением системы от термодинамического равновесия, не распадаются, а напротив, усиливаются. Образуется новая динамически упорядоченная структура, так называемые ячейки Бенара. Это новая структура возникает и существует за счет подводимой извне тепловой энергии, часть которой преобразуется в кинетическую энергию макроскопически упорядоченных струй жидкости. Образование таких струй нарушает непрерывную трансляционную симметрию, типичную для структуры однородной жидкости. Ячейки выстраиваются вдоль горизонтальной оси, причем жидкость в ячейках приходит последовательно во вращение то по, то против часовой стрелке. Устойчивое струйное течение жидкости, невероятное или даже невозможное в изолированной системе, поддерживается балансом потоков подводимого и рассеиваемого тепла, вследствие чего сохраняются температурный градиент и скорость течения, установившиеся в системе струй. Если отключить нагреватель, исчезнет источник тепловой энергии, а вместе с ним упорядоченное коллективное конвективное движение.
При визуальном наблюдении внутри каждой ячейки отчетливо видна циркуляция жидкости. Для жидкостей, у которых плотность уменьшается с повышением температуры, движение нагретой жидкости происходит в центре вверх, и после остывания жидкость опускается вниз по боковым граням ячейки. Очевидно, что если температурная зависимость плотности жидкости будет иной, то движение сменится на противоположное. Уже образовавшуюся структуру легко разрушить, перемешав жидкость. Но разрушенная структура ячеек восстанавливается уже через несколько секунд. Можно изменить и размеры ячеек, если слегка наклонить кювету. С увеличением толщины слоя диаметры ячеек уменьшаются. По мере остывания кюветы (уменьшения градиента температуры) ячейки увеличиваются в размере.
Образование именно сотовой ячеистой структуры объясняется минимальными затратами энергии в системе на создание именно такой формы пространственной структуры. При этом в центральной части ячейки жидкость движется вверх, а на ее периферии – вниз.
Дальнейшее сверхкритическое нагревание жидкости приводит к разрушению пространственной структуры – возникает хаотический турбулентный режим.
Но самое удивительное заключается в том, что при еще больших тепловых потоках наблюдается чередование переходов: ХПХП..., где Х – хаос, П – порядок.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе рассмотрен один из важнейших разделов физики ( нелинейная динамика открытых систем. На основании анализа литературы раскрыты общие механизмы и закономерности самоорганизующихся физических систем, а также проанализированы основные концепции науки о самоорганизации – синергетики (см. приложение 1).
Из результатов исследовательской работы можно сделать следующие выводы: на элемент объема жидкости действуют сила тяжести, сила Архимеда и силы вязкого трения. Конвекция возникает под действием архимедовых сил в поле силы тяжести при наличии неоднородностей в плотности жидкости. Любая разность температур порождает разность плотностей жидкости. Нижний "легкий" (теплая жидкость с меньшей плотностью) и верхний "тяжелый" слои (холодная жидкость с большей плотностью) стремятся поменяться местами: более теплые слои поднимаются вверх, более холодные опускаются вниз. При определенном градиенте температур вся среда разбивается на правильные шестигранные ячейки, в центре каждой из которых жидкость движется вверх, по краям – вниз. Рост градиента температуры определяет победу конвекции и в системе порядок побеждает хаос.
В результате выполненной работы были представлены методические указания с подробным объяснением и рисунками для постановки и реализации демонстрационного эксперимента на базе школьной физической лаборатории и в домашних условиях, а также разработан каталог ссылок (см. приложение 2) на учебную и научно-методическую литературу и полезные Интернет-ресурсы. В каталоге собраны ссылки на материалы, которые доступны для понимания школьникам и не требуют знаний, выходящих за рамки школьного курса.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
Самоорганизация материальных систем // Философия [Электронный ресурс]. – 2005. – Режим доступа: http://prog10.narod.ru/glava2_5.htm. - Дата доступа: 18.09.2011.
Николис, Г. Самоорганизация в неравновесных системах / Г. Николис, И. Пригожин. – М.: Мир, 1979. – 512 с.
Малинецкий, Г.Г. Синергетика – теория самоорганизации / Г.Г. Малинецкий. – М.: Наука, 1983. – 164 с.
Панов, Г.А. Интервью с профессором Г. Хакеном / Г.А. Панов // Вопросы философии. – 2000. – № 3. – С. 46 – 59.
Дубровский, В.Н. Самоорганизация пространства-времени в процессе эволюции Вселенной / В.Н. Дубровский, Ю.Б. Молчанов // Астрономия и современная картина мира [Электронный ресурс]. – 2004. – Режим доступа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. - Дата доступа: 25.09.2011.
Малинецкий, Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего / Г.Г. Малинецкий, С.П. Капица. – М.: Наука, 1985. – 354 с.
Курдюмов, С. Синергетика – теория самоорганизации / С. Курдюмов, Г. Малинецкий // Наука и техника [Электронный ресурс]. – 2000. – Режим доступа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. - Дата доступа: 25.09.2011.
Лоскутов, А.Ю. Введение в синергетику / А.Ю. Лоскутов. – М.: Наука, 1990. – 271 с.
Симо, К. Современные проблемы хаоса и нелинейности / К. Симо. – М.: Ижевск, 2002. – 304 с.
Пригожин, И. Порядок из хаоса / И. Пригожин, И. Стенгерс. – М.: Прогресс, 1986. – 431 с.
Курдюмов, С. Синергетика: начала нелинейного мышления / С. Курдюмов // ОНиС. – 1993. – № 2. – С. 145 – 152.
Рюэль, Д. Случайность и хаос / Д. Рюэль. – М.: Ижевск, 2001. – 92 с.
Карпенков, С.Х. Концепция современного естествознания / С.Х. Карпенков. – М.: Юнити, 1998. – 147 с.
Пригожин, И. Конец определенности / И. Пригожин. – М.: Ижевск, 1999. – 207 с.
Шаповалов, А.В. Введение в нелинейную физику / А.В. Шаповалов. – Томск: ТПУ, 2002. – 96 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
КАТАЛОГ ССЫЛОК НА ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ
1 Материалы, в которых представлено описание примеров самоорганизации в природе
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]

2 Материалы, в которых описаны общие механизмы и закономерности самоорганизации физических систем
2.40 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.41 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.42 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.43 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.44 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.45 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.46 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.47 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.48 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.49 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.50 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.51 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.52 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.53 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.54 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.55 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.56 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.57 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.58 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.59 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.60 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.61 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.62 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.63 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.64 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.65 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.66 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.67 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.68 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.69 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.70 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.71 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.72 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.73 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.74 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.75 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.76 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.77 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.78 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.79 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.80 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.81 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.82 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.83 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.84 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]

3 Материалы по постановке и описанию физических экспериментов по синергетике
3.85 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.86 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.87 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.88 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.89 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.90 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.91 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.92 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.93 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.94 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.95 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.96 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.97 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.98 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.99 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.100 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.101 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.102 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.103 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.104 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.105 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.106 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.107 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.108 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.109 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.110 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.111 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3.112 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]












поток энтропии

производство энтропии


система
Х
(c, T, p, 13 QUOTE 1415)
oo


(c, T, p, 13 QUOTE 1415)

внешняя среда
X
(c, T, p, 13 QUOTE 1415)

Рисунок 2.1 Установка для демонстрации ячеек Бенара

Рисунок 2.2 Вид жидкости в начальной стадии нагрева

Рисунок 2.3 Измерение температуры жидкости

Рисунок 2.4 Экспериментально полученные ячейки Бенара:
а) общий вид;
б) структура ячеек Бенара

1 см.

б)

а)

а

б)

а

Т

T

б

в

образование
ячеек

Q

покоящаяся
жидкость

неустойчивое
состояние

П
О
Р
Я
Д
О
К
-
Х
А
О
С
-
П
О
Р
Я
Д
О
К

динамика процессов,и спользование теории устойчивости и флуктации

стохатическая динамика, роль флуктуаций

качественные изменения поведения систем

самоорг-ся системы, непредсказуемость поведения

применение термодинамических явлений

нелинейные колебания и теория универсальности

теория устойчивости, брюсселятор, колеб. хим. реакции

теория Фейген-Баума, символическая динамика

неравновесность, хаос, конечная геометрия

управляющие системы
кибернетика

универсальность, использование макроскопических величин, ансамбли
термодинамика необратимых равновесная термодинамика
процессов

бифуркации, теории устойчивости
теория динамических систем

общие принципы функционирования
системный анализ

теория устойчивости, нелинейные колебания
механика и прочность

теория цепей, обратные связи
электротехника

уравнения катализа, автокатализа
химическая кинетика

флуктуации, уравнения Ланжевена, Фоккера-Планка
статистическая механика

нарушение симметрии, критические флуктуации

фазовые переходы



 
·