Урок по алгебре в 7 классе :Умножение многочлена на многочлен

Урок - исследование по алгебре в 7 классе/ уч.к.: А.Г.Мордкович
Учитель: Листопадова Евгения Васильевна
Тема урока: «Умножение многочлена на многочлен»
Цели
1. Образовательная: Вывести формулы квадратов суммы и разности двух чисел. Сформировать умение практически их применять.
2. Развивающая: развитие математического мышления, творческо-поисковой деятельности учащихся, математической речи, памяти, интереса к математике, умения рассуждать.
3. Воспитательная: воспитание познавательной деятельности учащихся, активности, внимательности, самостоятельности.
Оборудование: мультимедийная компьютерная техника, маркерная доска, раздаточные материалы, карточки с тестовыми заданиями.
План урока.
Организационный момент.
Мотивационно - ориентировочный этап.
Актуализация опорных знаний.
Исследовательская работа
Физкультминутка
Геометрическая интерпретация.
Закрепление нового материала.
Итог урока.
Ход урока:
(Для проведения урока и исследовательской работы учащиеся объединяются в группы. В них входят ребята с разной математической подготовкой)1.ОНУ
Учитель: Здравствуйте ребята. Садитесь,
Посмотрите, всё ль в порядке:
Книжка, ручки и тетрадки.
Прозвенел сейчас звонок.
Начинается урок
Сегодня у нас с вами необычный урок, а урок-исследование. Давайте представим себе наш класс - научно-исследовательскую лабораторию. Вы, ученики, - сотрудники-учёные. Мы с вами должны в ходе различных исследований получить ответы на интересующие нас вопросы. Для того, чтобы ответы на вопросы были интересными и разносторонними, в лаборатории будут сегодня работать три группы учёных :
-историки,
-математики,
-геометры.
За активность учёные будут получать бонусы - зарплату. (Впервые идея выпустить деньги на бумажных носителях в России была сделана при императоре Петре III в 1762 году.)Чтобы познакомить гостей над какими вопросами мы будем работать предлагаю решить кроссворд. Слово, которое получится при разгадывании кроссворда по вертикали и будет ключевым словом в нашей работе.
ПИ Ф А Г О РК О В А Л Е В С К А Я
Д Е К А РТ А РХ И М Е Д Г А У С С Е В К Л И Д Ф А Л Е С На острове СамосФилософ сей родился.
И во главу угла
Поставлены им числа
И, говорят, за теорему
Принёс богам быка он в жертву.
Был чемпион Олимпиады,
Имел своих учеников.
Надеюсь догадался каждый,
Что его имя ….(Пифагор)
Математики начала
По обоям изучала
И влюбилась в ту науку.
Только вот какая штука.
Ведь в России в это время
Не пускали в вузы женщин.
Чтоб в математике достичь вершин,
Пришлось уехать девушке в Берлин,
И стать для этого фальшивою невестою,
Такой мы знаем Софью …(Ковалевскую)
Дворянин, философ, воин
Нашей памяти достоин.
До сих пор координаты
Зовут именем … (Декарта)
Разгадал загадку круга
Метод площадей нам дал,
Знаем мы, как в Сиракузах
Родину он защищал.
Свой народ спасал от бед,
Его имя …. (Архимед)
Это он, это он
Был в арифметику влюблён
Он назвал её царицей,
А мир воздал ему сторицей.
Ему присвоили не зря
При жизни титул короля.
Он безупречно вычислял,
Таблицы в памяти держал.
(Гаусс)
Всё, что раньше люди знали,
Он собрал в своих «Началах»
Было их 13 книг,
Написал их все …(Евклид)
Путешествуя по миру,
Измерял он Пирамиды,
Но, наверх он не полез,
Ведь знал подобие …(Фалес)
2.Целеполагание
Учитель: -Какое слово у нас получилось? (Формула) Эпиграфом к нашему уроку,
мне хотелось бы взять слова С.В. Ковалевской «У математиков существует свой язык- это формулы».
Ребята, мы будем с вами работать над формулами сокращённого умножения. Для того, чтобы исследование прошло успешно, я предлагаю вам ответить на ряд вопросов и решить задания. (вызвать к доске учеников)
3.Актуализация ЗУН
Учитель:
Дайте определение одночлена.
Что называется степенью числа а с натуральным показателем n?
Дайте определение многочлена.
Как умножить многочлен на многочлен?
Используя математические термины, прочитайте выражение:
х2+2, a+b, с-d, х+у2, a2, (с+d)2, 2 a b, (с-b)2, z2-m2- Чему равна площадь квадрата?
-Как найти площадь прямоугольника?
-Посмотрите на слайд, и скажите из площадей каких фигур состоит площадь квадрата со стороной (a+b)2
(в это время на доске задания, учитель вызывает учеников)
Выполнить умножение: х+6(х+5)Приведите подобные члены многочлена: 3х2-2y-5х3-2+2y-7Запишите степень двучлена в виде произведения и выполните умножение:
(m+2)2
Вычислите:26∙(23)52184.Изучение нового материала.
Учитель: - Ребята,Выполним умножение многочленов. Каждая группа выполняет номер своего задания, и результат записывает на доске, на соответствующей строке (номер задания соответствует номеру группы) в правом столбике. Все задания даны в таблице:
(Средняя часть таблицы, обведенная рамкой, в момент выполнения заданий закрыта бумажной полоской (экран).Таблица 1

1. ( x+y ) (x+y ) = (x+y)2 =x2+2xy+y2
2. ( m+n ) ( m+n ) = (m+n)2 =m2+2mn+n2
3. ( c+d ) ( c+d ) = (c+d)2 =c2+2cd+d2
4. ( n+5 ) ( n+5 ) = (n+5)2 =n2+10n+25
5. ( k+1 ) ( k+1) = (k+1)2 =k2+2k+12
6. ( 8+m ) ( 8+m ) = (8+m)2 =64+16+m2


- Ребята, скажите есть нечто общее в условиях и в ответах, которые вы получили?
-Можно ли выражение в левом столбце записать короче? (Да, можно, по первому свойству степени, при умножении степеней с одинаковым основанием, основание остаётся прежним, а показатели складываются, значит это будут квадраты суммы двух чисел).
-Ребята, вы фактически приступили к исследованию темы урока, поскольку находили произведение 2-х одинаковых двучленов, т.е. возводили в квадрат сумму 2-х выражений.
-Скажите, какое выражение получилось в правой части в результате умножения?
(В результате умножения во всех заданиях получился трёхчлен, который представляет собой квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа)
-Теперь мы без труда можем записать такую формулу – квадрат суммы двух чисел (вызвать ученика, прикрепить плакат) (а+b)2=а2+2аb+b2
- Давайте, прочтём формулу: квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого числа + удвоенное произведение первого и второго числа + квадрат второго числа.
Физминутка5.Исследовательская работа.
Учитель: -А теперь наши учёные получат задания для работы в группах. В каждой группе я определяю экспертов, которые будут работать индивидуально по карточкам с образцами.
1 группа –историки
-Ребята, вы получаете такое задание (Выполняете умножение многочленов и записываете в правом столбце ответы, а потом делаете общий вывод, т.е. выводите формулу квадрата разности экспериментальным путём). После того, как вы выполните задание, сформулируете и выведите формулу квадрата разности двух чисел, вы получите волшебный конверт.)
1. ( x-y ) (x-y ) = (x-y)2 =x2-2xy+y2
2. ( n-6) ( n-6 ) = ( n-6) 2 =n2-12n+36
3. ( k-2 ) ( k-2) = (k-2)2 =k2-4k+4
4. ( 7-m ) ( 7-m ) = (7-m)2 =49-14m+m2
5. ( a-1 ) ( a-1) = (a-1)2 =a2-2a+12
Вывод:

Волшебный конверт для историков:
Ребята, знаете ли вы, что Евклид (365—300 до н. э.), древнегреческий математик. Родился в Афинах ( по другим данным , в Тире). О жизни учённого известно лишь то, что он был учеником Платона, а расцвет его деятельности пришёлся на время царствовании в Египте царя Птолемея.
Задание №1
Существует одна легенда о преданности ученого науке. Инсценируйте легенду.
       Один из учеников Евклида спросил: «Учитель, а что я смогу заработать, если выучу это?» Ученый позвал слугу и сказал: «Дай ему три монеты, т.к. бедняжка хочет заработать деньги своим учением». Нельзя в учебе искать сиюминутной выгоды.
2 группа –алгебраисты
-Ребята, вы получаете такое задание. Цель вашей работы научиться возводить двучлен в любую натуральную степень. Для этого вы будете возводить двучлены в нулевую, первую, вторую, третью и четвёртую степень алгебраическим способом. Коэффициенты разложения, которые получились, вы записываете симметрично в таблице. А потом мы посмотрим , что с этого получилось.
Волшебный конверт для алгебраистов:
Ребята, знаете ли вы, что на сайте журнала "Знание-сила" есть голосование по вопросу о том, кого вы считаете самым значительным ученым за прошедшие 2000 лет. Среди самых популярных ученых мы по праву видим имя Блеза Паскаля (1623-1662). Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, он вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем благодарными потомками названы единица давления (паскаль) и получивший чрезвычайно широкое распространение язык программирования. Особенно популярен был Турбо Паскаль. Треугольник Паскаля – это, несомненно, самая известная, а также изящная числовая схема во всей математике. Французский философ и математик Блез Паскаль посвятил данному треугольнику ни много ни мало, а целый «Трактат об арифметическом треугольнике».
3 группа –геометры
- Ребята, вы тоже получаете задание. Цель вашей исследовательской работы найти другой способ доказательства формулы сокращённого умножения. Могу подсказать, что в III веке до н.э. не было букв, учёные пользовались геометрическим доказательством формулы. Поэтому второй способ доказательства формулы будет геометрическим и, следовательно, вам понадобятся геометрические фигуры.
Волшебный конверт для геометров:
Здравствуйте, ребята! знаете ли вы, что некоторые правила сокращенного умножения были известны еще около 4 тыс. лет назад. Тогда было принято все алгебраические утверждения выражать в геометрической форме. Особенно широко алгебраическими тождествами пользовался в 3 в до н.э. древнегреческий геометр Евклид. У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не «а», а «квадрат на отрезке а», не «ав», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и в». Например, тождество ( а + в )=а + 2ав + в во второй книге «Начал» Евклида формулировалось так: « Если прямая линия ( имеется в виду отрезок) как- либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками». Доказательство опиралось на геометрические соображения.
6.Итог урока: - Ребята, что нового вы узнали на уроке?
-С какими формулами мы познакомились на уроке?
-Как они читаются?
- Как вы считаете, почему формулы, изучаемые нами называются формулами сокращённого умножения?
-Для чего нужен Треугольник Паскаля?
Сегодня на уроке мы вывели формулы сокращённого умножения, используя свойства площадей геометрических фигур, а также рассмотрели много интересного материала, который будет нам полезен при дальнейшем изучении математики. Как говорил Рене Декарт: «Особенно мне нравилась математика верностью и очевидностью своих рассуждений» что и подтвердил наш урок.
7.Рефлексия. -Ребята, поднимите смайлики, которые обозначают ваше настроение после урока.
8.Домашнее задание.