План занятия «Определение непрерывности функции в точке и на промежутке. Приращение аргумента и приращение функции, типы разрывов».

ПЛАН ЗАНЯТИЯ (2 часа)
Тема занятия: «Определение непрерывности функции в точке и на промежутке. Приращение аргумента и приращение функции, типы разрывов».
Тип занятия – комбинированный урок, включающий в себя ознакомление с новым материалом, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного.
Цели занятия:
Образовательные:
Изучить понятие непрерывности функции в точке и на промежутке, приращение функции, типы разрывов.
Развивающие:
развитие умений анализировать собственные потребности, выбора соответствующей позиции на  каждый этап урока с последующим анализом своей деятельности.
Воспитательные:
воспитывать:
- познавательный интерес к математике;
- информационную культуру и культуру общения;
- самостоятельность, способность к коллективной работе.
1. Организация занятия
Мобилизация учебной деятельности учащихся: доброжелательный настрой учителя и учащихся, быстрое включение класса в деловой ритм, организация внимания всех учащихся
2. Проверка знаний учащихся по теме: «Функции одной переменной. Классификация функций. Теорема о существовании предела функции. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов функций»
Методы проверки: устный опрос, диалоговые технологии: выявление факта выполнения домашнего задания у всех учащихся, обнаружение причин невыполнения домашнего задания отдельными учащимися, устранение типичных ошибок
Примеры:
1)== ==
===
2) =
3)
4) .
5) .
6)

7) ===
3. Изложение нового материала
План:
1. Понятие непрерывности функции в точке
2. Непрерывность функции на промежутке
3. Свойства функций непрерывных на отрезке
4. Полезные теоремы о непрерывности функции
5. Приращение аргумента и функции
6. Точки разрыва функции и их классификация
1. Понятие непрерывности функции в точке
Основные понятия и определения
Определение
Функция называется непрерывной в точке , если:
1) функция определена в точке и ее окрестности;
2) существует конечный предел функции в точке ;
этот предел равен значению функции в точке , т.е.
Замечание
При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

2. Непрерывность функции на промежутке
Определение
Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.
Функция называется непрерывной справа в точке , если .
Функция называется непрерывной слева в точке , если .
Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть и непрерывной слева в точке , то есть .
3. Свойства функций непрерывных на отрезке:
1. Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.
Непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке.
2. Теорема Больцано-Коши. Если функция является непрерывной на отрезке и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть , , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между и .
Если функция , которая непрерывна на некотором отрезке , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка такая, что .
4. Полезные теоремы о непрерывности функции
Теорема
Если функции и непрерывны в точке , то функции ,, также непрерывны в точке .
Пусть функция задана на множестве , а - множество значений этой функции. Пусть на множестве задана функция . Тогда говорят, что на множестве задана композиция функций (или сложная функция).
Теорема
Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда композиция функций непрерывна в точке .
Теорема
Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.
5. Приращение аргумента и функции
Рассмотрим функцию , которая определена в некотором интервале и рассмотрим произвольную точку из этого интервала: .
Определение
Приращением аргумента в точке называется разность
Замечание. Из последнего равенства легко увидеть, что .
Приращением функции в точке называется разность соответствующих значений функции или, используя равенство из выше приведенного замечания, будем иметь:

Теорема
Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции :

6. Точки разрыва функции и их классификация
Определение точки разрыва
Определение
Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:
1) функция определена в точке и ее окрестности;
2) существует конечный предел функции в точке ;
это предел равен значению функции в точке , т.е.
называется точкой разрыва функции.
Точка разрыва первого рода
Определение
Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.
Точка разрыва второго рода
Определение
Если хотя бы один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.
Точка устранимого разрыва
Определение
Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.
Замечание
При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

4. Задание на дом: Учебник «Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля» Гусев В.А. П.14.1, П.14.4.
1. Пример
Задание. Исследовать на непрерывность функцию
Решение. Функция определена в любой точке из . Найдем приращение заданной функции произвольной точке :


Тогда

А тогда делаем вывод, что функция является непрерывной.
Ответ. Функция является непрерывной.
2. Пример
Задание. Исследовать функцию на непрерывность.
Решение. Рассматриваемая функция определена и непрерывна на промежутках , и, на которых она задана непрерывными элементарными функциями , и соответственно. А тогда, разрыв возможен только на концах указанных промежутков, то есть в точках и .
Найдем односторонние пределы и значение функции в каждой из точек.
1) Рассмотрим точку . Для нее



Так как , то в точке функция терпит разрыв первого рода.
2) Для точки имеем:



Так как односторонние пределы и значение функции в этой точке равны, то это означает, что в точке функция непрерывна.
Ответ. В точке функция терпит разрыв первого рода, а в точке непрерывна.
5. Закрепление материала:
Формы и методы закрепления:
Метод - диалоговые технологии. Форма – решение упражнения
Пример 1:
Задание. Вычислить предел
Решение.
Ответ.
Пример 2:
Функция не определена в точке , а значит, эта точка является точкой разрыва указанной функции.
Пример 3:
Функция в точке имеет разрыв первого рода, так как
, а
Пример 3:
Для функции точка - точка разрыва второго рода, так как .
Пример 4:
Рассмотрим функцию . Найдем односторонние пределы и значение функции в точке :



Так как и не равны значению функции в точке, то точка - точка устранимого разрыва.
Наглядные пособия
Подпись преподавателя