Творческая работа по математике.Задачи на проценты.Выполнила ученица 7-А класса Доронькина Дарья.
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА І - ІІІ СТУПЕНЕЙ №2
ОТДЕЛА ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ
ГОРОДА КИРОВСКОЕ
Творческая работа
по математике на тему
Выполнила ученица 7 «А» класса
Доронькина Дарья
Руководитель учитель математики
Чумакова Галина Владимировна.
2011 – 2012 уч. год
Содержание
I. Вступление 2
II. Из истории процентов3
III. Основные понятия
п.1 Понятие процента....4
п.2 Нахождение процентов от числа...4
п.3 Нахождение числа по его процентам ...... 4-5
п.4 Нахождение процентного отношения чисел.. 5
п.5 Процентные расчеты. 6-8
п.6 Сложные проценты.. 9
IV. Задачи на проценты
п.1 Банковские вклады.10
п.2 Изменение стоимости товара.10-12
п.3 Работа.12-13
п.4 Растворы, смеси, сплавы13-15
п.5 Разные задачи.16
V. Задачи для самостоятельного решения..17-18
VI. Заключение..19
VII. Список литературы20
I. Вступление
Проценты в мире появились из практической необходимости, при решении определенных задач. Первая потребность процентов была экономическая. Она возникла ещё в древности, когда появилось понятие долга, и нужно было начислять выплаты по закладным и займам. Затем проценты стали универсальной величиной измерения разных величин и объектов. Они проникли, практически, во все отросли знаний. Их широко применяли в различных отраслях и науках: математике, химии, физике и т. д.. И в наше время проценты приобрели широкое распространение. Можно заметить, что проценты применяют даже там, где на первый взгляд они не применимы. Так, например, человек на вопрос «Как у него здоровье?», может ответить, что здоров процентов на семьдесят. Отсюда видно, что проценты можно применять при измерении не только точных величин, как килограммы, рубли и.т.д.. В настоящей повседневной жизни проценты применяются очень широко: выполнение планов, выработка продукции, рост производительности труда и т. д. обычно выражаются в процентах. Их используют и в различных денежных расчетах. Вот почему полезно овладеть простейшими и более сложными процентными расчетами. Именно поэтому для творческой работы мной выбрана тема «Задачи на проценты».
В связи с этим, при написании данной работы я ставлю перед собой следующие цели и задачи:
Изучить научную литературу по теме «Проценты», расширить и углубить свои знания по этой теме.
Овладеть простейшими и более сложными процентными расчетами.
Рассмотреть способы решения задач на сложные проценты, задач связанных с такими понятиями, как «концентрация» и «процентное содержание», задач на смеси и сплавы.
II. Из истории процентов.
Слово процент произошло от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты стали встречаться в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).
Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. Есть еще одна достаточно любопытная версия возникновения знака %. Существует мнение, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.
III. Основные понятия.
п. 1 Понятие процента
Процент – это одна сотая часть.
Пример. Ежемесячно рабочий с зарплаты отчисляет 1% в пенсионный фонд. Какую сумму он отчисляет ежемесячно, если его зарплата составляет 2500 рублей?
Решение. 2500 : 100 = 25 (руб)
Ответ. 25 рублей.
п. 2 Нахождение процентов от данного числа.
Если нужно найти p% от числа а, то надо число а разделить на 100 и полученное частное умножить на p.
Это правило можно записать в виде формулы:
p% от а равны (а : 100) · p =13 EMBED Equation.3 1415 (*)
Пример. Учреждение вносит в страховую кассу за каждого сотрудника 4% от его зарплаты. Сколько должно внести учреждение в страхкассу за сотрудника, если его зарплата 2400р.?
Решение этой задачи можно записать так:
4% от 2400 равны (2400:100)·4 = 24·4=96 (р.)
п. 3 Нахождение числа по его процентам.
Чтобы найти число а по его процентам, надо известную величину процентов b разделить на число процентов p и полученное частное умножить на 100.
Это правило можно записать в виде следующей формулы:
а=(b:p)·100 = 13 EMBED Equation.3 1415 (**)
Однако иногда удобней пользоваться не формулами (*) и (**), а выражать проценты в виде десятичной дроби или обыкновеной дроби и использовать правила нахождения части числа и числа по его части .
Пример. Фермер засеял овсом 47,36 га земли, что составляет 37% всей площади. Определить всю площадь.
Решение. Обозначим искомую площадь через x га. Тогда по условию имеем, что 37% от x равны 47,36 га. Так как 37%=0,37, то получаем 0,37 от x равны 47,36. По правилу нахождения числа по его части получаем
x=47,36 : 0,37=128 (га).
п. 4 Нахождение процентного отношения чисел.
Вы знаете, что неравенство двух чисел можно охарактеризовать с помощью их разностного или кратного отношения. Так, имея числа 2 и 5, можно сказать, что 5 больше 2 на 3 или 2 меньше 5 на 3. Можно найти и кратное отношение этих чисел, но в данном случае оно дробное и не очень удобно говорить: «5 больше 2 в 2,5 раза» (хотя иногда так говорят). Более удобно в этом случае найти процентное отношение этих чисел, т.е. узнать, сколько процентов составляет одно число от другого. Для этого находим их частное и выражаем это частное в процентах: 2:5=0,4=0,40=40%. Значит, 2 составляет 40% от 5. Или: 5:2=2,5=2,50=250%. Значит, 5 составляет 250% от 2.
Чтобы найти процентное отношение чисел а и b, надо частное выразить в процентах.
Пример. Из винтовки сделано 50 выстрелов, при этом в цель попало 45 пуль. Узнать процент попадания.
Решение. Процент попадания - это отношение числа попаданий к общему числу выстрелов, выраженное в процентах. Находим отношение
45 : 50 = 0,90 = 90%
Значит, процент попаданий равен 90%.
п.5 Процентные расчеты
Рассмотрим несколько задач на процентные расчеты.
Число А больше числа В. Определите, на сколько процентов число А больше, чем число В?
Из контекста задачи следует, что В-первоначальное число, А - новое число. С помощью пропорции найдем, сколько процентов составляет новое число А от первоначальног числа В:
В – 100%
А – Х%
Х = 13 EMBED Equation.3 1415·100%.
Далее находим искомую процентную разность данных чисел:
13 EMBED Equation.3 1415·100% - 100% = 13 EMBED Equation.3 1415·100%
(разность чисел надо поделить на первоначальное число, и результат перевести в проценты).
Пример. Заводу надо изготовить 24 машины, но завод изготовил 27 машин. На сколько процентов изготовлено машин больше, чем намечено?
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415· 100% = 12,5%
Число А больше числа В. Определите, на сколько процентов число В меньше, чем число А?
Из контекста задачи следует, что А – первоначальное число, В – новое число. С помощью пропорции найдем, сколько процентов составляет новое число В от первоначального числа А:
А – 100%
В – Х%
Х = 13 EMBED Equation.3 1415·100%.
Далее находим искомую процентную разность данных чисел:
100% - 13 EMBED Equation.3 1415·100% = 13 EMBED Equation.3 1415·100%
(разность чисел надо поделить на первоначальное число, и результат перевести в проценты)
Пример. Один и тот же товар в одном магазине стоит 10 руб., а в другом – 8 руб.. На сколько процентов этот товар во втором магазине дешевле, чем в первом?
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415 · 100% = 20%
Для решения более сложных задач на проценты полезно освоить «свернутое» увеличение и уменьшение числа на заданное число процентов.
Число А увеличили на р%. Чему равен результат?
Сначала найдем р% от числа А: 13 EMBED Equation.3 1415·р
Далее находим новое число: А+13 EMBED Equation.3 1415·р = А·(1+13 EMBED Equation.3 1415)
Пример. Новейшие разработки конструкторского бюро позволят увеличить предельную скорость автомобиля на 30%. Какой будет эта скорость, если сейчас она составляет 180 км/час?
Решение. 180+180·0,3 = 180·1,3 = 234 (км/час)
Число В уменьшили на р%. Чему равен результат?
Сначала найдем р% от числа В: 13 EMBED Equation.3 1415·р
Далее находим новое число: В- 13 EMBED Equation.3 1415·р = В·(1-13 EMBED Equation.3 1415)
Пример. Во время новогодней распродажи магазин снижает цены на все товары на 25%. Сколько будут стоить во время распродажи сапоги по цене 2000 руб.?
Решение. 2000-2000·0,25 = 2000·0,75 = 1500 (руб)
Число А сначала увеличили на р%, а затем уменьшили на р%. Чему равен результат?
Используя предыдущие рассуждения, получим: А·(1+13 EMBED Equation.3 1415)·(1-13 EMBED Equation.3 1415)
Пример. Цену товара повысили на 60%, затем полученную цену понизили на 60%. Как в итоге изменилась цена по сравнению с первоначальной? На сколько процентов?
Решение. Пусть первоначальная цена товара х, тогда после двукратного изменения новая цена составит х·1,6·0,4 = 0,64х. Видим, что новая цена меньше первоначальной (так как 0,64х<х). Теперь определим на сколько процентов число 0,64х меньше числа х: 13 EMBED Equation.3 1415·100% = 36%
Ответ: цена уменьшилась на 36%.
Число А сначала уменьшили на р%, а затем увеличили на р%. Чему равен результат?
Аналогично предыдущей задаче получим: А·(1-13 EMBED Equation.3 1415)·(1+13 EMBED Equation.3 1415)
Заметим, что результат в этой и в предыдущей задаче одинаков.
Пример. Цену товара понизили на 60%, затем полученную цену повысили на 60%. Как в итоге изменилась цена по сравнению с первоначальной? На сколько процентов?
Решение. Решение данного примера совпадает с решением предыдущего с точностью до перестановки мест второго и третьего множителей при выполнении первого действия:
1). х·0,4·1,6 = 0,64х.
2). 13 EMBED Equation.3 1415·100% = 36%
Ответ: цена уменьшилась на 36%.
п.6 Сложные проценты.
Число А увеличили на р%, затем полученное число снова увеличили на р% и так далее (всего n раз). Чему равен результат?
Используя рассуждения задачи 3 из п.5 , получим:
А·(1+13 EMBED Equation.3 1415)·(1+13 EMBED Equation.3 1415)· ·(1+13 EMBED Equation.3 1415) = А ·(1+13 EMBED Equation.3 1415)n
________________________
n множителей
Пример. Банк начисляет 10% годовых. Какова будет сумма на счету у вкладчика через три года, если он внесет 1000 рублей?
Решение. Применяя полученную формулу для случая А = 1000, р = 10, n = 3, получим:
1000 · (1+0,1)3 =1331 (руб.)
Ответ. 1331 руб.
Число В уменьшили на р%, затем полученное число снова уменьшили на р% и так далее (всего n раз). Чему равен результат?
Используя рассуждения задачи 4 из п.5, получим:
В·(1-13 EMBED Equation.3 1415)·(1-13 EMBED Equation.3 1415) ·· (1-13 EMBED Equation.3 1415)= В·(1-13 EMBED Equation.3 1415)n
__________________________________
n множителей
Пример. Находясь на диете, человек терял ежемесячно 5% своего веса. Каким стал его вес через два месяца, если в начале он составлял 60 кг?
Решение. Применяя полученную формулу для случая В = 60, р = 5, n = 2, получим:
60 · ( 1 – 0,05 )2 = 54,15 (кг)
Ответ. 54 кг 150 г.
Задачи на проценты.
п.1 Банковские вклады.
Пример 1. Вкладчик положил в банк деньги под 20% годовых. Через год он добавил к сумме, имеющейся у него на счету, такую же сумму, что вкладывал первоначально. Еще через год на его счету оказалось 396 рублей. Сколько руб лей было вложено первоначально?
Решение. Пусть первоначально было вложено х руб., тогда через год на счету стаю 1,2х руб., а после добавления первоначальной суммы х+1,2х=2,2х (руб). Ещё через год полученная сумма увеличится на 20% и составит 2,2х·1,2 = =2,64х (руб). По условию задачи имеем уравнение 2,64х=396, из кото рого находим
х =150.
Ответ: 150 руб.
Пример 2. Вкладчик взял из банка 20% своих денег, потом 60% оставшихся и еще 1400 рублей. Каков был исходный вклад, если после этого у него в банке осталось 22% от исходной суммы?
Решение. Пусть исходный вклад составлял х руб., тогда после первого снятия денег со счёта останется х - 0,2х = 0,8х (руб). После второго снятия денег со счёта оста нется 0,8х - О,8х·0.6 = 0,8х·О,4 = 0,32х (руб). Вычитая теперь из найденной сум мы 1400 руб., получим 0,22х (руб): 0,32х-1400=0,22х. Решая это уравнение, на ходим х = 14000.
Ответ: 14000 руб.
п.2 Изменение стоимости товара.
Пример 1. Цена товара 1200 руб. Ее повысили на 30%. На сколько процентов следует понизить полученную цену, чтобы получить первоначальную?
Решение. После повышения цена товара станет 1200·1,3 = 1560(руб). Теперь нужно определить., на сколько процентов первоначальная цена товара меньше новой:
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equa
·tion.3 141523%
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 23%.
Пример 2. На сколько процентов понизили цену товара, если теперь за ту же сумму можно купить на 25% товара больше, чем до понижения цены? Решение. Затраченная на покупку товара сумма равна произведению цены товара на его количество.
Пусть первоначально цена товара равна с, а количество товара равно n. Тогда затраченная при этом сумма составит (сn). В другом случае за ту же сумму (сn) можно купить количество товара, равное 1,25n, следовательно, его цена соста вит 13 EMBED Equation.3 1415= 0,8с. Таким образом, цену товара понизили на 20%.
Свои рассуждения можно было оформить в виде таблицы.
Первоначально
После изменения
Цена товара
c
0,8c
Количество товара
n
1,25n
Сумма
cn
cn
Теперь найдем искомую величину: 13 EMBED Equation.3 1415=20%
Ответ: на 20%.
Пример 3. Магазин продал на прошлой неделе некоторый товар. На этой неделе запланировано продать того же товара на 10 % меньше, но по цене на 10 % больше. Большую или меньшую сумму выручит магазин от продажи товара на этой неделе и на сколько процентов?
Решение. Пусть на прошлой неделе магазин продал х едениц товара по цене у рублей, тогда на этой неделе будет продано 0,9х товара по цене 1,1у рублей.
Значит, на прошлой неделе было продано товара на сумму ху рублей, а на этой неделе на сумму 0,9х·1,1у=0,99ху рублей. Поэтому на этой неделе магазин выручит товара на сумму, меньшую на 1-0,99=0,01 или на 1%.
Ответ: на 1%.
Пример 4. Комиссионный магазин продал сданную на продажу вещь со скидкой 12 % от первоначально назначенной цены и получил при этом 10 % прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально предполагал получить магазин?
Решение. Пусть х рублей – первоначальная цена, у рублей – сумма, подлежащая выплате клиенту магазина. Когда первоначальная цена была снижена на 12% и составила 0,88х рублей, магазин получил прибыль 0,88х-у рублей или 13 EMBED Equation.3 1415 процентов прибыли, что по условию задачи равно 10%. Составим и решим уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, магазин предполагал получить 25% прибыли.
Ответ: 25 %.
п.3 Работа.
Пример 1. Рабочий повысил производительность труда на 15 %, а его зарплата увеличилась на 10,4 %. На сколько процентов уменьшился расход на оплату труда в расчете на единицу продукции?
Решение. Пусть за х деталей рабочий должен получить у рублей, тогда на 1 деталь приходится 13 EMBED Equation.3 1415рублей. Фактически рабочий сделал 1,15х деталей и получил за них 1, 104у рублей (13 EMBED Equation.3 1415= 0,9613 EMBED Equation.3 1415 рублей за 1 деталь). Значит, расход на оплату труда в расчете на еденицу продукции уменьшился на 1- 0,96 = 0,04 или на 4%.
Ответ: на 4%.
Пример 2. В первый день рабочий перевыполнил дневное задание на 2 %, во второй день он перевыполнил дневное задание на 4 %. На сколько процентов рабочий перевыполнил задание двух дней?
Решение. Не на 6 %! Обозначим дневное задание через а, тогда за два дня рабочий выполнил 1,02a + 1,04a = 2,06a вместо 2a, что составило 13 EMBED Equation.3 1415 = 1,03, или 103 % задания двух дней. Значит задание перевыполнено на 3 %.
Ответ: на 3%.
Пример 3. Мастер и ученик изготовили в первый день 100 деталей. Во второй день мастер изготовил на 20% больше, а ученик на 10% больше, чем в первый день. Всего во второй день мастер и ученик изготовили 116 деталей. Сколько деталей изготовил мастер и сколько изготовил ученик в первый день?
Решение. Пусть х деталей изготовил в первый день мастер, а (100-х) деталей изготовил в первый день ученик. Тогда во второй день мастер изготовил 1,2х деталей, а ученик 1,1(100-х) деталей. По условию задачи во второй день они вместе изготовили 116 деталей.
Составим и решим уравнение: 1,2х+1,1(100-х)=116, отсюда х=60. Значит, мастер изготовил 60 деталей, а ученик 40 деталей.
Ответ: 60 деталей, 40 деталей.
Пример 4. Для перевозки грузов используются автомобили двух типов: А и В. Работая вместе , они перевезут груз за 5 рейсов. Если будет работать только один автомобиль типа В, то он перевезёт 75% груза за 15 рейсов. Найдите отношение грузоподъёмностей автомобилей А и В.
Решение. Пусть а и b – грузоподъёмности соответственно автомобилей типов А и В, тогда весь груз равен 5(а+b). Из второго условия задачи следует, что 15b=5(а+d)·0,75; 3b=а; 13 EMBED Equation.3 1415=3.
Ответ: грузоподъёмность автомобилей типа А в 3 раза больше.
п.4 Растворы, смеси, сплавы.
Пример 1. Свежая трава содержит 70% влаги, а высушенная - 20%. Сколько килограммов травы необходимо накосить, чтобы получить 150 кг сена?
Решение. Траву можно условно разделить на два компонента - воду и сухое вещество. В процессе сушки количество воды уменьшается, а количест во сухого вещества остаётся неизменным.
Пусть искомая масса свежей травы х кг, тогда в ней содержится О,3х кг (30%) сухого вещества. В 150 кг сена содержится 150·0,8 = 120 (кг) (80%) сухого ве щества. Из уравнения 0,3х=120 находим х=400.
Ответ: 400 кг.
Пример 2. Из молока, жирность которого 5%, делают творог жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога полу чится из 1 т молока?
Решение. Как и в предыдущей задаче, молоко разделим условно на две составляю щие воду и сухое вещество (жиры, белки и др.). Составим таблицу по условию задачи:
Молоко
Творог
Сыворотка
Масса продукта, кг
1000
Х
1000-х
Масса сухого вещества, кг
50
0,155х
0,005(100-х)
Составим и решим уравнение: 0,155х + 0,005(100-х) = 50. Отсюда находим х=300.
Ответ: 300 кг.
Пример 3. Из 40 т руды выплавили 20 т металла, содержащего 6% примесей. Сколько процентов примесей в руде?
Решение. В металле 20·0,06 = 1,2 т примесей, в руде 40-20+1,2 = 21,2 т примесей, что составляет 21,2:40 = 0,53 или 53% массы руды.
Ответ: 53%.
Пример 4. При смешении 30%-ного раствора серной кислоты с 10%-ным раствором серной кислоты получилоь 400г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора (30%-ного и 10%-ного) было взято?
Решение. Пусть было взято х грамм 30%-ного раствора и (400-х) грамм 10%-ного раствора. По условию задачи после их смешения получили 400г 15%-ного раствора. Составим и решим уравнение: 0,3х+0,1(400-х)=0,15·400. Отсюда х=100. Значит, было взято 100г 30%-ного раствора и 300г 10%-ного раствора.
Ответ: 100г, 300г.
Пример 5. В 2 литра 10%-ного раствора уксусной кислоты добавили 8 литров чистой воды. Определите процентное содержание уксусной кислоты в полученном растворе.
Решение. В 2 литрах 10%-ой уксусной кислоты содержится 0,2 л кислоты и 1,8 л воды. После добавления воды уксусной кислоты осталось 0,2 л, а воды стало 1,8+8=9,8 л. Поэтому процентное содержание уксусной кислоты в полученном растворе 13 EMBED Equation.3 1415=2%.
Ответ: 2%.
Пример 6. Сколько килограммов воды нужно добавить к 30 кг пятипроцентного раствора соли в воде, чтобы получить полуторапроцентный раствор?
Решение. В 30 кг пятипроцентного раствора содержится 30·0,05=1,5 (кг) соли. Если количество добавленной воды обозначить за х (кг), то получим уравнение:
(х+30)·0,015+1,5. Отсюда получаем х=70. Значит надо добавить 70 кг воды.
Ответ: 70 кг.
Пример 7. Имеются два сплава чугуна с никелем с содержанием никеля 5% и 40% соответственно. Сколько нужно взять металла каждого из этих двух сортов, чтобы получить 140 т нового сплава с содержанием 30% никеля?
Решение. Пусть надо взять х т первого сплава, тогда второго сплава (140-х) т. Составим и решим уравнение: 0,05х+0,4·(140-х)=0,3·140; х=40. Надо взять 40 т первого сплава и 100 т второго сплава.
Ответ: 40т и 100т.
п.5 Разные задачи.
Пример 1. Две противоположные стороны прямоугольника увели чили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его пло щадь? Зависит ли результат от того, какую пару сторон уве личили на 10 %?
Решение. Если соседние сто роны прямоугольника а и b, тогда площадь ab. После увеличения одной пары противоположных сторон (все равно какой) на 10 % площадь будет равна 1,1ab. Это больше аb на 0,1аb или на 10 %.
Ответ: на 10%. Не зависит.
Пример 2. Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?
Решение. Пусть длина прямоугольника а, ширина b. Длина стала 0,8a =4/5 а. Чтобы площадь аb не изменилась, надо длину 4/5 a умножить на ширину 5/4b = =1,25b, то есть надо уве личить ширину на 1/4b или на 25 %.
Ответ: на 25%.
Пример 3. В спортивной секции девочки составляют 60 % числа мальчиков. Сколько процентов числа всех участников сек ции составляют девочки?
Решение. Пусть в спортивной секции х мальчиков, тогда 0,6х девочек. Значит, девочки составляют 13 EMBED Equation.3 1415·100%=37,5% всех участников.
Ответ: 37,5%.
Пример 4. В некотором царстве, в некотором государстве школьники стали изучать математику не 6, а 5 уроков в неделю. Кроме того, урок у них стал длиться не 45, а 40 минут. Сколько про центов учебного времени потеряли школьники? Ответ ок руглите до десятых.
Решение. Было учебное время 6·45=270 мин, стало 5·40=200 мин. Значит, школьники потеряли (1 - 13 EMBED Equation.3 1415)·100% 13 EMBED Equation.3 141525,9% учебного времени.
Ответ: 25,9%.
V. Задачи для самостоятельного решения.
1) Число увеличили на 10 %, потом еще на 10 %. На сколько процентов увеличили число за два раза?
2) Число увеличили на 10 %, результат уменьшили на 10 %. Какое получилось число больше или меньше первона чального? На сколько процентов?
Женя за весну похудел на 20 %, потом поправился зале-то на 30 %, за осень опять похудел на 20 % и за зиму приба вил в весе 10 %. Остался ли за этот год его нес прежним?
Все стороны прямоугольника увеличили на 10%. Нa сколько процентов увеличилась его площадь?
Каждую сторону квадрата увеличили па 20 %. На сколь ко процентов увеличилась его площадь?
5. Две противоположные стороны прямоугольника увели чили па 20 %, две другие уменьшили на 20 %. Как измени лась площадь прямоугольника?
6. Две противоположные стороны прямоугольника увели чили на 20 %, две другие уменьшили на 10 %. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?
7. На некотором участке пути машинист уменьшил ско рость поезда на 25 %. На сколько процентов увеличится вре мя движения на этом участке?
8. трое изобретателей получили за свое изобретение премию в размере 1410 тыс. рублей, причем второй получил 3313 EMBED Equation.3 1415% того, что получил первый, и еще 60 тыс. рублей, а третий получил 3313 EMBED Equation.3 1415% денег второго и еще 30 тыс. рублей. Какую премию получил каждый?
Определить сколько килограммов сухарей с влажностью 15% можно получить из 255 кг хлеба с влажностью 45%?
В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных 20%. На сколько процентовуменьшается масса яблок при сушке?
Из 38 тонн руды, содержащей 25% примесей, после переплавки получили 30 тонн металла. Сколько процентов примесей содержит полученный металл?
Компания Х выплачивает доход по своим акциям ежегод но из расчета 140 % годовых. Компания Y выплачивает до ход по акциям 1 раз в полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?
13. С 1 октября 1993 г. за хранение денег на срочном депозите в течение года Сбербанк выплачивал доход ил расчета 150 % от вложенной суммы; в течение полугода 130 % годовых, в течение трех месяцев - 120 % годовых. Каким образом за год на условиях Сбербанка можно было получить наиболь ший доход на 100 000 р.? Каков этот наибольший доход?
14. Имеется 500 г 40 %-го раствора кислоты. Сколько воды требуется добавить, чтобы получить 25 %-й раствор кис лоты?
15. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, прино сят ежегодно 20 % дохода. За сколько лет вложенная сум ма удвоится?
16. Для получения томат-пасты протертую массу томатов выпаривают в специальных машинах. Сколько томат-пасты, содержащей 30 % воды, получится из 28 т протертой массы томатов, содержащей 95 % воды?
17. На коробке вермишели написано: «Масса нетто 500 г при влажности 13 %». Какова масса вермишели, если она хра нится при влажности 25 %?
18. а) Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего 15 % соли, чтобы получить 10 %-й раствор соли? б) Сколько граммов воды нужно добавить к 120 г раствора, содержащего 30 % сахара, чтобы получить раствор, содержа щий 20 % сахара?
19. Арбуз массой 20 кг содержал 99 % воды. Когда он немно го усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98 %. Како ва теперь масса арбуза?
20. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10 % за каждый ме сяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?
Заключение.
При написании данной творческой работы я изучила большое количество дополнительной научной литературы по теме «Проценты», расширила и углубила свои знания по данному вопросу, овладела простейшими и более сложными процентными расчетами. В ходе написания работы мной рассмотрены различные способы решения задач на проценты. Особый интерес у меня вызвало решение задач, связанных с таким понятием, как «концентрация раствора», а так же задачи на смеси и сплавы. Мною было рассмотренно несколько интересных задач, которые могут встретиться учащимся и вызвать у них затруднения. Например, на банковские вклады или изменение стоимости товара. Кроме того, в работе есть раздел «Задачи для самостоятельного решения», которые позволят учащимся проверить свои знания и навыки по теме «Проценты». При написании работы я узнала много полезного и интересного и, думаю, что эти знания в дальнейшем мне очень пригодятся не только в учебе, но и в повседневной жизни.
Хочется ещё раз обратить внимание на актуальность темы данной работы, особенно в наше время, когда на первое место в отношениях выходит экономика, а проценты приобрели широкое распространение в нашей жизни. Поэтому считаю, что материалы данной работы могут пригодиться не только учащимся средних школ, но и учителям, студентам и даже людям, которые не имеют непосредственного отношения к математике.
13PAGE 15
13PAGE 15
13PAGE 14115
Рисунок 1Описание: http://900igr.net/datas/matematika/Protsenty/0001-001-Zadachi-na-protsenty.jpgRoot EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 4Описание: http://hcpeople.ru/wp-content/uploads/2014/10/Zaym-pod-protsentyi-240x240.pngEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native