Презентация по алгебре на тему: Геометрический и физический смысл производной (11 класс)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖИ РЕСПУБЛИКИ КРЫМКрымский республиканский институт постдипломного педагогического образования Кафедра естественно-математического образованияУРОК ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕУчитель математикиМКОУ «Цветочненская СШ»Ибрагимова Эльвира Шевкетовна Тема: Геометрический и физический смысл производной.Цель: систематизировать знания учащихся по данной теме и подготовить их к контрольной работе; показать учащимся необходимость знания материала изученной темы при решении прикладных задач; обратить внимание на связь данной темы с физикой и геометрией.Тип урока: обобщение и систематизация знаний.Ожидаемые результаты: учащиеся повторяют материал, связанный с практическим применением производной;Смогут находить уравнения касательной к графику функции в данной точке, угол, под которым касательная к графику функции пересекает ось абсцисс;Смогут решать задачи на нахождение с помощью производной скорости, ускорения, силы, кинетической энергии;3) Будут знать сущность понятия производной. Ход урока1 Актуализация опорных знаний В качестве домашнего задания учащиеся получили вопросы, над которыми должны были самостоятельно поработать, найти ответы в справочной литературе или Интернете. Домашняя самостоятельная работа.Что называется математическим анализом? (Ответ: это раздел математики, в котором изучается дифференциальное и интегральное исчисление.)Кто и когда создал эти исчисления? (Ответ: в 17 веке, практически одновременно и независимо друг от друга Ньютон в Англии и Лейбниц в Германии.)Каково основное содержание производной? (Ответ: производная функция f(х) в точке х0 есть скорость изменения функции в этой точке.(Производная у=f(х) в точке х=х0 показывает, во сколько раз быстрее меняется у, чем х, в окрестности х0.)Кто и в каком году вывел термин «производная»? (Ответ: Луи Лагранж в 1791 году)В чем состоит геометрический смысл производной? (Ответ: если функция в точке х0 имеет производную, то в этой точке определена касательная к графику f(х).Причем ее угловой коэффициент равен f’(x0).)В чем состоит механический смысл производной? (Ответ: v(t)=s’(t); a(t)=v’(t), где s(t)-путь ,пройденный телом за время t, v(t)-скорость тела в момент времени t ;а(t)- ускорение тела в момент времени t.)



1.Тело движется прямолинейно по закону s(t)=3+2t+t^2(м).Определите его скорость и ускорение в момент времени t=3 с. Решение.v(t)=s’(t)=2+2t;a(t)=v’(t)=2(м/с^2).v(3)=2+2*3=8(м/с).Ответ: 8 м/с; 2м/с^22. Тело, массой 0,5кг движется прямолинейно по закону s(t)=2t^2-2t-3 (м).Найдите кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения, а также значение силы F , действующей на тело.Решение:v(t)=s’(t)=4t-2(м/с);v(3)=4*3-2=10(м/с);a(t)=v’(t)=4(м/с^2);F=ma=0.5*4=2(H);E=(mv^2)/2=(0.5*100)/2=25(Дж).Ответ: 2 Н, 25 Дж.3. Известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 10см масса куска стержня АС длиной L определяется по формуле m(L)=4L^2+3L. Найдите линейную плотность стержня в середине отрезка.Решение. Р(L)=m’(L)=8L+3; р(5)=8*5+3=43 (г/см).Линейная плотность в точки С есть производная по L от переменной массы m(L).Ответ: 43 г/см.2.Решение задач







4.Количество электричества, прошедшего через проводник, начиная с момента t=0, задается формулой q(t)=2t^2+3t+1. Найдите силу тока в конце пятой секунды.Решение.I(t)=q’(t)=4t+3(A);I(5)=4*5+3=23(A).Ответ: 23А.5.Количество тепла Q,необходимого для нагревания 1 кг воды от 0 градусов до t градусов,определяется по формуле Q(t)=t+0.0000003t^3. Вычислите теплоемкость воды для t=100 градусов.Решение.С(t)=Q’(t)=1+0.00004t+0.0000009t^2;Q’(100)=1+0.004+0.009=1.013(дж).Теплоемкость тела есть производная от количества тепла по температуре.Ответ:1,013Дж.6.Радиус круга R изменяется по закону R=4+2t^2(cм). Определить,с какой скоростью изменяется его площадь в момент t=2с.Решение.S=ПR^2=П(4+2t^2)^2;S’=2П(4+2t^2)*4t=8Пt(4+2t^2);S’(2)=16*12=192П(см^2/c).Ответ:192П.7.Напишите уравнение касательной к графику функции у=(х^3+1):3 в точке его пересечения с осью абсцисс.Решение.Так как график пересекается с осью абсцисс, то у=0. Значит, (x^3+1):3=0. Отсюда x^3+1=0, x^3=-1; x=-1. Тогда х0=-1. Уравнение касательной: y=f(x0)+f’(x0)(x-x0); f(x0)=0; f’(x)=x^2; f’(-1)=(-1)^2=1; у=0+1*(х+1); у=х+1.Ответ: у=х+1.







8.Под каким углом к оси Ох наклонена касательная, проведенная к y=2x^3-x в точке пересечения этой кривой с осью у?Решение.Так как кривая пересекается с осью у, то х0=0. y’=6x^2-1; y’(0)=-1. Тогда tg a=-1; a=135 градусов.Ответ: 135 градусов. 3.Самостоятельная работа1 вариант.№1. Материальная точка движется по закону s(t)=12t+3t^3. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t=2c.№2. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)=x^3-27 в точке пересечения этого графика с осью абсцисс.2 вариант.№1. Материальная точка движется по закону s(t)=16t+2t^3. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t=2c.№2. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)=x^3+8 в точке пересечения этого графика с осью абсцисс.

Решения и ответы к самостоятельной работе.1 вариант.№1. v(t)=s’(t)=12+9t^2; v(2)=12+36=48(м/с); а(t)=v’(t)=18t; а(2)=18*2=36(м/с^2).Ответ: 48 м/с, 36 м/c^2№2. f(x)=0; x^3-27=0; x^3=27; x=3, то есть х0=3 f’(x)=3x^2; f’(x0)=f’(3)=27. Значит, tg a =27.Ответ:27.2вариант.№1. v(t)=s’(t)=16+6t^2; v(2)=16+6*4=40(м/с); а(t)=v’(t)=12t; а(2)=12*2=24(м/с^2).Ответ: 40 м/с, 24 м/c^2№2. f(x)=0; x^3+8=0; x^3=-8; x=-2, то есть х0=-2 f’(x)=3x^2; f’(x0)=f’(-2)=12. Значит, tg a =12.Ответ:12. 4. Подведение итогов урокаИтак, мы вспомнили, что называется производной, ее геометрическое истолкование, физический смысл. Скажите, связь с какими предметами школьного курса прослеживалась сегодня на уроке при выполнении упражнений?5. Домашнее заданиеПодготовиться к контрольной работе по выданным тренировочным карточкам. Подготовить рефераты на тему «Интересный исторический факт из биографии ученых» (Ньютона, Лейбница, Лагранжа- по выбору). все понятия, изучаемые по определенной теме, переосмысливаются учащимися на более высоком, теоретическом уровне, углубляются и обобщаются . Ученики получают необходимые навыки в работе с определениями, понимают простые логические рассуждения и они смогут изучать курс математики старших классов более осознанно и с интересом.На основе разработанной методики преподавания:Заключение