Конспект урока по теме Понятие производной
План-конспект урока
Тема урока: «Понятие производной»
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Цели:
Образовательные: изучить задачи, приводящие к понятию производной; определить новую математическую модель; добиться понимания геометрического и физического аспектов вопроса
Воспитательные: продолжить воспитывать познавательную активность, самостоятельность, диалоговую культуру, интерес к предмету, поисково-познавательную деятельность.
Развивающие: развивать умение интегрировать знания из курсов математики и физики и применять их на практике; продолжить развивать логическое мышление, коммуникативные навыки, математическую логику и речь, внимание и кругозор учащихся.
Оборудование: мультимедиа проектор, учебник под редакцией А.Г.Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 класс (базовый уровень)
Методы обучения: частично – поисковый, объяснительно – иллюстративный.
Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная.
Структура урока:
I. Организационный момент (1-2 мин.)
II. Актуализация и проверка усвоения изученного материала(5-6 мин.)
III. Устная работа класса (5-7 мин.)
IV. Изучение нового материала (20-25 мин.)
V. Подведение итогов урока (2-3 мин.)
VI. Домашнее задание (1-2 мин.)
Ход урока:
Деятельность учителя Деятельность ученика
Организационный момент
Приветствие класса учителем;
отмечает с дежурными отсутствующих. Приветствие классом учителя;подготовка доски;дежурные отмечают отсутствующих, вместе с учителем.
Актуализация и проверка усвоения изученного материала
Проверка домашнего задания. Решение у доски задач, которые вызвали затруднения при работе дома.
Устная работа класса
1.Дайте определение предела функции на бесконечности. Геометрический смысл. (Графики на интерактивной доске Слайд №2)
2.Дайте определение предела функции в точке. Какая функция называется непрерывной в точке?
3.Дайте определение приращения аргумента и приращения функции.
1. Пусть дана функция y=f(x) , в области определения которой содержится луч [а; +∞), и пусть прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x): limx→+∞fx=b. И говорят: предел функции y=f(x) при стремлении х к плюс бесконечности равен b) Если же дана функция y=f(x) , в области определения которой содержится луч (-∞; а], и прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), то в этом случае: limx→-∞fx=b. И говорят, что предел функции y=f(x) при стремлении х к минус бесконечности равен b)
2. Число b называют пределом функции y=f(x) при стремлении х к а, f(a) = b limx→afx=bФункцию y=f(x) называют непрерывной в точке х = а, если выполняется соотношение limx→afx=f(a)3.Пусть функция f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1-x0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к x1), а разность f(x1)-f(x0) называют приращением функции.
Изучение нового материала
Понятие предела имеет большой философский смысл. Окружающий нас мир бесконечен, бесконечны пространство и время. Если какое-либо явление можно описать некоторым законом, т. е. функцией, то предел этой функции на бесконечности может нам многое «рассказать» о будущем этого явления.
С понятием предела непосредственно связано понятие производной. Различные задачи из различных областей знания приводят к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю.
(Слайд 3) Впервые название этой модели и ее обозначение ввел немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1675 году – основоположник дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Он в 1700 году организовал академию в Берлине, он же рекомендовал Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница.
Рассмотрим задачи, приводящие к понятию производной:
Задача о скорости движения. (Слайд 4)
Рассмотрим прямолинейное движение некоторого тела. Закон движения задан формулой S = S(t), т.е. каждому моменту времени t соответствует определённое значение пройденного пути S. Найти скорость движения тела в момент времени t.
Решение: Пусть в момент времени t тело находится в точке М.
Дадим аргументу t приращение Δt, за это время тело переместится в некоторую точку Р, т.е. пройдёт путь ΔS.
Итак, за время Δt тело прошло путь ΔS.
Что можно найти, зная эти два значения?
vср.=∆S∆t , т.е. среднюю скорость движения тела за промежуток времени t;t+∆t.
Средней скоростью движения тела называется отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь пройден.
В физике часто идёт речь о скорости v(t), т.е. скорости в определённый момент времени t, часто её называют мгновенной скоростью.(Слайд 5)
Можно рассуждать так: мгновенную скорость получим если Δt →0, т.е. Δt выбирается всё меньше и меньше, т.е. vмгнов.=lim∆t→0vср.=lim∆t→0∆S∆t .Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость – это производная пути по времени: v = S′ (t)
Еще одна задача, приводящая к понятию производной, – задача о касательной к графику функции y=f(x). (Слайд 6)
Рассмотрим график непрерывной функции и проведем в точке А секущую и касательную к графику
(Слайд 7)
Прямая АВ – секущая, ee уравнение y = kсекх +b, где kсек – угловой коэффициент секущей,
kсек =∆y/∆x = tg αсек, где αсек – угол наклона секущей (отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки).
Пусть ∆х стремится к нулю, тогда секущая стремится к своему предельному положению – к касательной в точке А, т. е. угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей: lim∆x⟶0kсек= kкас, причем kкас = tg α, где α - это угол наклона касательной, отсчитываемый от положительного направления оси Ох.
Значит, kкас = tg α = lim∆x⟶0∆y∆x
(Слайд 8)
Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке с абсциссой 𝑥 равен производной функции в этой точке: kкас = tg α = f ′ (𝑥)
Итак, две различные задачи привели к одной и той же математической модели — пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Многие задачи физики, химии, экономики
и т. д. приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, эту математическую модель надо специально изучить.
Итак, введем понятие производной: (Слайд 9)
Пусть функция y=f(x) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку x0. Дадим аргументу приращение ∆x такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции ∆y (при переходе от точки x0 к точке x0+∆x) и составим отношение ∆y∆x. Если существует предел этого отношения при ∆x⟶0, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x0 и обозначают f (x0). Итак, f'(x)=lim∆x⟶0∆y∆x.
Обозначается f'(x) или dfdx, где df – дифференциал функции, dx - дифференциал аргумента (дифференциал – бесконечно малое приращение).
Если функция имеет производную в точке хо, то ее называют дифференцируемой в точке хо. Процедуру нахождения производной функции называют дифференцированием функции. Ученики слушают учителя
Подведение итогов
- Урок подходит к концу, давайте повторим, кто является основоположником дифференциального и интегрального исчисления?
- С помощью каких задач мы пришли к понятию производной?
- Что называется производной функции?
- Что называется дифференцированием функции? Дети отвечают на вопрос учителя.
Домашнее задание
Запишите домашнее задание и можете быть свободны:
§26, № 26.20, 26.21, 26.22.
Дети записывают домашнее задание и прощаются с учителем