Занятие факультативного курса по математике на тему Магический квадрат. Логические задачи (5 класс)

Факультативное занятие «Занимательная математика» в 5 классе
Тема: Магический квадрат. Логические задачи.
Цель: а) научиться приемам составления магических квадратов 3×3; 2) научиться решать логические задачи, по алгоритму.
Ход занятия:
Разминка. Разгадывание ребусов.

Варианты ответов: февраль (похлопать в ладони), Фигаро (взять себя за нос), подарок (встать возле парты)

Варианты ответов: рвение (помяукать ), вертолет (взять себя за уши), вернисаж (улыбнуться)
2) Магический квадрат.
История магических квадратов (подготовили двое учащихся, один учащийся готовил теорию сообщения, второй - приготовил демонстрационные магические квадраты)
Сообщение: «История магических квадратов».
Числа настолько вошли в жизнь человека, что им стали приписывать всякие магические свойства. Так, до сих пор многие не любят число 13, число 666 называют «звериным числом», приносящим несчастье, счастливыми считают, например, совершенные числа.
При археологических раскопках в Китае и Индии были найдены квадратные амулеты. Квадрат разделен на девять квадратиков, в каждом из которых написано по одному числу от 1 до 9. Замечательно, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и по каждой из двух диагоналей были равны одному и тому же числу 15.
4 9 2
3 5 7
8 1 6
В средние века магические квадраты были очень популярны. Один из магических квадратов изображен на гравюре знаменитого немецкого художника Альбрехта Дюрера, «Меланхолия». Любопытно, что два числа в середине нижней строки указывают год создания картины -1514 г.
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты, например, 43×43, содержащий числа от 1 до 1849, причем обладающие помимо указанных свойств магических квадратов, еще и многими дополнительными свойствами. Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера. Известно, и это вы можете легко показать сами, что магических квадратов 2×2 не существует. Магических квадратов 3×3 – один – остальные такие квадраты получаются из него поворотами и симметриями. Магических квадратов 4×4 уже 800, а количество магических квадратов 5×5 близко к четверти миллиона.
Правило составления магических квадратов 3×3
ЗАДАНИЕ. Составить магический квадрат с рядом чисел 22-23-24-25-26-27-28-29-30.
Учитель комментирует решение. Среднее число в этом ряду -26. Попарно взятые справа и слева от него числа дают в сумме 52, то есть удвоенное среднее число. Но если так, то и схема размещения чисел этого ряда в клетках волшебного квадрата должна быть та же, что и в разобранном нами примере с числами от 1 до 9 . Примем числа 1-9 за порядковые номера и обозначим их римскими цифрами, чтобы не путать с задачами.
IV IX II
III V VII
VIII I VI
У нас получилась таблица, которой мы можем теперь пользоваться как схемой построения любого 9-клеточного волшебного квадрата. Теперь подставим наши числа и получим магический квадрат вида:
25 30 23
24 26 28
29 22 27
ЗАПОМНИМ: какой бы ряд последовательных чисел ни вписывался в 9-клеточный магический квадрат, его константа (сумма чисел ряда) всегда будет равна утроенному среднему числу (5×3 = 15; 26×3=78)
- САМОСТОЯТЕЛЬНО: составить магический квадрат с рядом чисел 12-13-14-15-16-17-18-19-20.
(1 ученик работает у доски. После составления квадрата он объясняет пути решения проблемы.)Разбиваются на группы: составить магический квадрат с рядом чисел 12-13-14-15-16-17-18-19-20.
(вывешивают на доску готовые квадраты; объясняет ход решения та группа, которая справилась с заданием первая)
4) Логические задачи.
Пример одной задачи
Анвар, Нурлан, Аслан и Тагир заняли первые четыре места в спортивном соревновании. На вопрос, какие они заняли места, они ответили:
1) Анвар не занял ни первое, ни четвертое места.
2) Нурлан занял второе место.
3) Аслан не был последним.
Какое место занял каждый мальчик?
Учитель на примере этой задачи объясняет алгоритм решения логических задач.
На столах у учащихся пустые таблицы, которые нужны им для решения подобных задач
Имя мальчика 1 место 2 место 3 место 4 место
Анвар- - + -
Нурлан- + - -
Аслан + - - -
Тагир- - - +
Решение: в таблицу вносим в первый столбец имена мальчиков, в 1 строку – номера мест. Знаком «минус» ставим там, где по условию задачи мальчики точно не заняли этих мест, знаком «плюс» - где заняли. Если поставили знак «плюс», то автоматически в этой сточке в пустые ячейки ставим знак минус, так как один мальчик может занять только одно место. Если в столбце стоят три минуса, то в четвертую пустую ячейку автоматически ставим знак «плюс» И в процессе решения получаем ответ.
ОТВЕТ:1 место – Аслан, 2 место - Нурлан, 3 место-Анвар, 4 место - Тагир.
Закрепляем решением второй задачи.
Надия, Алма, Маша, Галия и Лена вырезали из бумаги разные фигуры. Кто-то из них вырезал круг из бумаги в клетку, кто-то- круг из бумаги в линейку, кто-то - квадрат из бумаги в клетку, кто-то квадрат из бумаги в линейку, а кто-то флажок из белой бумаги. Галия и Алма вырезали круги. Галия и Надия вырезали фигуры из бумаги в клетку. Надия и Маша вырезали квадраты. Кто какие фигуры вырезал?
Имя девочки Бумага в линейку Бумага в клетку Белая бумага
круг квадрат круг квадрат флажок
Надия- - - + -
Алма+ - - - -
Галия- - + - -
Лена - - - - +
Маша - + - - -
Решение: Так как Галия и Алма вырезали круги, значит в ячейках строк с их именами, где стоят названия фигур «квадрат» и «флажок» ставим минусы. Так как Галия и Надия вырезали фигуры из бумаги в клетку, то в ячейках с бумагой в линию и белой бумагой мы ставим минусы. Получаем, что Галия вырезала круг из бумаги в клетку, автоматически исключаем эту фигуру у остальных девочек. Так как Надия и Маша вырезали квадраты, то остальные фигуры у них исключаем. Получаем, что Надия вырезала квадрат из бумаги в клетку, исключаем эту фигуру у остальных девочек. Получаем, что Алма вырезала круг из бумаги в линейку, а Маша – квадрат из бумаги в линейку. Исключаем эти фигуры и получаем, что Лена вырезала флажок из белой бумаги.
ОТВЕТ: Надия- квадрат в клетку, Алма –круг в линейку, Маша –квадрат в линейку, Галия – круг в клетку, Лена – флажок из белой бумаги.
Учитель на примере этой задачи объясняет алгоритм решения логических задач.
Далее в виде интерактивной игры « карусель» учащиеся решают подобные задачи в течение 20 минут в тех же группах
Задачи для игры
1. Жили были две фигуры: круг и квадрат. На их улице было три дома: один дом был с окном и трубой, другой – с окном, но без трубы, а третий – с трубой, но без окна. Каждая фигурка жила в своем доме. Круг и квадрат жили в домах с окнами. Квадрат любил тепло. Кто в каком доме жил?
2. Марьям, Анара, Лена и Валя – талантливые девочки. Каждая из них играет на каком–нибудь музыкальном инструменте (рояле, скрипке, арфе, виолончели) и говорит на одном из иностранных языков (английском, немецком, французском, итальянском), инструменты и языки у них разные. Марьям играет на рояле. Девочка, которая говорит по-французски, играет на скрипке. Анара играет на виолончели, а Лена не говорит по-немецки. Марьям не знает итальянского, а Анара не владеет английским. Валя не знает французского, а виолончелистка не говорит по-итальянски. Скажите, кто на каком инструменте играет и на каком языке говорит?
3. Три одноклассницы – Алия, Тоня и Сауле – занимаются в различных спортивных секциях: одна – в гимнастической, другая – в лыжной, третья в секции плавания. Каким видом спорта занимается каждая из девочек, если известно, что Алия плаванием не увлекается, Тоня в лыжную секцию никогда не ходила, а Сауле является победителем соревнований по лыжам?
4. В классе 16 мальчиков. Из них 14 мальчиков в свободное время увлекаются футболом, 9 мальчиков увлекаются шахматами. Сколько человек в классе в свободное время увлекаются и футболом, и шахматами, если все мальчики класса занимаются этими играми?
5. Три друга – Алмаз, Сергей и Башир – купили щенков разной породы: ротвейлера, колли, овчарки. Известно, что щенок Алмаза темнее по окрасу, чем ротвейлер, Леси и Гриф; щенок Сергея старше Грифа, ротвейлер и овчарки; Джек и ротвейлер всегда гуляют вместе. У кого какой породы щенок? Назовите клички щенков.
Подведение итогов. Мнения учащихся по занятию. Что им понравилось (не понравилось) на занятии.
Домашнее задание. Разгадать магические квадраты.
6) Прощание.