Презентация по математике на тему Тригонометрические функции числового аргумента. Тригонометрические функции и их графики
Тригонометрические функции числового аргументаТригонометрические функции и их графики
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
Функции синус и косинусОкружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной окружностью. Пусть точка 𝑃𝑎 единичной окружности получена при повороте точки 𝑃0 1;0 на угол в 𝑎 радиан. Нетрудно понять, что ордината точки 𝑃𝑎 ‒ это синус угла 𝑎, а абсцисса этой точки ‒ косинус угла 𝑎 (рис. 5).Рис. 5⃝ П р и м е р 1. Найдём значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла 3𝜋4 радиан.Координаты точки 𝑃3𝜋4 (рис. 6) нетрудно найти, воспользовавшись свойством равнобедренного прямоугольного треугольника: 𝑥=−22, 𝑦=22. Поэтому sin3𝜋4=22, cos3𝜋4=−22, tan3𝜋4=−1, cot3𝜋4=−1.Далее мы считаем, что все углы измерены в радианной мере и поэтому обозначение рад как правило опускается. Договорившись считать единицу измерения углов (1 радиан) фиксированной, определяем, например синус угла 𝑥 как синус угла в 𝑥 радиан; косинус угла 𝑥 как косинус угла в 𝑥 радиан и т. д.Рис. 6О п р е д е л е н и е. Числовые функции, заданные формулами 𝒚=𝐬𝐢𝐧𝒙 и 𝒚=𝐜𝐨𝐬𝒙, называют соответственно синусом и косинусом (и обозначают sin и cos).Область определения этих функций ‒ множество всех действительных чисел. Областью значений функций синус и косинус является отрезок −1;1, поскольку и ординаты и абсциссы точек единичной окружности принимают все значения от −1 до 1. Будем обозначать область определения функции 𝑓 через 𝐷𝑓, а область значений ‒ через 𝐸𝑓. Тогда можно записать:Напомним следующие известные вам свойства функций синус и косинус.
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
Функции синус и косинус (продолжение)Для любого 𝑥 справедливы равенства:1) sin−𝑥=−sin𝑥, cos−𝑥=cos𝑥;2) sin𝑥+2𝜋𝑛=sin𝑥, cos𝑥+2𝜋𝑛=cos𝑥 (𝑛 ‒ произвольное целое число).
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
СинусоидаПостроим график функции на отрезке 0;2𝜋. Для этого отметим на оси ординат точки 0;−1 и 0;1, а на оси абсцисс точку с абсциссой 2𝜋 (обратите внимание: длина отрезка 0;2𝜋 приближённо равна 6,28). Разделим отрезок 0;2𝜋 и единичную окружность на 16 равных частей (рис. 7). Для построения точки графика с абсциссой 𝑎 воспользуемся определением синуса: отметим точку 𝑃𝑎 на единичной окружности и проведём через 𝑃𝑎 прямую, параллельную оси абсцисс (рис. 7). Точка пересечения этой прямой и прямой 𝑥=𝑎 искомая, так как её ордината совпадает с ординатой точки 𝑃𝑎, а по определению sin𝑎 равен ординате 𝑃𝑎.На рисунке 7 показано построение 16 точек графика. Соединяя их плавной кривой, получаем эскиз графика синуса на отрезке от 0;2𝜋. Для построения графика синуса вне этого отрезка заметим, что sin𝑥+2𝜋𝑛=sin𝑥 (𝑛 ‒ произвольное целое число). Поэтому во всех точках вида 𝑥0+2𝜋𝑛, где 0≤𝑥0≤2𝜋, значения синуса совпадают, и, следовательно график синуса на всей прямой получается из построенного графика с помощью параллельных переносов его вдоль оси 𝑂𝑥 (вправо и влево) на 2𝜋, 4𝜋, 6𝜋 и т. д. (рис. 8). График синуса называется синусоидой. Отрезок −1;1 оси ординат, с помощью которого мы находили значения синуса, иногда называют линией синусов.Для построения графика косинуса напомним, что cos𝑥=sin𝑥+𝜋2. Следовательно, значение косинуса в произвольной точке 𝑥0 равно значению синуса в точке 𝑥0+𝜋2. Это означает, что график косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние 𝜋2 в отрицательном направлении оси 𝑂𝑥. Поэтому график функции 𝑦=cos𝑥 (рис. 9) также является синусоидой.Рис. 7Рис. 8Рис. 9
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
Функции тангенс и котангенс и их графикиО п р е д е л е н и е. Числовые функции, заданные формулами 𝒚=𝐭𝐚𝐧𝒙 и 𝒚=𝐜𝐨𝐭𝒙, называют соответственно тангенсом и котангенсом (и обозначают tan и cot).Областью определения функции тангенс является множество всех чисел 𝑥, для которых cos𝑥≠0, т. е. все числа 𝑥, не равные 𝜋2𝜋𝑛 (𝑛 «пробегает» всё множество целых чисел 𝒁). Область определения котангенса состоит из всех чисел 𝑥, для которых sin𝑥≠0, т. е. из всех чисел, не равных 𝜋𝑛, где 𝑛∈𝒁.Проведём касательную 𝑙 к единичной окружности в точке 𝑃0 (рис. 10). Пусть 𝑎 ‒ произвольное число, для которого cos𝑎≠0. Тогда точка 𝑃𝑎 (cos𝑎, sin𝑎) не лежит на оси ординат, и, следовательно, прямая 𝑂𝑃𝑎 пересекает 𝑙 в некоторой точке 𝑇𝑎 с абсциссой 1. Найдём ординату этой точки.Для этого заметим, что прямая 𝑂𝑃𝑎 проходит через точки 𝑂0;0 и 𝑃𝑎 cos𝑎; sin𝑎. Поэтому она имеет уравнение 𝑦=𝑥tan𝑎. Абсцисса точки 𝑇𝑎, лежащей на этой прямой, равна 1. Из уравнения прямой 𝑂𝑃𝑎 находим, что ордината точки 𝑇𝑎 равна tan𝑎. Итак, ордината точки пересечения прямых 𝑂𝑃𝑎 и 𝑙 равна тангенсу 𝑎. Поэтому прямую 𝑙 и называют линией тангенсов.Нетрудно также доказать, что абсцисса точки 𝐶𝑎 пересечения прямой 𝑂𝑃𝑎 с касательной 𝑚 к единичной окружности, определённой через точку 𝑃𝜋2 (рис. 11), равна cot𝑎 при sin𝑎≠0. Поэтому прямую 𝑚 называют линией котангенсов.Рис. 10 Рис.11Область значений тангенса (котангенса) ‒ вся числовая прямая. Докажем это для функции tan. Пусть 𝑦0 ‒ произвольное действительное число. Рассмотрим точку 𝑇 1;𝑦0. Как только что было показано, тангенс угла 𝑇𝑂𝑥 равен 𝑦0. Следовательно, функция tan принимает любое действительное значение 𝑦0, что и требовалось доказать.Напомним следующие известные вам свойства функций tan и cot:1) tan−𝑥=−tan𝑥; cot−𝑥=−cot𝑥;2) tan𝑥+𝜋𝑛=tan𝑥; cot𝑥+𝜋𝑛=cot𝑥, 𝑛∈𝒁.Построение графика тангенса на интервале −𝜋2; 𝜋2 (рис. 12) аналогично построению, описанному в случаи синуса.
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
Функции тангенс и котангенс и их графики (продолжение)(Значение функции tan в точке находится с помощью линии тангенсов.) Вследствие тождества tan𝑥+𝜋𝑛=tan𝑥 𝑛∈𝒁 график тангенса на всей области определения (рис. 13) получается из графика на интервале −𝜋2; 𝜋2 параллельными переносами вдоль оси 𝑂𝑥 (вправо и влево) на 𝜋, 2𝜋 и т. д. График функции tan называют тангенсоидой.Рис. 12Рис. 13Рис. 14График котангенса приведён на рисунке 14. Синус, косинус, тангенс и котангенс часто называют основными тригонометрическими функциями. Иногда рассматривают ещё две основные тригонометрические функции ‒ секанс и косеканс (обозначаются соответственно sec и cosec).
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
Функции тангенс и котангенс и их графики (продолжение)Для того чтобы понять, почему основных тригонометрических функций именно 6, заметим, что тригонометрические функции острого угла 𝑎 можно определить как соотношение сторон прямоугольного треугольника с острым углом 𝑎 (рис. 3). Таких соотношений 6:
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y