Спецкурс по математике 10-11 класс

«Рассмотрено»
Руководитель МО
_____/Бутко Е.Ю./
ФИО
Протокол №_ __от«30» августа 2016 г.
«Согласовано»
Заместитель руководителя по УВР МБОУ «СОШ № 14»
_____/__Рубанова Е.А./
ФИО
« 30 » августа 2016 г.
«Утверждено»
Руководитель
МБОУ «СОШ № 14»
___________/_Полякова_В.А.__/
ФИО
Приказ № от
«30 » _августа_2016 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПЕДАГОГА
Беловой Виктории Васильевны,
спецкурс
«Функции помогают уравнениям»
10-11 классы
Утверждено на заседании педагогического совета
протокол № ____
от «30 » августа 2016 г.
2016 – 2017 учебный год
город Нижневартовск
Пояснительная записка
Предлагаемый курс «Функции помогают уравнениям» является предметно-ориентированным и предназначен для расширения и углубления теоретических и практических знаний учащихся в 10-11 классах общеобразовательных учреждений и рассчитан на 140 часов.
Функциональная линия просматривается в курсе алгебры, начиная с 7 класса. Возникает потребность обобщить, углубить и систематизировать вопросы, связанные с областью определения функции, множеством значений, четностью и нечетностью, периодичностью функций, а также их взаимосвязи с решением уравнений и неравенств. Многие задания ЕГЭ требуют аккуратного применения вопросов, связанных с периодичностью функций, их монотонностью, нахождением промежутков убывания и возрастания, точек экстремума и экстремумов функций.
Программа данного курса ориентирована на приобретение обучающимися определенного опыта решения задач, связанных со знанием свойств функций, эффективными методами, которые позволят школьнику решать многие типичные задачи быстро, коротким способом, экономя экзаменационное время на более сложные (нестандартные) задания. Изучение данного курса тесно связано с такими дисциплинами, как алгебра, алгебра и начала анализа.
Данный курс представляется особенно актуальным и современным, так как расширяет, углубляет и систематизирует знания учащихся, готовит их к более осмысленному пониманию теоретических сведений и применению их на практике.

Цель курса:
Углубление и расширение знаний, умений и навыков учащихся по алгебре и началам анализа, подготовка к сдаче ЕГЭ и обучению в вузах, где математика является профилирующим предметом
Задачи курса:
овладение системой знаний о свойствах функций и их применением при решении уравнений и неравенств;
овладение эффективными методами решения типичных и нестандартных задач, обучение умению выбирать рациональные способы решения и обосновывать сделанный выбор;
обучение эвристическим приемам общего характера, ценным для математического развития личности, применяемым в исследовательской деятельности;
формирование логического мышления учащихся;
вооружение учащихся специальными умениями и навыками, позволяющими им самостоятельно добывать знания;
приобретение опыта решения задач прикладного характера, позволяющего осмысленно подойти к профориентационному выбору;
подготовка к ЕГЭ: формирование у учащихся умений и навыков решения задач части С (С 1, С 3, С5).
Требования к уровню подготовки учащихся 
Личностные результаты:
готовность и способность к образованию и самообразованию  на протяжении  всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;
осознанный выбор будущей  профессии на основе понимания ее ценностного содержания и возможностей реализации собственных жизненных планов. 
Метапредметные результаты:
владение навыками  познавательной,  учебно-исследовательской и проектной деятельности,  навыками  разрешения проблем; способность  и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания для изучения  различных сторон окружающей действительности;
расширение и систематизация знаний учащихся, которые позволяют осмысленно понимать теоретический материал, решать практические задачи из разных предметных областей. 
Предметные результаты:
овладение системой знаний о свойствах функций, позволяющей применять их в различных предметных областях;
овладение нестандартными способами решения уравнений и неравенств;
овладение навыками описания процессов с помощью математических моделей – уравнений или неравенств;
владение терминологией, описывающей функциональные зависимости.
Краткое содержание курса:
10 класс.
Свойства функций в решении уравнений и неравенств.
Нахождение области определения функции в зависимости от параметра. Нахождение значений параметра функции по области определения. Алгоритм исследования существования корней уравнения с учетом множества значений функции. Рациональные способы решения уравнений и неравенств с исследованием области допустимых значений. Понятие равносильного перехода. Решение иррациональных уравнений и неравенств. Неравенства, содержащих модуль, вида ǀf(x)ǀ ˂ǀg(x)ǀ,
ǀf(x)ǀ ˂g(x).
Тригонометрические уравнения и системы.
Тождественные преобразования в решении тригонометрических уравнений. О сужении и расширении области определения уравнения в процессе преобразований. Форма записи множества решений уравнений и систем. Методы искусственных преобразований. Решение тригонометрических уравнений методом экстремальных значений. Нестандартные тригонометрические подстановки.
Производная и касательная.
Определение числа корней уравнения с помощью производной. Производная при доказательстве неравенств. Связь между корнями дифференцируемой функции и корнями производной. Производная и наглядно - графический метод в решении задач. Понятие дифференциального уравнения.
11 класс.
Показательные уравнения и неравенства.
Правила равносильных переходов при решении показательных и логарифмических неравенств. Решение неравенств вида a f(x) ˃ a g (x), log a f(x) ˃0, log a f(x) ˃ log a g (x).
Уравнения и неравенства, содержащие сложную экспоненту a(x)b(x)=cb(x)logca(x) .
Неравенства c переменным основанием вида a(x)f(x) ˃ a(x) g (x), log a(х) f(x) ˃0, log a(х) f(x) ˃ log a(х) g (x). Использование нестандартных приемов решения стандартных уравнений и неравенств. Метод «Мини-максов».
Задачи с параметром.
Использование монотонности и экстремальных свойств функций. Симметрия в задачах. Решение относительно параметра. Функционально-графический подход в решении задач с параметрами. Производная и параметры. Задачи с логическим содержанием.
Задачи с параметрами в заданиях единого государственного экзамена.
\
Календарно-тематическое планирование
№ п/п Название темы Количество часов
10 класс Свойства функции в решении уравнений и неравенств. 35
1. Исследование области определения функции с учетом значений параметра. 3
2. Нахождение области значений функций, содержащих абсолютную величину. 3
3. Решение уравнений путем исследования области определения. Область допустимых значений уравнения. 4
4. Алгоритм нахождения множества значений функции у=f(x) с исследованием существования корней уравнения f(x)=a. Алгоритм исследования существования корней уравнения f(x)=a, если известно множество значений функции. 3
5. Связь между монотонностью функции и множеством значений функции. Свойства монотонных функций. 5
6. Решение уравнений с использованием монотонности функции. Метод «пристального взгляда» 4
7. Решение уравнений f(x)=a, где у=f(x) - периодическая функция. 2
8. Равносильность уравнений и неравенств. 3
9. Правила равносильных переходов в решении иррациональных уравнений и неравенств. 4
10. Правила равносильных переходов в решении уравнений и неравенств с модулем. 3
Тест № 1 1
Тригонометрические уравнения и системы. 20
11. Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней в тригонометрических уравнениях. Решение задач С1. 5
12. Системы тригонометрических уравнений. Запись ответа в системах тригонометрических уравнений. 3
13. Нестандартные тригонометрические уравнения. Использование ограниченности функций при решении тригонометрических уравнений. 3
14. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции. 2
15. Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений. 2
16. Применение тригонометрических подстановок в алгебраических уравнениях. 2
17. Тригонометрические неравенства. 2
Тест № 2 1
Производная и касательная. 15
18. Использование производной для оценки числа корней уравнения. 3
19. Наибольшие и наименьшие значения функции. Метод оценки в решении уравнений и их систем. 3
20. Использование графиков функций при решении уравнений. 4
21. Решение уравнений высших степеней помощью производной и касательной. 2
22. Знакомство с дифференциальными уравнениями. 1
Тест № 3 2
11 класс Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 45
23. Правила равносильных переходов при решении логарифмических уравнений и неравенств. 4
24. Сложная экспонента. 3
25. Логарифмы с переменным основанием. 4
26. Показательные неравенства с переменным основанием. 4
27. Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств. 4
28. Решение уравнений методом «Мини-максов». Применение свойств функции для решения уравнений. 6
29. Использование производной при решении различных задач. 3
30. Уравнения вида f (f(x)) = х. 2
31. Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Оценки. 3
32. Использование нестандартных замен. 1
33. Геометрическая интерпретация. 1
34. Доказательство при решении систем уравнений. 1
35. Нестандартные задачи. 3
36. Решение задач С 3. 4
Тест № 4 2
Задачи с параметром 25
37. Использование монотонности и экстремальных свойств функций. 2
38. Симметрия в задачах. 2
39. Решение относительно параметра. 4
40. Функционально-графический подход в решении задач с параметрами. 2
41. От общего к частному. 2
42. Задачи с логическим содержанием. 2
43. Квадратный трехчлен в задачах с параметрами. 3
44. Решение задач С 5 6
Тест № 5 2
ИТОГО 140
Литература
1. Математика. 10-11 классы. Функции помогают уравнениям: элективный курс/авт.-сост. Ю.В. Лепехин.- Волгоград: Учитель,2009.
2. Шарыгин И.Ф.,. Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. сред. Шк.-М.: Просвещение, 1991.
3. Колесникова С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому государственному экзамену.- М.: Айрис-пресс, 2004.
4. Четвериков А. «Задачи с параметрами»-газета «Математика»№13 2007.
5. Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. «Школа решения задач с параметрами»-М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2007.
6. Шахмейстер А.Х. «Задачи с параметрами в ЕГЭ»-СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004. 
Методическое обеспечение
ДМ (Презентация) «Применение свойств функции для решения уравнений. Подготовка к ЕГЭ».
ДМ «Решение уравнений методом «Мини-максов». Подготовка к ЕГЭ».
ДМ «Множество значений сложной функции. Исследование функции элементарными методами».
ДМ «Задачи с параметрами. В помощь старшеклассникам при подготовке к экзаменам».
Методическое обеспечение
Урок по алгебре и началам анализа
Класс - 11
Тема – «Функционально-графический подход к решению задач с параметрами»
Учебно-методическое обеспечение: УМК любого автора, так как урок ориентирован на подготовку к ЕГЭ
Время реализации занятий – 40 минут
Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал учащихся.
Медиапродукт: Среда - Microsoft Office PowerPoint, Paint.
Вид медиапродукта: наглядная презентация учебного материала, образовательный комплекс
Методическая информация
Тип урока
проблемно-исследовательский, комбинированный
Цели урока
изучить функционально-графический подход к решению задач с параметрами
Задачи урока
1. Сформировать у школьников личностную мотивацию к изучению данной темы.
2. Развивать у учащихся умение пользоваться опорными знаниями, для получения новых знаний.
3. Развивать у учащихся мышление (умение выделять существенные признаки и делать обобщения).
4. Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач и навыки исследовательской работы над задачей.
Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят/др. ученики в ходе урока умение пользоваться опорными знаниями, для получения новых знаний;
умение выделять существенные признаки и делать обобщения;
навыки творческого подхода к решению задач и навыки исследовательской работы над задачей.
Подробный конспект урока
Мотивация учащихся
Мотивация (выявление проблемы успешной сдачи ЕГЭ).
Ход и содержание урока
I этап – актуализация знании и опыта,
подготовка к изучению новой темы (8 мин)
II этап – изучение вопроса «Изучение функционально-графического подхода к решению задач с параметром» (8 мин)
III этап – изучение строения задачи с параметром (14 мин)
IV этап – подведение итогов «Творческая лаборатория» (7 мин)
V этап – подведение итогов, рефлексия (3 мин)
Проверка и оценивание ЗУНКовУчащиеся должны объединиться в группы по 5 человек, подготовить и представить свой проект задачи с параметром. Хорошо, красиво, грамотно выполненный проект будет подведением итога урока, оценкой работы учителя и ответом на вопрос «Чему ребята научились на уроке?»
Рефлексия деятельности на уроке
Что нового вы узнали на уроке?
Чему вы научились?
Какое у вас настроение в конце урока?
Можете ли вы научить этому способу решения задач товарища?
Домашнее задание
Составить две задачи с параметром, используя полученные знания, если их оформить по одинаковому образцу, то в классе будет свой сборник задач для подготовки к ЕГЭ.
В помощь учителю
Использованные источники и литература (если имеются) Внеурочная работа по математике в контексте реализации инновационных технологий. Дидактические материалы для организации деятельности обучаемых: учеб. пособие∕авт.-сост.: А.Т. Лялькина, Е.В. Чудаева и др. – Саранск, 2007
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – 6-е изд., - М.: Рольф, 2002.
Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. ЕГЭ – 2007. Составитель: Клово А.Г. – М.: ООО "РУСТЕСТ",2006.
Обоснование, почему данную тему оптимально изучать с использованием медиа-, мультимедиа, каким образом осуществить Данную тему оптимально изучать с использованием мультимедиа, так как это позволит показать учащимся движение графиков функций и продемонстрировать поэтапное решение задач графическим способом.
Советы по логическому переходу от данного урока к последующим Данную тему удобно изучать в конце учебного года, в рамках системы уроков по подготовке учащихся к ЕГЭ.
Тема урока: «Функционально-графический подход к решению задач с параметрами».
Тип урока: комбинированный.
Вид урока: проблемно-исследовательский.
Цель урока: изучить функционально-графический подход к решению задач.
Задачи урока:
1. Сформировать у школьников личностную мотивацию к изучению данной темы.
2. Развивать у учащихся умение пользоваться опорными знаниями, для получения новых знаний.
3. Развивать у учащихся мышление (умение выделять существенные признаки и делать обобщения).
4. Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач и навыки исследовательской работы над задачей.
Оборудование: мультимедийный терминал, съемный диск поэтапного показа урока, индивидуальный раздаточный материал для учащихся.
План урока:
1. Сформирование у школьников личностной мотивации к изучению данной темы.
2. Показ применения темы урока в деятельности каждого ученика 11 класса.
3. Повторение опорных знаний.
4. Изучение функционально-графического подхода к решению задач с параметрами.
5. Творческая лаборатория (работа в группах: создание и защита мини-проекта).
6. Подведение итога урока, рефлексия.
7. Домашнее задание.

Ход урока:
I этап – актуализация знании и опыта,
подготовка к изучению новой темы (8 мин)
Содержание урока Формы и методы работы учителя Виды деятельности учащихся
1.Мотивация (выявление проблемы успешной сдачи ЕГЭ). Математическое моделирование социальной задачи.
2. Тренировочные упражнения.
3. Повторение способов построения графиков с помощью преобразования
4. Решение уравнений. Вводная беседа.
Тестовая работа с последующей самопроверкой
Адаптационно-развивающий диалог
Вызов учащихся к доске. Устные ответы на вопросы.
Работа с тестом,
Самопроверка,
Самооценка
Устные ответы на вопросы учителя
Работа у доски и в тетрадях
II этап– изучение вопроса «Изучение функционально-графического подхода к решению задач с параметром» (8 мин)
Содержание урока Формы и методы работы учителя Виды деятельности учащихся
1. Изучение нового материала
2. Составление алгоритма решения
3. Подведение итогов Объяснение
Разноуровневаясамостоятельная работа Устные ответы на вопросы учителя
Работа по алгоритму
Выбор уровня сложности, решение самостоятельной работы
III этап – изучение строения задачи с параметром (14 мин)
Содержание урока Формы и методы работы учителя Виды деятельности учащихся
1. Анализ строения задачи с параметром
2. Технология составления задач с параметром
3. Практическая работа Объяснение у доски
Постановка задач по исследованию свойств её графического образа
На экране проецирует поэтапное составление задачи, её решение, и оформление Изучение строения задачи, работа в тетради
Анализ технологической схемы
Анализ видеофрагм., запись образца решения в тетрадь
IV этап – подведение итогов «Творческая лаборатория» (7 мин)
Содержание урока Формы и методы работы учителя Виды деятельности учащихся
1. Создание и защита проекта «Задача с параметром» Организация творческой работы
Групповая работа
V этап – подведение итогов, рефлексия (3 мин)
Содержание урока Формы и методы работы учителя Виды деятельности учащихся
1. Подведение итогов
2. Домашнее задание
Беседа с использованием таблицы
Проецируется на экран Групповая работа,
подведение итогов
Запись в дневники
Сценарий урока.
- Здравствуйте ребята! Тема нашего урока «Функционально-графический подход к решению задач с параметрами» (слайд 1)
-Задачи с параметрами – самый сложный раздел школьного курса математики, в учебнике алгебры 10 – 11 класса нет ни одного параграфа отводимого на изучение данной темы, а сборник для подготовки к ЕГЭ содержит задачи, с параметрами начиная с части «А» Данное противоречие порождает проблему:
Как в сложившейся ситуации успешно подготовиться к сдаче ЕГЭ по математике?
Что такое «параметр» и где это понятие может встретиться нам в жизни?
Решением данной проблемы мы и займемся сегодня на уроке (слайд 2).
- Запишите число, сегодня 14 марта. Скоро весенние каникулы, а там не успеете оглянуться и вы - выпускники, после сдачи ЕГЭ вы можете захотеть продолжить образование и стать абитуриентами, пройдет лето и многие из вас станут студентами.
Составим математическую модель этой ситуации (слайд 3)
Выпускники – сдача ЕГЭ – абитуриенты – студенты
- Задача: Как выпускнику стать студентом? Какие проблемы могут стоять в данной задаче?
Предполагаемые ответы: Проблема сдать ЕГЭ. Проблема поступить в ВУЗ. Другие проблемы.
- Хорошо. Решим задачу поэтапно. Сравним количество выпускников школы и с количеством детей поступивших в ВУЗ.
1. По каким причинам не все выпускники допускаются к сдаче ЕГЭ?
Предполагаемые ответы: Проблемы с учебой. Проблемы со здоровьем.
2. В каком случае ученики, сдавшие ЕГЭ, не могут подать документы в ВУЗ и стать абитуриентами?
Предполагаемые ответы: Плохо сдал ЕГЭ. Нет желания учиться дальше. Армия. Другие причины.
3. По каким причинам не все абитуриенты становятся студентами?
Предполагаемые ответы: Высокий проходной балл. Другие причины.
36576005016500
Посмотрите внимательно на полученную схему. Решая, разные проблемы, мы получили одинаковые ответы (на слайде выделяются слова учеба и здоровье).
Какой вывод можно сделать?
Предполагаемые ответы: все проблемы данной задачи могут быть решены при наличии хорошего здоровья и успешной учебы.
От кого зависят данные параметры?
Предполагаемые ответы: от каждого ученика лично.
Вы не задумываясь ответили мне на вопрос о параметрах. Давайте уточним, какой значение имело слово параметр в данной задаче?
Предполагаемые ответы: условия, причины, зависимость от чего-либо.
Значит, мы можем условия, причины, зависимость от чего-либо заменить одним словом параметр.
05842000Вот мы и вышли на понятие параметра и определили личностный мотив каждого ученика 11 класса (слайд 4): для продолжения образования, для саморазвития и интеллектуального роста вам необходимо прилежно и осознанно учиться в школе и заботиться о своем здоровье. В этом вам помогает государство, оно поддерживает творческую, талантливую молодежь (программа «Образование» слайд). И заботится о сохранении её здоровья (программа «Здоровье» слайд).
В толковом словаре дано общее определение понятия параметр:
«Параметр – величина, характеризующая основные свойства системы или явления».
09842500В (слайд5) математике ярким и всем известным с 8 класса уравнением с параметром является уравнение квадратного трехчлена: . В зависимости от коэффициентов и дискриминанта , график данного уравнения может иметь различное положение на координатной плоскости.
Определение: В уравнениях (неравенствах) коэффициенты при неизвестных или свободные члены заданные не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами называются параметрами.
0-444500Решить уравнение с параметром это значит, для каждого значения параметра найти значения x, удовлетворяющие условию этой задачи.
Как (слайд 6) зависит от коэффициента а график квадратичной функции?
Предполагаемые ответы: направление ветвей параболы, если а положительно, то ветви параболы направлены вверх, если а – отрицательно, то ветви параболы, направлены вниз
Что зависит от дискриминанта?
Предполагаемые ответы: количество решений квадратного уравнения. Если , то решений нет, если , один корень, если то уравнение имеет два корня (слайд 6)
Рассмотрим преобразование построение графика функций в зависимости от параметра на примере функции абсолютной величины числа.
328866528194000-381026606500Что является графиком данной функции?
Предполагаемые ответы: «прямой угол», с вершиной в начале координат, образованный биссектрисами первого и второго квадранта (четверти) на координатной плоскости.
(просмотр слайда 7, с комментариями учителя ).
- Примените полученные знания для самостоятельного решения двух задач на построение графиков функций.
(проверка: сравнение своей работы со слайдом 8).
- Молодцы все кто успешно справился с заданием. Ребята, встаньте, пожалуйста. Расправьте плечи, встряхните руками, поверните голову налево, направо и тихонечко сядьте.
-381016700500
- Переходим к заданиям раздела «В». (Слайд 9). Вам предложены изображения пяти графиков функций, и даны пять формул. Сопоставьте формулу и её графический образ.
Предполагаемые ответы:
1 ученик. Формула задает квадратичную функцию, её графиком является парабола, 1 рисунок.
2 ученик. Формула задает функцию абсолютной величины числа, её графиком является «прямой угол», 3 рисунок.
3 ученик. Формула задает обратную пропорциональность, её графиком является гипербола, 2 рисунок.
4 ученик. Формула задает прямую пропорциональность, её графиком является прямая, 5 рисунок.
5 ученик. Формула задает «полупараболу», направленную вдоль оси абсцисс, рисунок 4.
На каких чертежах изображены графики четных функций?
Предполагаемые ответы: 1,3.
Какие функции определены на всей числовой оси?
Предполагаемые ответы: 1,3,5
Какие функции имеют неотрицательное множество значений?
Предполагаемые ответы: 1,3,4.
Какие функции являются возрастающими на всей области определения?
Предполагаемые ответы: 4,5.
(слайд 10) Очень хорошо. Эти знания нам пригодятся при решении заданий части «В».
Запишем схему решения уравнений графическим способом.
1. строим графики и .
2. находим точки пересечения графиков.
3. выписываем ответ.
Рассмотрим образец решения задачи с параметром. (слайд 11)
-11430011049000Задача. Решите уравнение . (1 способ решения – аналитический)
Решение. Заметим, что левая часть уравнения неотрицательна при всех значениях неизвестной, следовательно, при отрицательном значении параметра решений нет. Если параметр , то уравнение принимает вид , и имеет один корень . При положительном значении параметра а, данное уравнение имеет два корня .
Ответ: при , корней нет;
-1143007239000 при , один корень ;
при , два корня .
2 –ой способ решения – графический.
Построим в одной системе координат графики обеих частей уравнения: параболу и семейство прямых , которые движутся вдоль оси ординат. По рисунку записываем ответ.
- Какой вывод можно сделать, сравнивая два способа решения задачи?
Предполагаемые ответы: графический способ понятнее. Графическим способом задача решается быстрее. На рисунке все решение видно.
Да. Достаточно одного взгляда, чтобы определить количество корней уравнения в зависимости от параметра а. Я могла бы вам ничего, не объясняя сделать чертеж, и написать одно слово «Смотри!», именно так поступали древнегреческие учителя, обучая своих учеников доказательству теоремы Пифагора.
А мы вернемся к параметрам (слайд 12) (2 ученика выходят к доске, остальные работают в тетрадях)
Затем сверяем решение с образцом на далее представленных слайдах (вторично проговаривая шаги решения).
(слайд 13) Задача. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?
Решение. Записываем данное уравнение в виде . Построим графический образ обеих частей уравнения. Левая часть представляет собой «прямой угол», ветви направлены вниз, вершина (2;3). Правая часть представляет семейство прямых параллельных оси абсцисс. Из чертежа видно, что единственное решение возможно при .
-381018415000Ответ:

(слайд 14) Задача. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?
Решение. Построим графический образ обеих частей уравнения. Левая часть представляет собой «прямой угол», ветви направлены вверх, вершина (1;-1). Правая часть представляет семейство прямых параллельных оси абсцисс. Из чертежа видно, что решений нет при .
Ответ:
Кто самостоятельно справился с задачей, поднимите руки. Очень хорошо!
(слайд 15) Давайте сделаем вывод о решении задач с параметром графическим способом в общем виде.
Задачу с параметром будем рассматривать как функцию . Алгоритм решения:
1. строим графический образ.
2. пересекаем полученное изображение прямыми параллельными оси абсцисс.
3. Считываем нужную информацию.
Рассмотрим образец решения задачи с параметром.
(слайд 16) Устная работа по готовому рисунку (просмотр и обсуждение решения задачи с пошаговыми комментариями учителя).
-11430013779500

(слайд 17) Закрепим полученные знания, самостоятельным решением задачи по выбору.
Вам предлагается найти при каких значениях параметра а, уравнение будет иметь два решения. Уровень сложности задачи – определите самостоятельно. 1 минута.
Проверяем.
Кто выбрал первый рисунок? Какие ответы получились?
Предполагаемые ответы: Сверяем по слайду
Кто выбрал второй рисунок? Какие ответы получились?
Предполагаемые ответы: Сверяем по слайду
Кто выбрал третий рисунок? Какие ответы получились?
Предполагаемые ответы: Сверяем по слайду
Молодцы! Вы очень хорошо поработали. И перед следующим этапом урока мы сделаем зарядку для глаз, выполнив упражнение «Стрельба глазами»: мальчики стреляют в девочек, а девочки в мальчиков. При этом можно поворачиваться в разные стороны. Постарайтесь попасть не менее 10 раз.
(слайд 18) Переходим к самой трудной части урока: решению задач с параметром части «С».
Вариант №3, стр. 39, «С – 5».
308610050927000050927000(слайд 19) Задача. Найти сумму целых значений параметра а при которых уравнение имеет три корня.
Решение. Запишем уравнение в виде совокупности . Построим в одной системе координат параболу (ветви вверх, вершина (1;- 20)), и «прямой угол» (ветви направлены вверх, вершина (4:3)). Будем пересекать полученный образ прямыми параллельными оси абсцисс. Три решения возможны в трех случаях. Рассмотрим их отдельно: а = 3, в вершине прямого углаа. Раскроем знак модуля.
1) При , имеем , или , решая это уравнение находим, что корни не удовлетворяют условию задачи ().
2) При , имеем , или , решая это уравнение находим, корни х = -3 (не удовлетворяет условию) и х = 6.
Вычисляем .
Искомые значения а = 3 и а = 5, их сумма равна 8.
Ответ: 8.
- Чтобы до конца понять и осмыслить задачу, нужно разобраться в том, как она устроена. Вы не задумывались, почему маленькие дети часто ломают игрушки? Они их не ломают, они пытаются выяснить: почему едет машинка, и почему кукла говорит «мама». Вот и мы сейчас узнаем технологию составления данных задач.
(слайд 20) Прошу в творческую лабораторию.
Проанализируем решенную задачу.
-Как мы её решали?
Предполагаемые ответы: большую задачу разбили на две части.
-Что мы делали дальше?
Предполагаемые ответы: нашли знакомые функции и построили их графики.
И последний шаг?
Предполагаемые ответы: воспользовались знаниями, полученными на уроке, и нашли значения параметра а.
(слайд 21) Прекрасно!
Чтобы составить такую задачу, пойдем обратным путем.
1. возьмем два уравнения, графики которых мы умеем строить.
2. построим графический образ.
3. объединим произведением оба уравнения, приравняв их к нулю.
4. заменим букву у буквой а, и получим уравнение с параметром.
5. зададим вопрос (глядя на рисунок), сформулируем условие задачи.
Рассмотрим, как работает этот алгоритм (просмотр мультимедийного слайда 22)
29718005270500-1143005270500
(слайд 23) Известный венгерский математик Пойа писал: «Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на лыжах ..: научиться этому можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь…».
-3810outside00Вам предстоит потренироваться в составлении задач с параметром. Для этого вы объединитесь в группы по 5 человек, подготовите и представите свой проект. Пример карточки (слайд 24). Хорошо, красиво, грамотно выполненный проект будет подведением итога нашего урока, оценкой моей работы и ответом на вопрос «Чему я вас научила?»
Подготовка и защита проекта. 5 минут
Подведем итог урока (слайд 25).
-Что нового вы узнали на уроке?
Предполагаемые ответы: новый метод решения задач с параметрами.
-Чему вы научились?
Предполагаемые ответы: Решать задачи. Сами научились составлять задачи.
(слайд 26) Домашнее задание. Составить две задачи с параметром, используя полученные знания, если вы их оформите по одинаковому образцу, то в классе будет свой сборник задач для подготовки к ЕГЭ.
А сейчас расслабьтесь. После такого плодотворного урока, вспомните что-нибудь приятное и представьте, что вам подарили шикарный подарок! С такой приятной улыбкой мы заканчиваем урок.
(слайд 27) Всем спасибо. Всего хорошего!
Литература
Алгебра и начала анализа: учеб. для 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений∕Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – 10-е изд. – М.: Просвещение, 2002. – 384с.
Внеурочная работа по математике в контексте реализации инновационных технологий. Дидактические материалы для организации деятельности обучаемых: учеб. пособие∕авт.-сост.: А.Т. Лялькина, Е.В. Чудаева и др. – Саранск, 2007
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – 6-е изд., - М.: Рольф, 2002. – 432 с. (Домашний репетитор).
Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. ЕГЭ – 2007. Составитель: Клово А.Г. – М.: ООО "РУСТЕСТ",2006.