Комплекс задач по теме Подобие треугольников

Комплекс задач по теме "Подобие треугольников»

Какие задачи из элементарной математики считаются самыми трудными? Геометрические. ЕГЭ по математике предъявляет требования определенного уровня к «геометрической» культуре и подготовке выпускников, к умению логически мыслить, к знаниям методов решения задачи. В алгебре, началах математического анализа разработана целая серия алгоритмов решения типовых задач. В геометрии, как правило, алгоритмов нет. Тем не менее можно использовать некоторые общие положения и рекомендации, которые полезно соблюдать любому решающему геометрическую задачу (тем более при подготовке к ЕГЭ). К таким положениям можно отнести следующие:
1. Обучать учащихся технологии решения задачи, т.е. самостоятельному выполнению каждого из этапов процесса решения задачи.
2. Обучать решению геометрических задач через выделение ключевых задач.
3. Устанавливать связи между задачами, разрабатывать (составлять) комплекс задач.
Комплекс задач это набор задач, который:
имеет одинаковую основу;
имеет последовательность, при которой каждая следующая задача обогащала бы опыт предыдущей;
сформулирован таким образом, чтобы осуществлялся переход от одной задачи к другой.
Основой комплекса может быть:
единая геометрическая конструкция;
метод решения;
единая тематика;
теорема;
ключевая задача;
дополнительное построение и др.
Большую трудность у учащихся всегда вызывают задачи на применение подобия, поэтому предлагаю комплекс задач по теме «Подобие треугольников» (по материалам спецкурса для 1011 классов).
Ключевые задачи.
1.

·DCF13 EMBED Equation.3 1415
·BCA
DF || АВ

2.
1)
·ADC13 EMBED Equation.3 1415
·ACB, 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)
2)
·BDC13 EMBED Equation.3 1415
·BCA, 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)
3)
·ADC13 EMBED Equation.3 1415
·CDB, 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)
Следствия
AC2=AB
·BD
BC2=AB
·BD
CD2=AD
·BD
3.

·BAO13 EMBED Equation.3 1415
·COD

4.

·BOC13 EMBED Equation.3 1415
·DOA

13 EMBED Equation.3 1415

Наиболее подробно представлю задачу №5 и комплекс задач, основой которого является данная задача (данная задача была представлена в 2004 г. на пробном ЕГЭ).
В остроугольном треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот, отсекает треугольник, подобный данному.
Доказательство:

·BA1A13 EMBED Equation.3 1415
·BC1C по двум углам (13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415)
Значит, 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; по свойству пропорции
Рассмотрим:
·A1ВС1 и
·ABC
13 EMBED Equation.3 1415 - общий, стороны, заключающие общий угол, пропорциональны.
Вывод:
·BA1A13 EMBED Equation.3 1415
·BC1C по || признаку подобия.
Следствие:
Из подобия треугольников следует: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
В комплекс входят задачи:
I уровень:
1. На отработку определения подобия в данной конструкции.
2. На отработку 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - общий угол треугольников
3. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (взаимосвязь)
II уровень:
тот же тип задач, но конструкция завуалирована.
III уровень:
привлечение других фактов или теорий к заданной конструкции.
VI уровень:
контрпример (конструкция сходна, но теорема «не работает»)

I уровень:
1. В остроугольном
·АВС AA1 и CC1 высоты. АВ=15 см, ВС=12 см, АС=18 см, Л,С,=0,6 дм.
a) Найти ВА, и ВС,
b) Найти угол В.

2. В остроугольном
·АВС AA1 и CC1 - высоты, 13 EMBED Equation.3 1415.
а) Найти периметр
·А1В1С1, если периметр равен 52 см
b) Найти площадь
·АВС, если площадь
·А1В1С1 17 см2.
II уровень:
1. В
·MNK на стороне МК как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны MN и NK в точках Е и F соответственно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти угол FEN.
Анализ ситуации и поиск решения.
1. Как связаны элементы фигур, данных в условии?
* сторона треугольника МК - диаметр окружности
* Е и
·F - общие точки сторон треугольника и окружности
* угол MKN треугольника - вписанный в окружность.
2. Какие дополнительные построения обычно выполняют для получения дополнительной информации?
* соединяем центр окружности с точками окружности или соединяем точки окружности (возможные предложения ОЕ и OF; MF, КЕ)
* какие при этом образовались фигуры, что о них известно? Как связаны элементы фигур с данными в условии?
3. Остановимся (в результате обсуждения) на
·MFK
* 13 EMBED Equation.3 1415 вписанный в окружность
* 13 EMBED Equation.3 1415 вписанный в окружность, опирается на диаметр, значит, 13 EMBED Equation.3 1415 тогда в
·MFK MF - высота.
4. Аналогично КЕ - высота
·MFK.
Вывод: получили известную конструкцию: в остроугольном
·MFK проведены две высоты, значит, по ключевой задаче, FE отсекает треугольник, подобный данному, т.е.
·MFK13 EMBED Equation.3 1415
·FNE.
значит соответственные углы равны, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 Искомый угол 40°.
Ответ: 40°.

Задача 5.
Отрезок АВ - диаметр круга, а точка Р - вне его так, что АР и РВ пересекают окружность в точках С и В соответственно 13 EMBED Equation.3 1415
1) Найти расстояние между С и В, если радиус окружности 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Найти площадь
·ABP, если площадь
·CDP равна 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
1. Ситуация аналогична предыдущей задаче; в результате анализа приходим к выводу, что
·ABP13 EMBED Equation.3 1415
·DPC. 13 EMBED Equation.3 1415.
Пары сходственных элементов подобных треугольников неизвестны, но известен общий угол, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Задача 6.
АВ - диаметр круга, а точка Р вне его выбрана так, что АР и РВ пересекают окружность в точках С и D соответственно, причем CD делит
·ABP на части, площади которых относятся как 1:3. Найти угол между АР и ВР (или угол, под которым виден диаметр круга из точки Р).
Решение:
Ситуация аналогична.
В результате анализа приходим к выводу, что
·APB13 EMBED Equation.3 1415
·DPC. Т.к. отношение площадей и четырехугольника ACDB равно 13 EMBED Equation.3 1415, то отношение площадей подобных треугольников равно 13 EMBED Equation.3 1415. Задача сводится к нахождению общего угла подобных треугольников, значит 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 величина общего угла АРВ. 13 EMBED Equation.3 1415, искомый угол 60°.
Ответ: 60°.

III уровень.
Задача 7.
В остроугольном треугольнике ABC CF и AD высоты. АС=1. Угол ACF равен 13 EMBED Equation.3 1415. Найти площадь круга, описанного около
·FBD.
Решение:
1. По ключевой задаче
·ABD13 EMBED Equation.3 1415
·DBF. (из прямоугольного
·FBC)
2. По следствию из теоремы синусов 13 EMBED Equation.3 1415, где R - радиус окружности, описанной около
·ABC.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415, где r - радиус окружности, описанной около
·FBD
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
4. 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Задача 8.
В остроугольном треугольнике ABC CF и AD высоты. Периметры треугольников ABC и FBD соответственно равны 15 см и 9 см. Радиус окружности, описанной около AFBD, равен 1,8 см. Найти АС.

Задача 9.
В равнобедренном
·ABС с основанием АС высота AF делит высоту BD на отрезки 40 см и 5 см. Найти площадь треугольника АОВ, где О точка пересечения высот.
Конструкция сходна с ключевой задачей в треугольнике проведены две высоты, однако в этой задаче данный «ключ» не работает.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native