Демонстрационный материал для 9 класса по теме Квадратичная функция.

Квадратичная функция и её график Презентация по алгебреучителя математикиМКОУ СОШ №1пгт. ПаланаКамчатский крайУчебник алгебры 9 класс.Авторы: Ю.Н. Макарычев и другие. Определение квадратичной функции а,b,c – некоторые числа, гдеа ≠ 0 х – независимая переменная у = аx+b - линейная функция Х У 0 1 1 х у = х2 У =2х2 у = Ѕх2 у =-Ѕх2 -2 -1 0 1 2 3 4 1 0 1 4 9 8 2 0 2 8 18 2 0,5 0 0,5 2 4,5 -2 -0,5 0 -0,5 -2 -4,5 Графики функции у = ах2 Функция у = ах2 является частным случаем квадратичной функции у = ах2 + bх + с, где b = 0,с = 0. у = х2 у = 2х2 у = Ѕ х2 у = -Ѕ х2 Х У 0 1 1 у =Ѕх2 у = х2 у = 2х2 у = -Ѕх2 Свойства функции у = ах2 а > 0 Если х = 0, то у = 0. График функции проходит через начало координат.Если х≠ 0, то у > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси у.Функция убывает в промежутке (- ∞; 0] и возрастает в промежутке [0; + ∞).Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при х = 0, наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [0;+∞) у = -х2 у = - 2х2 Х У 0 1 1 у =Ѕх2 у = х2 у = 2х2 у = -Ѕх2 Свойства функции у = ах2 а < 0 Если х = 0, то у = 0. График функции проходит через начало координат.Если х≠ 0, то у < 0. График функции расположен в нижней полуплоскости.Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси у.Функция возрастает в промежутке (- ∞; 0] и убывает в промежутке [0; + ∞).Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при х = 0, наименьшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [- ∞; 0). у = - х2 у = -2х2 Х У 0 1 1 -2 -1 0 1 4 1 0 1 4 6 3 2 3 6 1 -2 -3 -2 1 График функции у = ах2 + n у = х2 у = х2 + 2 у = х2 - 3 График функции у = ах2 + n является параболой, которую можно получить из графика функции у = ах2 с помощью параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вверх, если n > 0, или на – n единиц вниз, если n < 0. х 2 у = х2 у=х2+2 у=х2-3 Функция у = ах2 + n является частным случаем квадратичной функции у = ах2 + bх + с при b = 0. Х У 0 1 1 х у = х2 x у=(х - 2)2 -2 -1 0 1 2 4 1 0 1 4 0 1 2 3 4 4 1 0 1 4 Графики функции у = а(х – m)2 у = х2 у = (х -2)2 у = (х +3)2 Функция у = а(х – m)2 является частным случаем квадратичной функции у = ах2 + bx + c. График функции у = а(х – m)2 является параболой, которую можно получить из графика функции у = ах2 с помощью параллельного переноса оси х на m единиц вправо, если m > 0, или на – m единиц влево, если m < 0. х у=(х+3)2 -5 -4 -3 -2 -1 4 1 0 1 4 Х У 0 1 1 График функции у = а(х – m)2 + n у = х2 у = (х- 3)2+2 у = (х +4)2 - 3 График функции у = а(х – m)2 + n является параболой, которую можно получить из графика функции у = ах2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси х на m единиц вправо, если m > 0, или на – m единиц влево, если m < 0, и сдвига вдоль оси у на n единиц вверх, если n > 0, или на – n единиц вниз, если n < 0. Пример: построить график функции у = (х – 3)2 + 2. Её график можно получить из графика функции у = х2 с помощью двух параллельных переносов - сдвига параболы на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Точка (m; n) – вершина параболы. Х У 0 1 1 График функции у = а(х – m)2 + n у = х2 у = (х- 3)2+2 у = (х +4)2 - 3 График функции у = а(х – m)2 + n является параболой, которую можно получить из графика функции у = ах2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси х на m единиц вправо, если m > 0, или на – m единиц влево, если m < 0, и сдвига вдоль оси у на n единиц вверх, если n > 0, или на – n единиц вниз, если n < 0. Пример: построить график функции у = (х – 3)2 + 2. Её график можно получить из графика функции у = х2 с помощью двух параллельных переносов - сдвига параболы на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Точка (m; n) – вершина параболы. Построение графика квадратичной функции y= ах2 +bx + c Представим формулу, которой задана квадратичная функция у = ах2 + bх + с в виде у = а(х – m)2 + n. Графиком функции у=ах2+bх+ с является парабола, вершиной которой является точка (m;n). Осью симметрии служит прямая х = m, параллельная оси у. При а>0 ветви параболы направлены вверх, а при а<0 – вниз. Построение графика квадратичной функцииу = ах2 + bx + c Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:Найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости. Провести ось симметрии параболы.Построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе: составить таблицу значений функции для точек слева или справа от вершины.Соединить отмеченные точки плавной линией, учитывая направление ветвей параболы. Примеры построения графиков квадратичной функции х у 1 0 1 Пример 1: построить у = 0,5х2 + 3х + 0,5. a = 0,5; b = 3; c = 0,5 1. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (а = 0,5 > 0). 2. Вершина параболы: m = -b/2а = -3: 2·0,5 = - 3; n = 0,5·32 + 3·0,5 + + 0,5 = - 4. (-3; -4) 3. Ось симметрии: х = - 3.4. Таблица значений функции: х -3 -2 -1 0 1 у -4 -3,5 -2 0,5 4 Примечание: функцию, заданную формулой у = 0,5х2 + 3х + 0,5 можно записать иначе, а именно так: у = 0,5(х + 3)2 – 4. У=0,5х2+3х+0,5 Примеры построения графиков квадратичной функции х у 1 0 1 Пример 2: построить у = -2х2 + 12х - 19 a = -2; b = 12; c =-19. Ветви параболы направлены вниз: а = - 2.Вершина параболы: х = m = - b/2а = -12:(-4) = 3; у = n = -2·32+ 12·3 – 19 = - 1. (3; - 1)Ось симметрии: х = 3.Таблица значений функции: х 1 2 3 у -9 -3 -1 -1 у=-2х2+12х-19 Примеры построения графиков квадратичной функции х у 1 0 1 Пример 3: построить у = 0,25х2 + х + 1 a = 0,25; b = 1 ; c = 1. Ветви параболы направлены вверх: а = 0,25.Вершина параболы: х = m = - b/2а = -1:(0,5) = -2; у = n = 0,25·(-2)2 -2 +1 = 0. (-2; 0)Ось симметрии: х = -2.Таблица значений функции: х -2 -1 0 1 у 0 0,25 -1 2,25 у=0,25х2+х+1